東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目B 2019年度 院試 解答例・解説

見落としやすい点

余次元1の部分空間を直接数えようとすると乗法閉性の条件が重い。先に [数式] の余次元2商へ落とすと，2次多項式の分解型だけで済む。

典型ミス

$X^a+Y^b$ 自体は $a,b$ によって因数分解することがある。しかしここで必要なのは 「$q$ 乗そのものか」であり，これは2項式の項数を見れば排除できる。

数え上げの要点

$F$ だけを見ると巡回9次だが，対称関数体との交わりでは $S_3$ 共役をすべて加えた 対角群 $W$ が効く。中間体の個数は，この $W$ の $S_3$-安定部分群の個数に変換する。

採点上の注意

軌道は6個あるが，線形包は6次元ではない。3つの一次関係で $1,z,1/z,1/(1-z)$ の4次元に落ちるところが最初の山である。

典型ミス

$\R P^3$ では $u$ と $-u$ が同じ点である。レベル集合の2つの $S^2$ は消えるのではなく， 反対点同一視で互いに貼り合わされて1つの $S^2$ になる。

検算

$\gamma_1'(0)=(1,0,0)$，$\gamma_2'(0)=(1/2,1,1)$ は独立で，対応する2つの漸近方向を確かに与えている。

射影化の扱い

$Y$ は単に $\R P^2\times S^1$ ではない。$S^1$ 方向の半周移動と $S^2$ の反対写像が同時に起こるため， 写像トーラスとして見るのが安全である。

検算

$R=\pi$ では積分値が $2\pi^2$ となり，これは $S^3$ の体積である。指数写像が半径 $\pi$ の球を1回分覆うことと合っている。

典型ミス

第3問では無限遠でなく原点近くを見る。$e^x-1=x+O(x^2)$ なので，原点近くの短い区間の指示関数が近似固有ベクトルになる。

解法の核

二次形式は偶然ではなく $$\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}=I$$ を満たす。これに気づくと，調和振動子2本へ分離できる。

採点上の注意

負の実軸を回る路なので，無限遠での減衰は $\Re z>0$ に依存する。一方，整関数への延長では $\xi=zw$ として $z$ 依存を指数の $-z^2/\xi$ に集めるのが自然である。

最後の一押し

Parsevalだけでは $\int_A\sum e_n^2\ge1$ までしか出ない。$A$ を何個にも分割して各部分で同じ評価を足すことで， 任意に大きい下界を得る。

台の判定

$\ell^2$ 収束と $\ell^1$ 収束は別物である。下側の端が有限かどうかは $\sum a_n$ で決まり，$L^2$ 収束を保証する $\sum a_n^2$ では決まらない。

符号の確認

指数部を $\zeta^3/3-x\zeta$ とするのが重要である。これにより鞍点 $\zeta=\sqrt{x}$ が減衰指数 $-2x^{3/2}/3$ を与える。

計算の短縮

行列成分を直接畳み込むより，$\mathbf{1}$ 方向とその直交補空間の2つの固有値だけを追う方が速い。

反復の性質

最初の反復は $e_3$ だけを見る1次元問題に落ちる。2つ目は3次方程式になるが，問題が求める範囲では 固有値の絶対値評価だけで十分である。

検算

$\operatorname{AF}(X)$ は「すべての路がいつか $X$ に入る」なので，補集合の中に永久に残る路があるかを見ればよい。 有限グラフではこれは固定点反復で完全に判定できる。

圧力条件の使い所

$p_{x_3}(x,0)=0$ は最後に $f=\sin x_2$ を強制する条件である。ここを使わないと， 見かけ上 $x_3$ 方向に圧力勾配を持つ余分な解を残してしまう。