東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目B 2004年度 院試 過去問 解答例・解説

$G=\operatorname{Im}g$ とおく。まず $r=0$ なら $g=0$ なので $F=0$ であり，階数は $0$ である。

$r>0$ とする。写像 $$\operatorname{Hom}(A,B)\longrightarrow \operatorname{Hom}(A,G),\qquad f\longmapsto gf$$ は全射である。実際，$G$ への右逆写像 $s:G\to B$ を一つ取れば，任意の $u:A\to G$ は $g(su)=u$ と書ける。同様に，任意の $\ell:G\to D$ は $\ell=h|_G$ となる $h:C\to D$ に延長できる。

したがって $\operatorname{Im}F$ は $$\ell u\qquad (u:A\to G,\ \ell:G\to D)$$ の線形包である。$G$ の非零ベクトル $e$ を固定すると，任意の $\alpha\in A^\vee$, $d\in D$ に対して $$u(a)=\alpha(a)e,\qquad \ell(e)=d$$ とすれば $\ell u(a)=\alpha(a)d$ である。これは $A\to D$ の任意の階数 $1$ 型写像を与える。階数 $1$ 型写像は $\operatorname{Hom}(A,D)$ を張るので， $$\operatorname{Im}F=\operatorname{Hom}(A,D)$$ である。

(1) 群 $\langle\sigma\rangle$ は位数 $n$ で，$L$ への作用は忠実である。有限群の不変体なので $$[L:K]=n$$ である。

(2) $\zeta=\exp(2\pi i/n)$ とおき， $$X_k=\sum_{j=1}^{n}\zeta^{-k(j-1)}T_j\qquad (k=0,1,\ldots,n-1)$$ と定める。すると $$\sigma(X_k)=\zeta^k X_k$$ であり，$\sum_j\mathbb C T_j$ は $$\mathbb C X_0\oplus\mathbb C X_1\oplus\cdots\oplus\mathbb C X_{n-1}$$ に分解される。

(3) 次に不変体の生成元を与える。$n=1$ は自明なので $n\ge2$ とする。 $$f_0=X_0,\qquad f_1=X_1^n,\qquad f_k=X_kX_1^{\,n-k}\quad (k=2,\ldots,n-1)$$ とおけば，いずれも $\sigma$-不変な多項式である。さらに $$\frac{f_k}{f_1}=\frac{X_k}{X_1^k}\qquad (k=2,\ldots,n-1)$$ であるから， $$K=\mathbb C\left(X_0,\ X_1^n,\ \frac{X_2}{X_1^2},\ldots, \frac{X_{n-1}}{X_1^{n-1}}\right) =\mathbb C(f_0,f_1,\ldots,f_{n-1}).$$

(4) $n=6$ では $L/K$ は巡回群 $C_6=\langle\sigma\rangle$ を Galois 群にもつ。部分群は $$\{1\},\quad \langle\sigma^3\rangle,\quad \langle\sigma^2\rangle,\quad \langle\sigma\rangle$$ だけであるから，中間体は $$L,\quad L^{\langle\sigma^3\rangle},\quad L^{\langle\sigma^2\rangle},\quad K$$ の四つで尽くされる。

(1) 関係式は $$A^2=I,\qquad B^4=I,\qquad ABA=B^{-1}$$ であり，これは位数 $8$ の二面体群の二次元複素表現を考えていることに等しい。複素数体上では有限群の表現は完全可約である。

この群の一次元表現では $B=B^{-1}$ でなければならないから $B=\pm1$，また $A=\pm1$ である。したがって一次元表現は $4$ 個ある。二次元既約表現は一つで，例えば $$B=\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix},\qquad A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$$ で与えられる。

二次元表現は，この二次元既約表現そのもの，または一次元表現二つの直和である。一次元表現 $4$ 個から重複を許して二つ選ぶ方法は $$\binom{4+2-1}{2}=10$$ 通りである。よって軌道は合計 $11$ 個である。

