院試hub

名古屋大学 院試 過去問 解答例

名大 多元数理科学研究科 数学 2026年度 院試 解答例・解説

名古屋大学 多元数理科学研究科 数学 2026年度の院試 過去問について、設問ごとの解法方針・部分点の置き所を解説。全8問収録の解答・解説PDFと併用できます。問題本文は含みません。

最終更新:

設問ごとの解法方針・部分点の置き所を無料で公開しています。

完全な途中式・最終答は解答・解説PDFに収録しています。問題本文は含まれません。

第1問 — 後期 1 日目 第 1 問 行列式・部分空間共通部分・Jordan 標準形

方針 — Companion 行列・ベクトル空間操作・Jordan 鎖

(1) はcompanion 行列型. 対角線下 −1-1, 第 1 列 1,2,…,n+11,2,\ldots,n+1. Companion 行列の特性多項式は係数列の多項式. ここでは漸化式で順番に出る.

(2) 共通部分は連立方程式の核. 機械的だが代入順序が重要.

(3) Jordan 鎖: 固有ベクトル p2\mathbf p_{2} から逆方向に p3\mathbf p_{3} を求める.

典型ミス

  • (1) で漸化式を立てずに直接展開すると煩雑. パターン認識が鍵.
  • (2) で u3=v3\mathbf u_{3}=\mathbf v_{3} を見落とすと, 自明な共通元の存在に気づかず.
  • (3) で p3\mathbf p_{3} の存在性を確認 ((A+I)p3=p2(A+I)\mathbf p_{3}=\mathbf p_{2} が解ける条件: p2∈Im(A+I)\mathbf p_{2}\in\mathrm{Im}(A+I)).

背景 — Companion 行列と固有値

(1) で Dn=∑k=0n(k+1)xn−kD_{n}=\sum_{k=0}^{n}(k+1)x^{n-k} は基底変換すると companion 行列の特性多項式. 行列の固有値計算で常用される.

完全な解答（途中式・最終答）はPDFに収録

第2問 — 後期 1 日目 第 2 問 対合 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>P</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mi>I</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">P^{2}=I</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8141em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.1389em;">P</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0785em;">I</span></span></span></span> と固有空間分解

方針 — 対合の固有空間分解

P2=EP^{2}=E なる行列 (対合) は反射やパリティ作用素と呼ばれる. 固有空間 ±1\pm 1 で空間が直和分解.

各空間: V=ker⁡(P−I)=Im(P+I)V=\ker(P-I)=\mathrm{Im}(P+I), W=ker⁡(P+I)=Im(P−I)W=\ker(P+I)=\mathrm{Im}(P-I). これらは互いに反対の関係.

典型ミス

  • (1) で V∩W={0}V\cap W=\{\mathbf 0\} を示すのに V=Im(P+I)V=\mathrm{Im}(P+I) と W=Im(P−I)W=\mathrm{Im}(P-I) から直接ではなく, ker⁡\ker 表記を使うと簡潔.
  • (2) のキー恒等式 v=(v+Pv)/2+(v−Pv)/2\mathbf v=(\mathbf v+P\mathbf v)/2+(\mathbf v-P\mathbf v)/2. v∈V\mathbf v\in V vs WW の射影分解.

検算 — 対合の例

n=2n=2, P=(100−1)P=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix} (反射). V=V=x 軸, W=W=y 軸. V∩W={0}V\cap W=\{0\}, V+W=R2V+W=\mathbb R^{2}. ✓

背景 — 量子力学のパリティ

量子力学のパリティ作用素 Π^\hat\Pi (Π^ψ(x)=ψ(−x)\hat\Pi\psi(\mathbf x)=\psi(-\mathbf x)) は対合 Π^2=I^\hat\Pi^{2}=\hat I. 固有空間 ±1\pm 1 は偶/奇関数の空間に対応. 本問はこの代数構造の有限次元版.

