名大 多元数理科学研究科 数学 2025年度 院試 解答例・解説

方針 — 冪極限と固有値

行列の冪極限 $\lim A^{n}$ は固有値の絶対値に支配される. 確率行列 (Markov 連鎖) や応力解析 (固有モード) など広く使う.

典型ミス

• (1) で行列式展開時の符号ミス. 行 3 で展開すると $0$ がないので途中項が出る.
• (3) で $|2a|=1$ のケースを「$2a=1$ ならジョルダン block で発散」と「$2a=-1$ なら振動」両方を吟味.
• $a=0$ で固有値 $0$ が代数的重複度 $2$ になることを見落とすと, 「$a=0$ で対角化不可」と誤判.

検算 — 数値例

$a=1/4$: 固有値 $0,1,1/2$. $A^{n}\to$ (対角化された $\mathrm{diag}(0,1,(1/2)^{n})$) $\to\mathrm{diag}(0,1,0)$ 相当. $\lim$ 存在. ✓

$a=-1/2$: 固有値 $0,1,-1$. $(-1)^{n}$ 振動で発散. ✓

背景 — Markov 連鎖と Perron-Frobenius

非負行列の冪極限は Markov 連鎖の定常分布計算で頻出. Perron-Frobenius 定理で「最大固有値 $1$, それ以外 $|\lambda|<1$」を保証すれば $A^{n}\to$ 一階の射影. 本問は線形代数的にこの条件を表現.

方針 — 反交換子の固有値構造

$T_{A}(X)=AX+XA$ は反交換子作用素. その固有値は $A$ の固有値 $\lambda_{i}$ の和 $\lambda_{i}+\lambda_{j}$ ($i,j$ 対応). $$\det T_{A} = \prod_{i,j}(\lambda_{i}+\lambda_{j}) = (2\lambda_{1})(\lambda_{1}+\lambda_{2})^{2}(2\lambda_{2}) = 4\lambda_{1}\lambda_{2}(\lambda_{1}+\lambda_{2})^{2} = 4\det A\cdot(\mathrm{tr}A)^{2}.$$

これが (3) の本質.

典型ミス

• (3) で「$\det A\ne 0\Rightarrow A$ 可逆 $\Rightarrow X=A^{-1}\cdots$」と短絡的に解こうとする. $AX=-XA$ は $X=A^{-1}(-XA)$ で再帰的, 解にならない.
• $\det M_{A}$ の直接計算は煩雑. (2) で $c=0$ ケースを先にやり, (3) で一般化の流れに乗る.
• $\mathrm{tr}A=0$ なら $A=\mathrm{diag}(\lambda,-\lambda)$ で $X=I$ などが反交換例 ($AI+IA=2A\ne 0$ あれ). 簡単な反例: $A=\sigma_{z},X=\sigma_{x}$. $AX+XA=\sigma_{z}\sigma_{x}+\sigma_{x}\sigma_{z}=0$ (Pauli 行列の反交換). $\mathrm{tr}A=0$ で確かに非自明解.

背景 — Pauli 行列とスピン

$\mathrm{tr}A=0$ の例: $A$ がトレースレス (Pauli 行列, スピン演算子). このとき $\sigma_{i}\sigma_{j}+\sigma_{j}\sigma_{i}=2\delta_{ij}I$ で, 異なる Pauli 行列が反交換. これは Clifford 代数の基礎関係. 本問は逆に「反交換解の存在」を $\mathrm{tr}=0$ または $\det=0$ で特徴づける.

方針 — 微分可能性と Taylor の主要部

(2) は$x-\log(1+x)\sim x^{2}/2$ (Taylor 2 次) を捉えるのが要. 直接計算しようとすると煩雑.

(3) は変数変換で $4y^{2}\to v^{2}$ にして円形領域に持ち込む.