(2) 各軌道は同型な半単純表現全体であり，半単純表現の同型類は退化で別の半単純型へ移らない。したがって各軌道は閉集合である。

(3) 固定群は表現の自己同型群である。二次元既約表現では Schur の補題により $$\operatorname{End}_G(V)=\mathbb C$$ なので固定群は $\mathbb C^\times$，次元は $1$。相異なる二つの一次元表現の直和では自己準同型環は $\mathbb C\oplus\mathbb C$ で，固定群の次元は $2$。同じ一次元表現を二回足した場合は群がスカラーとして作用し，固定群は $\operatorname{GL}_2(\mathbb C)$，次元は $4$ である。

仮に $A^\times$ が位数 $p^2$ の巡回群であるとする。$p$ は奇素数なので，この群には位数 $2$ の元がない。従って $-1=1$ であり，$A$ は標数 $2$ の環である。

単元群の生成元を $x$ とし，部分環 $R=\mathbb F_2[x]$ を考える。$R^\times\subset A^\times$ であり，しかも $x\in R^\times$ が $A^\times$ を生成するから $$R^\times=A^\times$$ である。従って $R$ は有限な $\mathbb F_2$-代数で，その単元群が巡回群 $C_{p^2}$ である。

有限可換環を局所因子に分解する。標数 $2$ の局所環で冪零元が非零なら，$1+\mathfrak n$ には $2$-冪位数の非自明な単元が現れる。しかし $R^\times$ は奇数位数なので冪零部分は存在しない。よって $R$ は有限体の直積である。

有限体 $\mathbb F_{2^m}$ の単元群の位数は $2^m-1$ である。直積の単元群が巡回な $p^2$ 群になるには，ある $m$ について $$2^m-1=p^2$$ が必要である。しかし $m\ge3$ なら左辺に $1$ を足した $2^m$ は $8$ で割り切れる一方，奇数 $p$ について $p^2+1\equiv2\pmod8$ で矛盾する。$m=1,2$ もそれぞれ $1,3$ しか与えず，奇素数の二乗にならない。

従って仮定は不可能である。

(1) 具体例では，半平面 $x>0$ 内の円 $$(x-2)^2+y^2=1$$ を $y$-軸のまわりに回転している。したがって $S$ はトーラスである。

(2) 一般の場合を示す。$C$ は $x>0$ に含まれる滑らかな単純閉曲線なので，滑らかな周期的パラメータ表示 $$\gamma(s)=(\rho(s),\eta(s)),\qquad \rho(s)>0$$ を取れる。このとき $$\Phi(s,\theta)=\bigl(\rho(s)\cos\theta,\ \eta(s),\ \rho(s)\sin\theta\bigr)$$ は $S^1\times S^1$ から $S$ への滑らかな埋め込みである。よって $S$ は $S^1\times S^1$ と微分同相であり，連結・コンパクト・向き付け可能な二次元多様体である。

(3) 最後に積分を計算する。上のパラメータ表示で空間座標を $(X,Y,Z)$ と書けば $$X=\rho\cos\theta,\quad Y=\eta,\quad Z=\rho\sin\theta.$$ したがって $$dY\wedge dZ=\eta'(s)\rho(s)\cos\theta\,ds\wedge d\theta$$ であり， $$X\,dY\wedge dZ =\rho(s)^2\eta'(s)\cos^2\theta\,ds\wedge d\theta.$$ よって $$\int_S X\,dY\wedge dZ =\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta \int_C x^2\,dy =\pi\int_C x^2\,dy.$$

(1) $U\cap V$ では $u\ne0$ かつ $v\ne0$ で，さらに $u,v$ は同一直線上にある。従って $$v=tu,\qquad t\in\mathbb R^\times$$ と一意に書ける。よって $$U\cap V\simeq(\mathbb R^3\setminus\{0\})\times\mathbb R^\times$$ である。これは二つの成分を持ち，各成分は $S^2$ にホモトピー同値である。従って $$U\cap V\simeq S^2\sqcup S^2$$ である。