完全な解答（途中式・最終答）はPDFに収録

第3問 — 後期 1 日目 第 3 問 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>f</mi><mi>n</mi></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo separator="true">,</mo><mi>y</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mi>n</mi></msup><mi>y</mi><mi mathvariant="normal">/</mi><mo stretchy="false">(</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f_{n}(x,y)=x^{n}y/(x^{2}+y^{2})</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.1076em;">f</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.1514em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:-0.1076em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">n</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal">x</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0359em;">y</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">x</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.6644em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">n</span></span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0359em;">y</span><span class="mord">/</span><span class="mopen">(</span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">x</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1.0641em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0359em;">y</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mclose">)</span></span></span></span> の連続性・偏微分・<span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>C</mi><mn>1</mn></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C^{1}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8141em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0715em;">C</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>

方針 — 連続性・微分可能性・C1C^{1} の段階

nn が増えるほど fnf_{n} は原点付近で滑らかになる. 段階:

  • n=1n=1: 連続性すら破れる (r0sin⁡θcos⁡θr^{0}\sin\theta\cos\theta 経路依存).
  • n=2n=2: 連続. 偏微分も (0,0)(0,0) で 00. しかし ∂f2/∂y\partial f_{2}/\partial y が (0,0)(0,0) で連続でない.
  • n≥3n\ge 3: C1C^{1}.

これは「微分可能と C1C^{1} は別物」の典型例.

典型ミス

  • (3) で ∂fn/∂x\partial f_{n}/\partial x のみ計算して「n≥2n\ge 2 で OK」と誤判. ∂fn/∂y\partial f_{n}/\partial y で n=2n=2 が破れる.
  • 偏微分の計算で商の微分公式の符号ミス.

検算 — n=2n=2 反例

f2(x,y)=x2y/(x2+y2)f_{2}(x,y)=x^{2}y/(x^{2}+y^{2}). ∂f2/∂y=x2(x2−y2)/(x2+y2)2\partial f_{2}/\partial y=x^{2}(x^{2}-y^{2})/(x^{2}+y^{2})^{2}. xx 軸上 (y=0y=0): x4/x4=1x^{4}/x^{4}=1. yy 軸上: 00. (0,0)(0,0) での極限が経路依存, 連続でない. 一方 ∂f2/∂y(0,0)=0\partial f_{2}/\partial y(0,0)=0. 不連続.

背景 — C1C^{1} vs Fréchet 微分

「C1C^{1}」は偏微分が連続を意味し, 「Fréchet 微分可能」より真に強い. C1C^{1} なら Fréchet 微分可能だが, 逆は必ずしも成立しない. 本問は段階的な反例集.

完全な解答（途中式・最終答）はPDFに収録

第4問 — 後期 1 日目 第 4 問 平均値定理の中間点と漸近

方針 — MVT 中間点の漸近的位置

平均値の定理で得られる中間点 ξ=a+θh\xi=a+\theta h は h→0h\to 0 でaa 中央付近 (θ=1/2\theta=1/2) に近づく (ff が滑らかなとき).

これを精密化するのが (2) で, さらに (3) で「ρ>1/2\rho>1/2 なら中間点が距離 ρ∣h∣\rho|h| 以内」を保証.

典型ミス

  • (1) h<0h<0 のときの符号調整. arccos⁡\arccos は [0,π][0,\pi] に値を取るので, θh\theta h が負のときは −arccos⁡(⋯ )-\arccos(\cdots).
  • (2) で ψ′\psi' と ψ\psi を区別. ψ=ψ′θ\psi=\psi'\theta で取り直すと (0, 1) 範囲に収まる.
  • (3) の δ\delta 選択は θ→1/2\theta\to 1/2 から θ<ρ\theta<\rho を保証する hh の範囲.

検算 — Taylor 直接

∣f(a+h)−f(a)−hf′(a)∣=∣h2/2⋅f′′(a+ϕh)∣|f(a+h)-f(a)-hf'(a)|=|h^{2}/2 \cdot f''(a+\phi h)|. 一方 ∣f(a+h)−f(a)∣=∣h f′(a+θh)∣|f(a+h)-f(a)|=|h\,f'(a+\theta h)|. これら比較で θ→1/2\theta\to 1/2.

背景 — Cauchy 平均値定理と Taylor 級数

中間点 θ\theta の挙動は Cauchy の平均値定理で精密化可能. θ→1/2\theta\to 1/2 は Lagrange 剰余の対称性に起因. これは数値解析でのエラー評価 (中点法など) や PDE の Taylor 展開で頻出.

