名大 多元数理科学研究科 数学 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（全8問）

方針 — Companion 行列・ベクトル空間操作・Jordan 鎖

(1) はcompanion 行列型. 対角線下 $-1$, 第 1 列 $1,2,\ldots,n+1$. Companion 行列の特性多項式は係数列の多項式. ここでは漸化式で順番に出る.

(2) 共通部分は連立方程式の核. 機械的だが代入順序が重要.

(3) Jordan 鎖: 固有ベクトル $\mathbf p_{2}$ から逆方向に $\mathbf p_{3}$ を求める.

典型ミス

• (1) で漸化式を立てずに直接展開すると煩雑. パターン認識が鍵.
• (2) で $\mathbf u_{3}=\mathbf v_{3}$ を見落とすと, 自明な共通元の存在に気づかず.
• (3) で $\mathbf p_{3}$ の存在性を確認 ($(A+I)\mathbf p_{3}=\mathbf p_{2}$ が解ける条件: $\mathbf p_{2}\in\mathrm{Im}(A+I)$).

背景 — Companion 行列と固有値

(1) で $D_{n}=\sum_{k=0}^{n}(k+1)x^{n-k}$ は基底変換すると companion 行列の特性多項式. 行列の固有値計算で常用される.

方針 — 対合の固有空間分解

$P^{2}=E$ なる行列 (対合) は反射やパリティ作用素と呼ばれる. 固有空間 $\pm 1$ で空間が直和分解.

各空間: $V=\ker(P-I)=\mathrm{Im}(P+I)$, $W=\ker(P+I)=\mathrm{Im}(P-I)$. これらは互いに反対の関係.

典型ミス

• (1) で $V\cap W=\{\mathbf 0\}$ を示すのに $V=\mathrm{Im}(P+I)$ と $W=\mathrm{Im}(P-I)$ から直接ではなく, $\ker$ 表記を使うと簡潔.
• (2) のキー恒等式 $\mathbf v=(\mathbf v+P\mathbf v)/2+(\mathbf v-P\mathbf v)/2$. $\mathbf v\in V$ vs $W$ の射影分解.

検算 — 対合の例

$n=2$, $P=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}$ (反射). $V=$x 軸, $W=$y 軸. $V\cap W=\{0\}$, $V+W=\mathbb R^{2}$. ✓

背景 — 量子力学のパリティ

量子力学のパリティ作用素 $\hat\Pi$ ($\hat\Pi\psi(\mathbf x)=\psi(-\mathbf x)$) は対合 $\hat\Pi^{2}=\hat I$. 固有空間 $\pm 1$ は偶/奇関数の空間に対応. 本問はこの代数構造の有限次元版.

方針 — 連続性・微分可能性・$C^{1}$ の段階

$n$ が増えるほど $f_{n}$ は原点付近で滑らかになる. 段階:

• $n=1$: 連続性すら破れる ($r^{0}\sin\theta\cos\theta$ 経路依存).
• $n=2$: 連続. 偏微分も $(0,0)$ で $0$. しかし $\partial f_{2}/\partial y$ が $(0,0)$ で連続でない.
• $n\ge 3$: $C^{1}$.

これは「微分可能と $C^{1}$ は別物」の典型例.

典型ミス

• (3) で $\partial f_{n}/\partial x$ のみ計算して「$n\ge 2$ で OK」と誤判. $\partial f_{n}/\partial y$ で $n=2$ が破れる.
• 偏微分の計算で商の微分公式の符号ミス.

検算 — $n=2$ 反例

$f_{2}(x,y)=x^{2}y/(x^{2}+y^{2})$. $\partial f_{2}/\partial y=x^{2}(x^{2}-y^{2})/(x^{2}+y^{2})^{2}$. $x$ 軸上 ($y=0$): $x^{4}/x^{4}=1$. $y$ 軸上: $0$. $(0,0)$ での極限が経路依存, 連続でない. 一方 $\partial f_{2}/\partial y(0,0)=0$. 不連続.

