東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目B 2020年度 院試 解答例・解説

方針

$S$ の符号を変えたときに $T$ の共役が $F$ の中に残らない点が重要である。 そこで $U^2=v(1-S)$ を加えると，全ての共役が同じ体の中に入る。

採点上の注意

$F/K$ の次数だけを数えると $8$ で止まりやすいが，Galois閉包ではさらに $S\mapsto -S$ で現れる平方根を加える必要がある。複素共役の分も忘れない。

方針

剰余体が基礎環上代数的になることを使い，一つずつ変数を消していく。 体上では $K[X]$ とその剰余体上の一変数多項式環がPIDであることが決定的である。

典型ミス

$\mathbb{Z}[X,Y]$ では，まず標数を決める素数 $p$ が必要である。 体上の議論をそのまま使うだけでは，この $p$ の分を落としてしまう。

方針

随伴次数環では，元の関係式の「最低次の同次部分」が支配的になる。 今回の曲線では $Y^3-X^4-X^3$ の最低次部分が $Y^3-X^3$ である。

採点上の注意

$X^4$ の項を随伴次数環の関係に残してはいけない。$I$-進次数で見ると $X^4$ は $Y^3-X^3$ より高次であり，初期形式には現れない。

方針

有限次元代数では，素イデアルは単純加群・半単純商と結びつけて数える。 標数 $3$ では $S_3$ の3サイクル部分が冪零方向を作るため，中心のべき零根基を 明示してから商を取る。

採点上の注意

$\mathbb{F}_3[S_3]$ は半単純ではない。標数が群の位数を割っているため， 通常の複素表現の直和分解をそのまま使うと誤る。

方針

第一積分は流れの軌道空間上の関数である。$\alpha>0$ では全ての非零軌道が 単位円周を一度だけ横切るため，$W_\alpha$ は円周上の関数と同じになる。

典型ミス

$\alpha<0$ でも原点へ全方向から近づくわけではない。片方の方向は膨張するので， 原点での連続性だけでは定数性を強制できない。

方針

この群は一見行列群だが，$t=\log x,\ u=y/x$ によってただの $\mathbb{R}^2$ の加法群になる。格子も同時に $\mathbb{Z}^2$ になるので， 商は標準トーラスである。

採点上の注意

$y$ そのものではなく $u=y/x$ を使う点が重要である。$x$ のスケールと上三角成分の せん断成分を分けると，群構造が加法に直る。

方針

閉1形式が $\mathbb{R}^4$ 上で完全になることと，Cartanの公式を使う。 シンプレクティック形式が非退化であるため，$i_Z\omega=0$ から $Z=0$ が従う。

採点上の注意

$i_X\omega=df$ の符号を間違えやすい。標準形では $X=\sum(a_i\partial_{x_i}+b_i\partial_{y_i})$ に対し $i_X\omega=\sum(a_i\,dy_i-b_i\,dx_i)$ である。

方針

三点の条件は「向き付き正三角形」を表している。基準正三角形を一つ選べば， 全ての配置は空間回転で得られるので，まず $X\simeq SO(3)$ と見る。

採点上の注意

循環置換で割ると，$SO(3)$ の基本群由来の $2$ と，循環置換由来の $3$ が合わさり， 一次ホモロジーは $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ になる。

方針

最後はVitali収束定理の典型的な証明である。大きい集合上ではEgorovの定理で 一様収束にし，小さい例外集合上では一様可積分性で抑える。

採点上の注意

点ごとの収束だけでは $L^1$ 収束は出ない。例外集合で質量が集中しないことを保証する 一様可積分性が必要である。

方針

$\pi/\tan\pi z$ は整数に単純極を持ち，留数がすべて $1$ である。 整数上の和を留数計算へ変換する標準的な核である。

採点上の注意

単に $\sum 1/(z-n)$ と書くと収束しない。$1/n$ を加えて正則化し， 対称和として収束を確保する必要がある。

方針

$e^{-\varepsilon|x|}$ のフーリエ変換を先に計算し，$x$ 倍は周波数側の微分に移す。 極限ではPoisson核の微分がデルタ関数の微分に近づいている。

採点上の注意

核は奇関数なので，極限は $g(0)$ ではなく $g'(0)$ に作用する。 符号は $d/dy$ と $i$ の位置で決まるため，最後に部分積分で確認すると安全である。

方針

$X$ と $Y$ の角度は各2次元平面 $\operatorname{span}\{e_{2n},e_{2n+1}\}$ の中で独立に決まる。内積評価を一括して行うだけでよい。

採点上の注意

$\sup\cos\theta_n<1$ は，二つの部分空間の角度が一様に正であることを意味する。 この一様性がないと，有限次元ごとの和は閉でも，無限次元の和が閉とは限らない。

方針

定係数の場合は跡が $0$ の2次行列なので，固有値の符号だけで有界性を判定できる。 非定係数の場合は，錐 $\eta_1>|\eta_2|$ の境界でベクトル場が内向きであることを見る。

採点上の注意

固有値が $0$ の場合に注意する。行列が非零冪零なら $e^{tA}=I+tA$ となり， 全初期値について有界とはならない。

方針

差分方程式を離散ラプラシアンの固有モードに分解する。安定性条件は， 全てのモードの増幅率が高々 $1+a\tau$ であることを保証している。

採点上の注意

最大固有値は $4(N+1)^2$ 未満である。ここを粗く見積もり，仮定の $2\tau(N+1)^2$ との関係を正しく使う。

方針

作用素 $x-\frac12 d/dx$ はHermite多項式の生成作用素である。 母関数を先に求めると，直交性以外の設問はほぼ係数比較で処理できる。

採点上の注意

$p_n$ は標準的な $H_n$ そのものではなく $2^{-n}H_n$ である。 この倍率を落とすと，直交積分とCauchy積分の係数がずれる。

方針

変数 $w=\cos\theta$ で軸対称部分をLegendre方程式にし，$\phi$ 方向を $e^{im\phi}$ で分離する。これが球面調和関数の標準的な導出である。

採点上の注意

ラプラシアンの符号規約に注意する。ここで与えられた表示では， 固有値は $-\ell(\ell+1)$ として現れる。

方針

第1問は「左端の無限枝」を停止問題で選ぶ議論である。 第2問は命題論理のコンパクト性を，計算可能木の無限枝として実現する。

採点上の注意

真理値割当そのものが計算可能であるとは限らない。無限に伸びるかどうかの判定には 一般に停止問題相当の情報が必要で，結論は極限計算可能に留まる。

方針

平均は一次漸化式で閉じる。共分散は条件付き期待値 $E[X_n\mid X_m]$ を使うと一行で指数減衰が出る。

採点上の注意

$M_n$ の分散評価では独立性を仮定してはいけない。$X_n$ 同士は独立ではないが， 共分散が幾何級数的に減衰するため，平均の分散は $O(1/n)$ になる。