完全な解答（途中式・最終答）はPDFに収録

第5問 — 後期 2 日目 第 1 問 アフィン部分集合 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi><mo separator="true">,</mo><mi>W</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V,W</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.2222em;">V</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.1389em;">W</span></span></span></span> の共通部分と直和分解

方針 — アフィン vs 線形部分空間, 次元公式

VV が 0\mathbf 0 を含む ⇔\Leftrightarrow RHS =0=\mathbf 0 (同次). アフィン部分空間は線形でない (一般). 共通部分が線形になるには両方が線形.

V⊕W=R4V\oplus W=\mathbb R^{4} には: (i) V∩W={0}V\cap W=\{\mathbf 0\}, (ii) dim⁡V+dim⁡W=4\dim V+\dim W=4. 両方確認.

典型ミス

  • (1) で「VV がアフィンだから, V∩WV\cap W もアフィン」 → 「線形条件は 0\mathbf 0 を含む」と結ぶ論理.
  • (2) で 5 行 4 列を階段化する際, 行操作の順序ミス. ランクは順序によらないが計算ミスを誘発.
  • (3) で a=2a=2 と c≠−2c\ne -2 の両方が必要. どちらか片方では成立しない.

背景 — Grassmann 公式

dim⁡(V+W)+dim⁡(V∩W)=dim⁡V+dim⁡W\dim(V+W)+\dim(V\cap W)=\dim V+\dim W. 本問: dim⁡V+dim⁡W=4\dim V+\dim W=4 かつ dim⁡(V∩W)=0\dim(V\cap W)=0 で dim⁡(V+W)=4=dim⁡R4\dim(V+W)=4=\dim\mathbb R^{4}, V⊕W=R4V\oplus W=\mathbb R^{4}.

完全な解答（途中式・最終答）はPDFに収録

第6問 — 後期 2 日目 第 2 問 関数列の積分・極限

方針 — 近似的 δ\delta 関数

(1) はFatou の補題の鋭さを示す例: 質量 11 が原点に集中するが, ff (≡0\equiv 0) には行き先がない. DCT が使えない反例.

(3) は (1) と類似だが連続 ff で重み付け. ne−nxne^{-nx} も近似的 δ\delta 関数 (原点に集中).

(2) は単調収束 + 指数集中. g(x)<1g(x)<1 on (0,1)(0,1) で指数で抑え込まれる.

典型ミス

  • (1) で「∫fn=1\int f_{n}=1」を計算ミス. 三角形面積 (1/2)⋅(2/n)⋅n=1(1/2)\cdot(2/n)\cdot n=1.
  • (2) で AM-GM を使わず直接で済ませると, 経路依存性が見えにくい.
  • (3) で δ\delta と nn の選び方の順序: δ\delta 先, nn 後 (大).

背景 — Lebesgue 支配収束定理 vs Fatou

(1) DCT 不適用例. Fatou 補題 lim inf⁡∫fn≥∫lim inf⁡fn\liminf\int f_{n}\ge\int\liminf f_{n} は成立 (1≥01\ge 0). (2) DCT 適用例 (優関数 ≡1\equiv 1). (3) δ\delta 関数列の典型, 「ne−nx→δ0ne^{-nx}\to\delta_{0}」を ∫fδ0=f(0)\int f\delta_{0}=f(0) で適用.

完全な解答（途中式・最終答）はPDFに収録

第7問 — 後期 2 日目 第 3 問 楔形等高線で Fresnel 型積分

方針 — Gauss 積分の角度パラメータ族

重要観察: z=xeiβz=xe^{i\beta} で −z2=−x2e2iβ-z^{2}=-x^{2}e^{2i\beta}. 実部 −x2cos⁡2β-x^{2}\cos 2\beta が指数減衰を与え, 虚部が振動を与える.

β=0\beta=0 で標準 Gauss: ∫e−x2dx=π/2\int e^{-x^{2}}dx=\sqrt\pi/2. 本問は β>0\beta>0 への一般化で, cos⁡2β\cos 2\beta が小さくなる (β→π/4\beta\to\pi/4 で cos⁡2β→0\cos 2\beta\to 0, 減衰なし) ときに収束ぎりぎり.

