東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目B 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（全18問）

行列単位で分解する

この環は $e_{21}$ そのものを含まないが，$ne_{21}$ を含む。したがって上下二つの格子の間に 「片方は通常の写像，反対向きは $n$ 倍を含む写像」が走る，という格子問題へ落ちる。

有限性の本質

連続的なパラメータは出ない。間に入る格子は商 $\mathbb Z^m/n\mathbb Z^m$ の部分群で決まり，これは有限集合である。

もう一方の4乗根は $u/a$

$1+v$ と $1-v$ の積は $X^2=u^4$ である。したがって $a^4=1+v$ と置いたとき，もう一方の4乗根は $u/a$ であり，ここで $\sqrt X$ が必ず現れる。

最大アーベル部分拡大は交換子群で読む

$L/K$ の群は位数16で，交換子群は $\langle\sigma^2\rangle$ である。従って固定体に $a^2$ まで入る点を落とすと，最大アーベル拡大を一段小さく見誤る。

双対数環の核

$\mathbb F_p[X]/(X^2)$ への持ち上げでは，核 $1+XM_2$ が加法群 $M_2$ と同じように振る舞う。最大アーベル部分群は，像をスカラーにして核を丸ごと使うのが最も大きい。

$R$ では関係式 $ab=c^3$ を使う

$R_J$ では $b$ が単元になるため，$a$ と $c^3$ は同じ生成能力を持つ。これを見落とすと，$\sigma_R(J^3)$ に必要な $a$ や $3c^2$ が抜ける。

固定した片方を見る

一方の球面上の点 $u$ を固定すると，もう一方は $u$ との内積を指定された単位ベクトル全体になる。これは直交補空間内の球面である。

写像トーラスはWang列

貼り合わせ空間のホモロジーを先に求め，その後に $f_*-1$ の核と余核を見る。特に $H_1$ の符号反転が $\mathbb Z/2$ を生む点を落とさない。

周期で判定する

閉1形式の等式は，完全形式を除けば穿孔の周りの周期で判定できる。どの二点を同じ開球面に残すかで許される周期ベクトルの形が決まる。

最大点を1回写すだけでは足りない

最大点 $x$ に対して $E(fx)\le E(x)$ は言えるが，$fx$ が最大点とは限らない。反復列を取り，距離和の極限点で等号を作るのが抜けを防ぐ方法である。

核関数は近似単位として使う

$p\downarrow0$ で1に近づき，無限遠では小さい関数を積分している。これは測度の総質量と遠方への逃げを同時に検出するための標準的な道具である。

境界値の跳びを見る

Cauchy積分の解析接続可能性は，曲線を挟む二つの正則枝の境界値が一致するかで決まる。非零密度は跳びを作るため，線分を消せない特異集合にする。

稠密部分空間から全体へ

作用素が等長なら近似誤差が増えない。このため，稠密集合上の弱収束条件は全空間へ延長できる。

フーリエ変換で半群性を見る

畳み込みを直接積分で処理すると重い。Bessel核はフーリエ側で $(1+|\xi|^2)^{-\alpha/2}$ になるため，畳み込み公式は指数の加法に帰着する。

尾部定数がシフトを決める

最大値の極限で重要なのは尾確率の先頭定数である。$X+Y$ の尾は $(e-1)e^{-t}$ なので，指数分布最大値に $\log(e-1)$ だけ平行移動が入る。

重み付き正規模型として見る

各観測の分散は $s_i^2\sigma^2$，平均は $x_i\theta$ である。したがって情報量は $\sum x_i^2/s_i^2$ になり，単純な標本平均ではなく重み付き平均が最尤推定量になる。

符号は負の最小点で見る

この差分作用素では，右辺が非負なら内部の負の最小値が禁止される。安定性は $L_hg\simeq1$ となる正の障壁関数を作り，最大原理で挟む。

有効ポテンシャルへ落とす

角運動量保存で角速度を消去すると，動径方向の1次元運動になる。Kepler軌道は $1/r$ を未知関数にした Binet 方程式が最短である。

Legendreではなく多重対数

反復積分の中身は $-\log(1-z)$ から始まるため，$L_n$ は $\operatorname{Li}_{n+1}$ である。級数表示に直すと，偶奇分解も Bose 型積分も一行で処理できる。

完全性を同型一意性から出す

この理論では有限サイズの同値類が全て一つずつ固定され，残りは無限類だけである。可算リッチにすると余った自由度も消えるため，Vaught判定に近い形で完全性が従う。