(2) 次に $X$ を調べる。直線 $\ell\in\mathbb RP^2$ と係数対 $(a,b)\ne(0,0)$ により $$(u,v)=(ae,be),\qquad e\in\ell$$ と書ける。ただし $e$ を $-e$ に替えると $(a,b)$ も $(-a,-b)$ に替わる。従って $X$ は，$\mathbb RP^2$ 上の tautological line bundle $\gamma$ に対する $$(\gamma\oplus\gamma)\setminus\{\text{零切断}\}$$ である。半径方向に変形収縮して，球面束 $$(S^2\times S^1)/((n,z)\sim(-n,-z))$$ を得る。これは $S^2$ の反対写像の mapping torus と同相である。

反対写像は $H_2(S^2;\mathbb Z)$ に $-1$ として作用する。Wang 完全列から $$H_0(X;\mathbb Z)=\mathbb Z,\qquad H_1(X;\mathbb Z)=\mathbb Z,\qquad H_2(X;\mathbb Z)=\mathbb Z/2\mathbb Z,$$ かつ $k\ge3$ では $H_k(X;\mathbb Z)=0$ である。

(1) まず正則値を求める。点 $(x_1,x_2,x_3)$ での微分の像は $$x_1^\perp+x_2^\perp+x_3^\perp\subset\mathbb R^3$$ である。この和が $\mathbb R^3$ でないのは，ある非零ベクトルが三つの接平面すべてに直交する場合，すなわち $x_1,x_2,x_3$ が同一直線上にある場合に限られる。

そのとき値は $$\pm3e\pm4e\pm5e$$ の形であり，長さは $$2,\ 4,\ 6,\ 12$$ のいずれかである。従って正則値全体は，半径 $2,4,6,12$ の球面を除いた $\mathbb R^3$ である。

(2) 次に $P=(1,0,0)$ とおく。$x_3\in S_3$ を決めると，$y=P-x_3$ は長さが常に $4$ と $6$ の間にあり，$x_1+x_2=y$, $|x_1|=3$, $|x_2|=4$ を満たす $x_1$ は，$y$ に垂直な平面内の円をなす。

さらに $n=y/|y|\in S^2$ とおけば，$x_3\mapsto n$ は球面から球面への微分同相である。各 $n$ 上の円は $n^\perp$ の単位ベクトルの選択と同一視できる。従って $$F^{-1}(P)$$ は $S^2$ の単位接束と同相である。単位接束 $UTS^2$ は，向き付けられた正規直交フレームを対応させることで $\operatorname{SO}(3)$ と同相である。

$q=f(p)$ とおく。$p\notin D$ かつ $f$ は微分同相なので，$q\notin f(D)$ である。従って $q$ の十分小さい座標近傍 $W$ を，$f(D)$ と交わらないように取れる。

線形写像 $$L=G\circ (df_p)^{-1}:T_qM\to T_qM$$ を考える。仮定より $K$ を大きくすれば $L$ は恒等写像に任意に近い。座標で $q=0$ とし，$0$ の近くで $1$，$W$ の外で $0$ となる滑らかな bump 関数 $\chi$ を取る。局所写像 $$\psi(y)=y+\chi(y)(L-I)y$$ を定め，座標外では恒等写像として延長する。$L-I$ が十分小さければ，逆写像定理とコンパクト台を持つ摂動の標準的議論により $\psi$ は $M$ 上の微分同相である。

ここで $$g=\psi\circ f$$ と定める。すると $$dg_p=d\psi_q\circ df_p=L\circ df_p=G$$ である。また $\psi$ の台は $f(D)$ と交わらないので，$x\in D$ では $$g(x)=f(x)$$ である。最後に $\psi$ は $C^1$-位相で恒等写像に任意に近くできるので，$K$ を十分大きくすれば $$\|f(x)-g(x)\|\le\varepsilon,\qquad \|df_x(v)-dg_x(v)\|\le\varepsilon\|v\|$$ が全ての $x\in M$, $v\in T_xM$ で成り立つ。

