東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目B 2017年度 院試 解答例・解説

見るべき商

$M/N$ が2次元の [数式]-ベクトル空間になるので，$N$ は $M/pM$ の余次元2部分空間ではなく，1次元部分空間として扱うのが最短である。

典型ミス

$L/M$ の指数は $p^3$，$M/N$ の位数は $p^2$ なので， $|L/N|=p^5$ である。候補の不変因子の積が $p^5$ になっているかを 最後に検算すると，Smith標準形の取り違えを防げる。

鋭い2重可移

等号の場合は，順序付き相異2点への作用が自由かつ推移的である。この「鋭さ」により 1点安定化群の大きさがちょうど $p-1$ になり，[数式] と一致する。

採点上の注意

例を挙げるだけで終わらず，等号の場合に Sylow $p$-部分群が正規になることを 書くのが分類部分の要点である。

核は1本で決まる

像の次元は2で，[数式] の次元は3である。非零の既約関係式が1本見つかれば， 高さの比較で核全体が決まる。

2元生成と正則性

2次元局所環で極大イデアルが2元生成されることは，この状況では正則性と同じである。 従って偏微分がすべて消える点を探せばよい。

群の形

$X,Y$ をそれぞれ $m$ 乗根で動かす $\mu_m^2$ と，2変数を交換する $\mathfrak S_2$ の半直積である。最初にこの群を明示すると，残りは固定部分群の 計算になる。

斉次対称式の絞り込み

Galois 性は固定部分群の正規性として使う。対称式であるため交換 $\tau$ は必ず 固定するので，その正規閉包が強い制約を与える。

球面の立体射影計量

この計量は半径1の球面の立体射影で現れる標準形である。ただし，その事実を使わなくても 極座標で長さと面積を直接積分すれば完結する。

極限の検算

$\rho\to\pi$ では $a=\cot(\rho/2)\to0$ であり，面積は原点近くの小円板の 面積に近い。計量係数は原点で4なので，ユークリッド半径 $a\sim(\pi-\rho)/2$ の 面積 $4\pi a^2\sim\pi(\pi-\rho)^2$ と一致する。

候補は2つ

外微分 $d$ は任意の滑らかな写像に対して自然である。さらに2次元の向き付き 共形構造では $d^c$ も自然なので，$d$ と $d^c$ の実線型結合が候補になる。

高階項が消える理由

安定化群に拡大 $z\mapsto rz$ が含まれることが強力である。微分の階数ごとに スケールの次数が異なるため，出力1形式と同じ変換をする1階部分だけが残る。

形を先に見る

本質は「固体トーラスから，芯が $n$ 回経線方向に進む小さい固体トーラスを抜く」 という補空間である。したがって $L_n$ 自体のホモロジーは2境界トーラスをもつ 標準的な補空間のものになる。

境界の包含が計算の中心

貼り合わせ写像そのものは選んだ境界基底では単純である。難しいのは，その基底が $H_1(L_n)$ の中でどの元になるかであり，この段階で $n$ が現れる。

コンパクト集合の性質

[数式] の相対位相では，無理数へ近づく有理数列がすぐに作れる。内点を持つ集合は そのような列を含んでしまうため，コンパクトになれない。

一点コンパクト化の注意

通常の局所コンパクト Hausdorff 空間の一点コンパクト化とは違い，ここでは 第二可算性が壊れる。$p$ の近傍をコンパクト集合の補集合で見るのが要点である。

分割の意味

$A_{M,n}$ では $|f_n|$ を $|g|$ で支配できるので収束定理を使う。 補集合では逆に $|g|$ が $|f_n|^{p-1}$ より小さいため，$L^p$ 有界性で抑える。

弱収束の基本形

これは「点ごとに0へ収束し，$L^p$ で有界なら，任意の $L^q$ 関数との積分は 0へ収束する」という事実の標準的な証明である。

極があると無限に増える

周期性は正則点だけで述べられているが，極の1つ手前が正則だと矛盾するため， 極も整数平行移動で無限に並ぶ。これは有理関数では不可能である。

対数の枝は問題にならない

結局 $f$ が定数なので，対数の枝を変えても $g$ は変わらない。解析接続も 定数関数として直ちに得られる。

全射でない理由

$T^*$ の全射性を直接否定するより，随伴作用素の全射性と元の作用素の下からの 評価を使う方が簡潔である。近い2つの区間の差が小さくなることが決定的である。

平行移動不変性

長さ1の有理区間をすべて消す汎関数は，有理端点区間の平行移動差も消す。稠密性で 一般の $L^1$ 関数へ広げる。

Fourier モードで作る

円板の調和関数では，境界の $\cos k\theta,\sin k\theta$ に対して $r^k\cos k\theta,r^k\sin k\theta$ を対応させる。ここでは $k=3$ と $k=2$ だけで 済む。

穿孔円板で増える自由度

原点を除くと $\log r$ が許される。境界では0なので，同じ境界値を保ったまま 別解を作れる。

同じ $X_j$ を何度も使う

$(3)$ では各ブロックごとに新しい標本を使うのではなく，同じ列 $X_1,X_2,\ldots$ を先頭から使う。そのため極限は定数 $\theta$ ではなく，重み付き和 $\sum2^{-j}X_j$ になる。

ランダム添字の扱い

$(2)$ は $M_n\to\infty$ と独立性により，通常の大数の法則と中心極限定理を ランダムな添字に沿って読むだけでよい。

係数漸化式で十分

特別関数名を知らなくても，べき級数を代入すれば整関数解は一意に決まる。 多項式になる条件も，漸化式の分子が止まるかどうかだけで判定できる。

正体は $L_n^{(1)}$

標準形 $zy''+(\alpha+1-z)y'+ny=0$ と比べると，ここではパラメータが $\alpha=1$ の Laguerre 多項式である。

陰的な式は縮小写像

台形法は $U_{n+1}$ が両辺に現れるが，$\tau L/2<1$ なら右辺は縮小写像になる。 これが存在一意性の本質である。

誤差は局所 $O(\tau^3)$，大域 $O(\tau^2)$

1ステップの欠陥は $\tau r_n=O(\tau^3)$ である。これを $N\sim T/\tau$ 回足すため， 全体では $O(\tau^2)$ になる。

周期積分

1次元保存系では，周期は常に $\int dx/\sqrt{E-U(x)}$ 型になる。 端点で平方根特異性を持つが，通常の折り返し点では可積分である。

分離点で遅くなる

2つの井戸がつながるエネルギーでは，粒子が不安定平衡点の近くに長く滞在する。 このため周期が対数的に無限大へ発散する。

比率の方程式に落とす

総量 $n=u+v$ と比率 $z=u/n$ に分けると，移行項の複雑さが消える。 特に $z$ は1変数の自律方程式を満たす。

長期成長率

総量の瞬間成長率は $r_2+(r_1-r_2)z(t)$ である。従って最後は $z(t)$ の安定平衡点を見るだけでよい。

[数式] は閉路除去

有限グラフで「どの無限パスもいつか $X$ に入る」という条件は，補集合に有向閉路が ないことと同じである。したがって問題は有向閉路を壊す頂点数の計算になる。

[数式] は内部閉路への到達

[数式] は，$X$ の中だけを通って無限に進める頂点である。有限グラフでは， $X$ 内の有向閉路へ到達できる頂点全体と言い換えられる。