典型ミス

• (1) で経路 $y=x$ と $y=-x$ で異なる値 ($1/2$ と $-1/2$) を得て, 「$\pm 1/2$ で極限あり」と誤解. 経路依存性で極限なしが正解.
• (2) で $|x|^{\alpha}\cdot|x|^{2\beta}=|x|^{\alpha+2\beta}$ を見落とし, $\alpha,\beta$ 別々に条件を出す.
• (3) で $4y^{2}$ を $v^{2}$ に置換しないと極座標が円形にならない.

検算 — (3) の $\theta$ 範囲

直線 $u=v$ ($\theta=\pi/4$) と円 $u^{2}+v^{2}=4$ ($r=2$) の交点: $r\cos(\pi/4)=r\sin(\pi/4)$ で $r=2,\theta=\pi/4$. 第一象限 $\theta\in[0,\pi/4]$ で領域確定. ✓

背景 — 多変数の微分可能性

(2) は「方向微分は存在するが全微分は存在しない」典型例の精密化. 一般に $f$ が微分可能 $\Rightarrow$ 全方向で偏微分存在 $\Rightarrow$ 連続. しかし逆は成り立たない.

方針 — 対称性とヤコビ関係

$x+y$ と $xy$ は対称多項式の基本基底. $D$ の境界も対称多項式の式で書けるので, 変換 $F$ で長方形に化ける.

$|x^{2}-y^{2}|\,dx\,dy$ も $u,v$ 表示で $u\,du\,dv$ の形にきれいに化ける (Jacobian $|x-y|$ がキャンセル).

典型ミス

• $F$ は $D$ 上で 2 対 1 (対称な $(x,y)$ と $(y,x)$ が同じ $(u,v)$ に行く). 対称性 $\times 2$ を忘れると半分の値.
• $D'$ の境界条件: $u^{2}\ge 4v$ (実数解条件). $u\ge 2$ で $u^{2}/4\ge 1\ge v$ で自動成立. 見落とし注意.
• $|x^{2}-y^{2}|$ を $|x-y|(x+y)$ と分解せず直接 $(x^{2}-y^{2})^{2}$ で扱おうとすると煩雑.

検算 — 部分積分での確認

直接累次積分で確認可能だが煩雑. $u\,v$ 化で長方形 $[2,3]\times[0,1]$ 上の $\int u\,du\,dv$ になり, 計算が瞬時.

背景 — 対称多項式と Newton-Girard

$u=x+y$, $v=xy$ は初等対称多項式 ($e_{1}, e_{2}$). 任意の対称多項式は $e_{1},e_{2},\ldots$ の多項式で書ける (基本定理). 本問は対称な領域・関数のため $u,v$ 座標が自然.

方針 — Vandermonde 補間と Hermite 補間

(2)(3) はLagrange 補間: $r+1$ 点で値 → 次数 $r$ 多項式が一意決定.

(4) はHermite 補間: $r+1$ 点で値 + 微分値 → 次数 $2r+1$ 多項式が一意決定. ノード $r+1$ 個に各 $2$ 条件 (値 + 微分) で計 $2r+2$ 条件 = 次数 $2r+1$ 多項式の自由度に対応.

典型ミス

• (2) で $\dim\ker$ を直接計算せずに「次元定理」だけで $1$ と書いて終わり. 具体的に $x(x-1)(x-2)(x-3)$ を提示する必要.
• (3) で「次元一致のみで全単射」と短絡. Vandermonde 行列の正則性を確認する必要 (ノードが相異なる).
• (4) で $2r+2$ と $n$ の比較で off-by-one. $\le 2r+1$ で単射, $\ge 2r+2$ で反例 $((x(x-1)\cdots)^{2})$ 構成可能.

検算 — Hermite 補間の文献値

ノード $r+1$ 個での Hermite 補間 (各点で値 + 1 階微分 $= 2$ 条件) は次数 $2r+1$ で一意. 本問の $G$ は $n=2r+1$ で全単射 (核 $0$, 単射), $n=2r+2$ で核 $1$ 次元, $n\ge 2r+2$ で核 $\ge 1$.