(1) Fourier 変換を $$\widehat f(\xi)=\int_{\mathbb R}e^{-ix\xi}f(x)\,dx$$ で定める。条件から $$\widehat f(k\xi)=\widehat f(\xi)^k\qquad (k=1,2,\ldots)$$ が従う。特に $\widehat f(0)=\widehat f(0)^k$ なので $\widehat f(0)=0$ または $1$ である。

$\widehat f(0)=0$ のときは，任意の $\xi$ について $$\widehat f(\xi)=\widehat f(\xi/m)^m\to0$$ となるため，$\widehat f\equiv0$，従って $f=0$ である。

(2) 次に $\widehat f(0)=1$ とする。$f$ は実数値偶関数なので $\widehat f$ は実数値偶関数である。また $$\widehat f(2\xi)=\widehat f(\xi)^2\ge0$$ より，連続性から $\widehat f(\xi)>0$ である。そこで $$\psi(\xi)=-\log \widehat f(\xi)$$ とおくと， $$\psi(k\xi)=k\psi(\xi)$$ である。さらに $\widehat f(\xi)=\widehat f(\xi/k)^k$ を用いれば有理数倍率にも拡張でき，連続性から $$\psi(t\xi)=t\psi(\xi)\qquad (t\ge0)$$ である。偶性より $$\psi(\xi)=a|\xi|$$ となる。$a=0$ なら $\widehat f\equiv1$ で，これは可積分関数の Fourier 変換ではない。従って $a>0$ である。

逆変換により $$f(x)=\frac{a}{\pi(a^2+x^2)}$$ を得る。これは実際に条件を満たす。なぜなら Fourier 変換が $e^{-a|\xi|}$ であり，畳み込みは Fourier 変換の積に対応するからである。

$\eta_\delta:\mathbb R\to\mathbb R$ を滑らかな凸関数で，$\eta_\delta(t)\to\max(t,0)$ かつ $\eta_\delta'$, $\eta_\delta''$ が局所的に有界になるように取る。例えば $t_+$ を小さく平滑化したものを使えばよい。

$u$ は調和なので $\Delta u=0$ である。連鎖律から $$\Delta(\eta_\delta(u)) =\eta_\delta''(u)|\nabla u|^2+\eta_\delta'(u)\Delta u =\eta_\delta''(u)|\nabla u|^2\ge0.$$ 非負の $\phi\in C_0^\infty(\Omega)$ に対して部分積分を二回行うと $$\int_\Omega \eta_\delta(u)\Delta\phi\,dx = \int_\Omega \phi\,\Delta(\eta_\delta(u))\,dx \ge0.$$ 最後に $\delta\downarrow0$ とし，$\phi$ の台上での一様収束と有界収束を用いれば $$\int_\Omega \max(u,0)\Delta\phi\,dx\ge0$$ が得られる。

(1) まず単位円板で $a=0$ の場合を示す。一様有界性により $|f_n|\le M$ とする。零点の重複度を $\mu_n$ とすれば $$f_n(z)=z^{\mu_n}g_n(z)$$ と書ける。$0<r<\rho<1$ に対して，最大値原理より $$|g_n(z)|\le M\rho^{-\mu_n}\qquad (|z|\le r)$$ である。従って $$|f_n(z)|\le M\left(\frac r\rho\right)^{\mu_n}\to0$$ が $|z|\le r$ で一様に成り立つ。これで円板内の任意のコンパクト集合上の一様収束が分かる。

(2) 一般の領域では Montel の定理を使う。任意の部分列を取ると，一様有界な正則関数族なので，さらに部分列を取って $D$ 上広義一様に正則関数 $f$ へ収束する。各階導関数も局所一様収束する。一方，$\mu_n\to\infty$ なので，任意の $m\ge0$ に対して十分大きな $n$ では $$f_n^{(m)}(a)=0$$ である。従って極限 $f$ は $a$ で全ての階数の導関数が $0$ になり，恒等定理により $f\equiv0$ である。