背景 — $C^{1}$ vs Fréchet 微分

「$C^{1}$」は偏微分が連続を意味し, 「Fréchet 微分可能」より真に強い. $C^{1}$ なら Fréchet 微分可能だが, 逆は必ずしも成立しない. 本問は段階的な反例集.

方針 — MVT 中間点の漸近的位置

平均値の定理で得られる中間点 $\xi=a+\theta h$ は $h\to 0$ で$a$ 中央付近 ($\theta=1/2$) に近づく ($f$ が滑らかなとき).

これを精密化するのが (2) で, さらに (3) で「$\rho>1/2$ なら中間点が距離 $\rho|h|$ 以内」を保証.

典型ミス

• (1) $h<0$ のときの符号調整. $\arccos$ は $[0,\pi]$ に値を取るので, $\theta h$ が負のときは $-\arccos(\cdots)$.
• (2) で $\psi'$ と $\psi$ を区別. $\psi=\psi'\theta$ で取り直すと (0, 1) 範囲に収まる.
• (3) の $\delta$ 選択は $\theta\to 1/2$ から $\theta<\rho$ を保証する $h$ の範囲.

検算 — Taylor 直接

$|f(a+h)-f(a)-hf'(a)|=|h^{2}/2 \cdot f''(a+\phi h)|$. 一方 $|f(a+h)-f(a)|=|h\,f'(a+\theta h)|$. これら比較で $\theta\to 1/2$.

背景 — Cauchy 平均値定理と Taylor 級数

中間点 $\theta$ の挙動は Cauchy の平均値定理で精密化可能. $\theta\to 1/2$ は Lagrange 剰余の対称性に起因. これは数値解析でのエラー評価 (中点法など) や PDE の Taylor 展開で頻出.

方針 — アフィン vs 線形部分空間, 次元公式

$V$ が $\mathbf 0$ を含む $\Leftrightarrow$ RHS $=\mathbf 0$ (同次). アフィン部分空間は線形でない (一般). 共通部分が線形になるには両方が線形.

$V\oplus W=\mathbb R^{4}$ には: (i) $V\cap W=\{\mathbf 0\}$, (ii) $\dim V+\dim W=4$. 両方確認.

典型ミス

• (1) で「$V$ がアフィンだから, $V\cap W$ もアフィン」 → 「線形条件は $\mathbf 0$ を含む」と結ぶ論理.
• (2) で 5 行 4 列を階段化する際, 行操作の順序ミス. ランクは順序によらないが計算ミスを誘発.
• (3) で $a=2$ と $c\ne -2$ の両方が必要. どちらか片方では成立しない.

背景 — Grassmann 公式

$\dim(V+W)+\dim(V\cap W)=\dim V+\dim W$. 本問: $\dim V+\dim W=4$ かつ $\dim(V\cap W)=0$ で $\dim(V+W)=4=\dim\mathbb R^{4}$, $V\oplus W=\mathbb R^{4}$.

方針 — 近似的 $\delta$ 関数

(1) はFatou の補題の鋭さを示す例: 質量 $1$ が原点に集中するが, $f$ ($\equiv 0$) には行き先がない. DCT が使えない反例.

(3) は (1) と類似だが連続 $f$ で重み付け. $ne^{-nx}$ も近似的 $\delta$ 関数 (原点に集中).

(2) は単調収束 + 指数集中. $g(x)<1$ on $(0,1)$ で指数で抑え込まれる.

典型ミス

• (1) で「$\int f_{n}=1$」を計算ミス. 三角形面積 $(1/2)\cdot(2/n)\cdot n=1$.
• (2) で AM-GM を使わず直接で済ませると, 経路依存性が見えにくい.
• (3) で $\delta$ と $n$ の選び方の順序: $\delta$ 先, $n$ 後 (大).

背景 — Lebesgue 支配収束定理 vs Fatou

(1) DCT 不適用例. Fatou 補題 $\liminf\int f_{n}\ge\int\liminf f_{n}$ は成立 ($1\ge 0$). (2) DCT 適用例 (優関数 $\equiv 1$). (3) $\delta$ 関数列の典型, 「$ne^{-nx}\to\delta_{0}$」を $\int f\delta_{0}=f(0)$ で適用.