典型ミス

  • (2) の rβ⋅e−r2cos⁡2βr\beta\cdot e^{-r^{2}\cos 2\beta} で cos⁡2β>0\cos 2\beta>0 (条件 β<π/4\beta<\pi/4 から) を確認する必要. 等号 β=π/4\beta=\pi/4 では収束破綻.
  • (3) で JJ の向き (内向き reiβ→0re^{i\beta}\to 0 vs 外向き 0→reiβ0\to re^{i\beta}) を取り違えると符号反転.
  • 実部・虚部分離で計算ミス. eiβ(A−iB)=Aeiβ−iBeiβ=Acos⁡β+Bsin⁡β+i(Asin⁡β−Bcos⁡β)e^{i\beta}(A-iB)=Ae^{i\beta}-iBe^{i\beta}=A\cos\beta+B\sin\beta+i(A\sin\beta-B\cos\beta). 実部 Acos⁡β+Bsin⁡β=π/2A\cos\beta+B\sin\beta=\sqrt\pi/2. 虚部 Asin⁡β−Bcos⁡β=0A\sin\beta-B\cos\beta=0. (A,BA,B について 2 元連立で A=(π/2)cos⁡β,B=(π/2)sin⁡βA=(\sqrt\pi/2)\cos\beta,B=(\sqrt\pi/2)\sin\beta.)

背景 — Fresnel 積分への接続

β→π/4\beta\to\pi/4: cos⁡2β→0\cos 2\beta\to 0, sin⁡2β→1\sin 2\beta\to 1. 形式的に A→∫0∞cos⁡(x2)dx=π/8  (Fresnel 積分). A\to\int_{0}^{\infty}\cos(x^{2})dx = \sqrt{\pi/8}\;(\text{Fresnel 積分}).

公式 A=(π/2)cos⁡βA=(\sqrt\pi/2)\cos\beta で β=π/4\beta=\pi/4: (π/2)(1/2)=π/(22)=π/8(\sqrt\pi/2)(1/\sqrt 2)=\sqrt\pi/(2\sqrt 2)=\sqrt{\pi/8}. ✓ Fresnel 値.

本問は Fresnel 積分の連続変形. 等高線の取り方で π/8\sqrt{\pi/8} を得る古典的方法.

完全な解答（途中式・最終答）はPDFに収録

第8問 — 後期 2 日目 第 4 問 集合 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>A</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span></span></span></span> を含む開集合系 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msubsup><mi mathvariant="script">O</mi><mi>X</mi><mi>A</mi></msubsup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\mathcal O_{X}^{A}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.1167em;vertical-align:-0.2753em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathcal" style="margin-right:0.0278em;">O</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8413em;"><span style="top:-2.4247em;margin-left:-0.0278em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.0785em;">X</span></span></span></span><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">A</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2753em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>

方針 — 「特殊集合 AA を含む位相」と連続性

OXA\mathcal O_{X}^{A} はAA を「強制的な共通部分」とする位相. AA がいわば「ベースライン」となり, 開集合は必ず AA を含む.

Hausdorff 性: 異なる 2 点を分離する開集合が必要だが, 全ての非空開が AA を含むので A≠∅A\ne\emptyset なら分離不能. 結果, ∣X∣=1|X|=1 が条件.

連続性: g=fg=f as a map Y→YY\to Y. YY の開逆像が YY で開 ⇔\Leftrightarrow 「∅\emptyset または A=(−∞,0)A=(-\infty,0) を含む」.

典型ミス

  • (3) で「ff が連続 ⇒\Rightarrow gg も連続」と短絡. YY の位相は通常のユークリッドより粗い, 連続性は逆になることも. 実際本問は通常連続な ff に追加条件 (f<0f<0 on (−∞,0)(-\infty,0)) が必要.
  • (4) で「f≥0f\ge 0 on R\mathbb R なら OK」と誤判. 正しくは「ff 定数」.
  • (2) で ∣X∣=1|X|=1 のケース (自明 Hausdorff) を見落とすと「never Hausdorff」と書く.

背景 — 粗い位相と分離公理

OXA\mathcal O_{X}^{A} はAA で粒度を粗くした位相. 通常のユークリッドより粗いので連続性は強くなる (f−1(V)f^{-1}(V) がより制限的な開集合になる必要).

応用: 商位相, 終位相 (final topology) などで類似構造. 「強制的な共通部分」を持つ位相は分離公理を満たしにくい.

完全な解答（途中式・最終答）はPDFに収録

名古屋大学 数学 — 他の年度