任意の部分列からさらに $0$ に収束する部分列が取れるので，元の列全体も $0$ に広義一様収束する。

(1) 下半連続な非負関数 $\varphi$ は，連続有界関数列 $\psi_m$ を用いて $$0\le\psi_m\le\varphi,\qquad \psi_m(t)\uparrow\varphi(t)$$ と近似できる。

まず $C(D)$ の場合を考える。$f_n\to f$ が一様収束すると，$\psi_m$ の連続性と有界性から $$\int_D\psi_m(f_n(x))\,dx\to\int_D\psi_m(f(x))\,dx.$$ 従って $$\liminf_{n\to\infty}\Phi(f_n) \ge \lim_{n\to\infty}\int_D\psi_m(f_n(x))\,dx =\int_D\psi_m(f(x))\,dx.$$ $m\to\infty$ として単調収束定理を用いれば $$\liminf_{n\to\infty}\Phi(f_n)\ge\Phi(f)$$ を得る。

(2) $L^p(D)$ の場合も同様である。$f_n\to f$ in $L^p$ なら $f_n\to f$ in measure である。任意の部分列からさらに概収束する部分列を取れるので，$\psi_m(f_n)\to\psi_m(f)$ が測度収束し，$\psi_m$ が有界で $D$ の測度が有限であることから $$\int_D\psi_m(f_n)\,dx\to\int_D\psi_m(f)\,dx$$ が従う。あとは $C(D)$ の場合と同じく $m\to\infty$ とする。

本問の作用素 $H$ は Fourier 変換側で $$\widehat{Hf}(\xi)=\operatorname{sgn}(\xi)\widehat f(\xi)$$ として働く。これは通常の Hilbert 変換の multiplier 表示から従う。

一方，$M_\lambda^{-1}f=e^{-i\lambda x}f(x)$ は Fourier 変換を $\lambda$ だけ平行移動する。従って $$\widehat{M_\lambda H M_\lambda^{-1}f}(\xi) =\operatorname{sgn}(\xi-\lambda)\widehat f(\xi).$$ $f\in C_0^\infty(\mathbb R)$ なので $\widehat f$ は急減少関数である。よって dominated convergence により，$\lambda\to+\infty$ では $$\operatorname{sgn}(\xi-\lambda)\to-1$$ から $$M_\lambda H M_\lambda^{-1}f\to -f$$ が各点で成り立つ。同様に $\lambda\to-\infty$ では multiplier が $+1$ に収束するので $$M_\lambda H M_\lambda^{-1}f\to f$$ である。

$$\eta=(p-q)x+(p^2-q^2)y,\qquad E=e^\eta,\qquad \tau=1+E$$ とおく。このとき $$u=(\log\tau)_{xx}=\frac{(p-q)^2E}{(1+E)^2}.$$ 条件 (b), (c) から，$\lambda$ に関して $$\varphi=1+\frac{R(x,y)}{\lambda-s}$$ と書ける。偏微分方程式に代入して $\lambda$ の係数を比較すると $$R_x=-u$$ である。従って定数を吸収して $$R=-(\log\tau)_x=-\frac{(p-q)E}{1+E}$$ と取れる。残りの係数を比較すると極の位置は $s=p$ でなければならない。

よって $$\varphi(x,y;\lambda) =1-\frac{(p-q)e^{(p-q)x+(p^2-q^2)y}} {(\lambda-p)\{1+e^{(p-q)x+(p^2-q^2)y}\}}$$ である。実際， $$R_y=-(p+q)u,\qquad R_{xx}=-u_x$$ を用いれば，代入後の定数項は $$u_x+2u(\log\tau)_x-(p+q)u+2pu=0$$ となり，方程式を満たす。