方針 — Gauss 積分の角度パラメータ族

重要観察: $z=xe^{i\beta}$ で $-z^{2}=-x^{2}e^{2i\beta}$. 実部 $-x^{2}\cos 2\beta$ が指数減衰を与え, 虚部が振動を与える.

$\beta=0$ で標準 Gauss: $\int e^{-x^{2}}dx=\sqrt\pi/2$. 本問は $\beta>0$ への一般化で, $\cos 2\beta$ が小さくなる ($\beta\to\pi/4$ で $\cos 2\beta\to 0$, 減衰なし) ときに収束ぎりぎり.

典型ミス

• (2) の $r\beta\cdot e^{-r^{2}\cos 2\beta}$ で $\cos 2\beta>0$ (条件 $\beta<\pi/4$ から) を確認する必要. 等号 $\beta=\pi/4$ では収束破綻.
• (3) で $J$ の向き (内向き $re^{i\beta}\to 0$ vs 外向き $0\to re^{i\beta}$) を取り違えると符号反転.
• 実部・虚部分離で計算ミス. $e^{i\beta}(A-iB)=Ae^{i\beta}-iBe^{i\beta}=A\cos\beta+B\sin\beta+i(A\sin\beta-B\cos\beta)$. 実部 $A\cos\beta+B\sin\beta=\sqrt\pi/2$. 虚部 $A\sin\beta-B\cos\beta=0$. ($A,B$ について 2 元連立で $A=(\sqrt\pi/2)\cos\beta,B=(\sqrt\pi/2)\sin\beta$.)

背景 — Fresnel 積分への接続

$\beta\to\pi/4$: $\cos 2\beta\to 0$, $\sin 2\beta\to 1$. 形式的に $$A\to\int_{0}^{\infty}\cos(x^{2})dx = \sqrt{\pi/8}\;(\text{Fresnel 積分}).$$

公式 $A=(\sqrt\pi/2)\cos\beta$ で $\beta=\pi/4$: $(\sqrt\pi/2)(1/\sqrt 2)=\sqrt\pi/(2\sqrt 2)=\sqrt{\pi/8}$. ✓ Fresnel 値.

本問は Fresnel 積分の連続変形. 等高線の取り方で $\sqrt{\pi/8}$ を得る古典的方法.

方針 — 「特殊集合 $A$ を含む位相」と連続性

$\mathcal O_{X}^{A}$ は$A$ を「強制的な共通部分」とする位相. $A$ がいわば「ベースライン」となり, 開集合は必ず $A$ を含む.

Hausdorff 性: 異なる 2 点を分離する開集合が必要だが, 全ての非空開が $A$ を含むので $A\ne\emptyset$ なら分離不能. 結果, $|X|=1$ が条件.

連続性: $g=f$ as a map $Y\to Y$. $Y$ の開逆像が $Y$ で開 $\Leftrightarrow$ 「$\emptyset$ または $A=(-\infty,0)$ を含む」.

典型ミス

• (3) で「$f$ が連続 $\Rightarrow$ $g$ も連続」と短絡. $Y$ の位相は通常のユークリッドより粗い, 連続性は逆になることも. 実際本問は通常連続な $f$ に追加条件 ($f<0$ on $(-\infty,0)$) が必要.
• (4) で「$f\ge 0$ on $\mathbb R$ なら OK」と誤判. 正しくは「$f$ 定数」.
• (2) で $|X|=1$ のケース (自明 Hausdorff) を見落とすと「never Hausdorff」と書く.

背景 — 粗い位相と分離公理

$\mathcal O_{X}^{A}$ は$A$ で粒度を粗くした位相. 通常のユークリッドより粗いので連続性は強くなる ($f^{-1}(V)$ がより制限的な開集合になる必要).

応用: 商位相, 終位相 (final topology) などで類似構造. 「強制的な共通部分」を持つ位相は分離公理を満たしにくい.