内部点 $1\le i\le N-1$ について式を整理すると $$-\lambda\theta u_{i-1,j+1}+(1+2\lambda\theta)u_{i,j+1} -\lambda\theta u_{i+1,j+1}$$ $$= \lambda(1-\theta)u_{i-1,j} +(1-2\lambda(1-\theta))u_{i,j} +\lambda(1-\theta)u_{i+1,j}.$$ 仮定より右辺の三つの係数は非負で，和は $1$ である。従って時刻 $j$ で $$m\le u_{i,j}\le M$$ が全ての $i$ について成り立つなら，右辺も $m$ と $M$ の間にある。

左辺の三重対角行列を $A$ と書く。もし $Ay\le M\mathbf1$ で，ある成分 $y_i$ が $M$ を超えて最大になるとすると， $$(Ay)_i =y_i+\lambda\theta(2y_i-y_{i-1}-y_{i+1}) \ge y_i>M$$ となり矛盾する。従って $y_i\le M$。同様に $Ay\ge m\mathbf1$ なら $y_i\ge m$ である。

初期値と境界値を含めて $$M=\max_{0\le i\le N}\varphi_i,\qquad m=\min_{0\le i\le N}\varphi_i$$ とすれば，帰納法により全ての $j$ で $$m\le u_{i,j}\le M$$ が成り立つ。

一意存在については，各段階で上の三重対角行列 $A$ を解けばよい。$A$ は狭義対角優位な $M$-行列であり，特に正則である。したがって $u_{\cdot,j}$ から $u_{\cdot,j+1}$ が一意に定まり，帰納的に全体が一意に存在する。

(1) $Y_n$ が概収束するなら，差 $$X_n=Y_n-Y_{n-1}$$ は $0$ に概収束する。ところが $X_n$ は同分布独立である。もしある $\varepsilon>0$ について $$\mathbb P(|X_1|>\varepsilon)>0$$ なら，Borel--Cantelli の補題により $|X_n|>\varepsilon$ が無限回起こる。これは $X_n\to0$ に反する。従って全ての $\varepsilon>0$ でこの確率は $0$，すなわち $$\mathbb P(X_1=0)=1$$ である。逆は明らかである。

(2) 次に $X_1$ が可積分なら $$\mathbb E\sum_{k=1}^{\infty}2^{-k}|X_k| =\sum_{k=1}^{\infty}2^{-k}\mathbb E|X_1| <\infty$$ である。従って $\sum2^{-k}X_k$ は絶対収束し，$Z_n$ は概収束する。

(3) 最後に反例を与える。 $$\mathbb P(X_1=2^m)=\frac1{m(m+1)}\qquad (m=1,2,\ldots)$$ とする。この確率の和は $1$ である。事象 $$A_k=\{2^{-k}X_k\ge1\}$$ について $$\mathbb P(A_k)=\mathbb P(X_1\ge2^k)=\frac1k$$ であり，$\sum_k\mathbb P(A_k)=\infty$ である。独立性と Borel--Cantelli の補題より $A_k$ は無限回起こる。従って級数の項 $2^{-k}X_k$ は $0$ に収束せず，$Z_n$ は概収束しない。

(1) まず $L$ が分配束であるとする。$a\le b\vee x$ かつ $x\wedge c\le d$ なら $$a\wedge c\le (b\vee x)\wedge c =(b\wedge c)\vee(x\wedge c) \le b\vee d.$$ 従って性質 (C) が成り立つ。

(2) 次に $f:L\to M$ を全射束準同型とし，$L$ が (C) を満たすとする。$M$ の元 $\alpha,\beta,\gamma,\delta,\xi$ が $$\alpha\le\beta\vee\xi,\qquad \xi\wedge\gamma\le\delta$$ を満たすとする。任意に持ち上げ $a_0,b_0,c_0,d_0,x_0$ を取り， $$a=a_0\wedge(b_0\vee x_0),\qquad d=d_0\vee(x_0\wedge c_0)$$ と置き直す。すると $$f(a)=\alpha,\qquad f(d)=\delta,$$ かつ $$a\le b_0\vee x_0,\qquad x_0\wedge c_0\le d$$ である。$L$ の (C) より $$a\wedge c_0\le b_0\vee d$$ であり，$f$ を施して $$\alpha\wedge\gamma\le\beta\vee\delta$$ を得る。よって $M$ も (C) を満たす。

(3) (C') も同じ方針でよい。さらに $\beta\le\gamma$ があるので，$b_0$ を $$b=b_0\wedge c_0$$ に置き換えれば $f(b)=\beta$ かつ $b\le c_0$ である。上と同じく $$a=a_0\wedge(b\vee x_0),\qquad d=d_0\vee(x_0\wedge c_0)$$ とすれば，$L$ の (C') が使え， $$a\wedge c_0\le b\vee d$$ を得る。$f$ を施せば $M$ の (C') が従う。

(1) まず三つの式を足すと $$\frac{\partial}{\partial t}(u+v+w)=0$$ である。初期値では $u+v+w=1$ なので，全ての $t$ で $$u+v+w=1$$ が成り立つ。また $u_t\le0$ であり，非負性は方程式の右辺の形から保たれる。従って $$0\le u,v,w\le1$$ である。

(2) $$W(x,t)=\int_{\mathbb R}\lambda(x-y)w(y,t)\,dy$$ とおくと，$w_t=\gamma v$ より $$W_t(x,t)=\gamma\int_{\mathbb R}\lambda(x-y)v(y,t)\,dy.$$ したがって $$\frac{u_t}{u} =-\beta\sigma\int_{\mathbb R}\lambda(x-y)v(y,t)\,dy =-R_0 W_t.$$ 初期値から $$u(x,t)=(1-\varepsilon(x))e^{-R_0W(x,t)}$$ である。

(3) さらに $v=1-u-w$ を $w_t=\gamma v$ に代入すると $$\frac1\gamma w_t+w =1-(1-\varepsilon(x))e^{-R_0W(x,t)}$$ を得る。

(4) $u$ は単調減少で下に有界，$w$ は単調増加で上に有界なので，各点で $$u_\infty(x),\qquad w_\infty(x)$$ が存在する。従って $v=1-u-w$ も極限を持つ。さらに $w_t=\gamma v$ かつ $w$ は有界増加なので $\int_0^\infty v(x,t)\,dt<\infty$ であり，極限を持つ非負関数 $v(x,t)$ の極限は $0$ でなければならない。よって $$v_\infty(x)=0.$$ また $$u_\infty(x)=(1-\varepsilon(x))e^{-R_0W_\infty(x)}>0$$ である。初期感染が正の区間にあり，$\lambda$ は非負連続で積分が $1$ なので，感染項の正性は畳み込みにより各点へ伝わり，$w_\infty(x)>0$ である。

(5) 最後に $R_0>1$ とする。 $$h(s)=1-e^{-R_0s}-s$$ とおくと，$h(0)=0$, $h'(0)=R_0-1>0$, $h(1)<0$, かつ $h''(s)<0$ である。従って $h(s)=0$ は正の根をただ一つ持つ。それを $p$ とする。

極限方程式から $$w_\infty(x) =1-(1-\varepsilon(x))e^{-R_0W_\infty(x)} \ge 1-e^{-R_0W_\infty(x)}.$$ $m=\inf_x w_\infty(x)$ とおけば，$\lambda\ge0$, $\int\lambda=1$ より $$W_\infty(x)\ge m.$$ 従って $$m\ge1-e^{-R_0m}.$$ もし $m<p$ なら，$0<m<p$ で $h(m)>0$，すなわち $m<1-e^{-R_0m}$ となって矛盾する。よって $$\inf_{x\in\mathbb R}w_\infty(x)\ge p$$ である。