背景 — 補間と数値解析

Lagrange 補間, Hermite 補間, スプライン補間など, 数値解析の基礎. 応用: ODE の Runge-Kutta 法, 有限要素法, 信号処理. 本問の Vandermonde 行列は実用上「条件数最悪」 (一様ノードで指数的悪化) で, Chebyshev ノードへの変更が標準的.

方針 — 一様収束と支配収束

(2) は逆 (一様収束 $\Rightarrow$ $f$ 定数) で自由度の喪失を示す. (3) は局所一様 (距離 $t>0$ 離して) は自由度を保つ.

(4) は $f_{n}$ が一様収束しないにもかかわらず, 重み $e^{-x^{2}}$ が原点近傍で安定し, 極限値が出る. 支配収束定理に近い議論.

典型ミス

• (2) で「$f_{n}\to\alpha$ pointwise + uniform $\Rightarrow$ $\alpha$ on whole」のはずが, $f(0)=\alpha$ と一般 $f(x)=\alpha$ を区別せず誤導.
• (3) で「$x\ge t$」の役割を見落とすと一様収束失敗 ($x=0$ で困る).
• (4) で $t$ の選び方: $t=\varepsilon/(4K)$ と精密に.

検算 — 単純例

$f(x)=\alpha+e^{-x}$. $f_{n}(x)=\alpha+e^{-nx}$. $\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}\cdot(\alpha+e^{-nx})dx=\alpha\sqrt\pi/2+\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}-nx}dx\to\alpha\sqrt\pi/2$ ($n\to\infty$, 第 2 項 $\to 0$). ✓

背景 — Lebesgue 支配収束定理

(4) の議論はLebesgue 支配収束定理の特殊例: $f_{n}\to\alpha$ a.e. (測度 $0$ の集合 $\{0\}$ を除いて), $|f_{n}|\le K$ 一様, $K\cdot e^{-x^{2}}$ 可積分. ゆえに $\int e^{-x^{2}}f_{n}\to\int e^{-x^{2}}\cdot\alpha$. 本問は具体的に $\varepsilon$-$\delta$ で示せる.

方針 — 留数定理で級数を計算

$\sin(\pi z)$ は整数で零点をもつので, $1/(z^{2}\sin(\pi z))$ の留数和が級数 $\sum 1/n^{2}\cdot(-1)^{n}$ を与える. これは標準的な「留数定理で Bernoulli 数値を計算する」例.

別の文脈: $\cot(\pi z)$ や $\csc(\pi z)$ を使うと $\sum 1/n^{s}$ ($s$ 偶数) が計算できる. 本問は $\csc$ 型.

典型ミス

• (3) で $z=0$ の留数 $\pi/6$ を計算し損なう. Laurent 展開を 2 項目まで取る.
• (4) で $-N$ から $N$ までの全留数を取らずに $1$ から $N$ だけ. 対称性で $2$ 倍する.
• $C_{N}$ の周長を $4N$ ではなく正確に $4(2N+1)$.

背景 — $\zeta$ 関数と Bernoulli 数

$\zeta(2)=\pi^{2}/6$. これは Euler の有名な結果. 一般に $\zeta(2k)$ は $\pi^{2k}\cdot\mathbb Q$ の値で書ける (Bernoulli 数). 本問の交代和 $\sum(-1)^{n}/n^{2}=\eta(2)$ ($\eta$ は Dirichlet eta) も $\pi^{2}/12$ で表される.

方針 — 4 つの古典命題

(1) 集合論基本 (両辺の要素一致). (2) 「片方の合成 $=\mathrm{id}$」と「全単射」を区別する反例. (3) 「連続全単射 $\ne$ 同相」の典型反例 (有限/コンパクト性のない場合). (4) 「Hausdorff $+$ コンパクト $\Rightarrow$ 分離可能」の標準証明.

典型ミス

• (2) で $X$ 有限ならば $g\circ f=\mathrm{id}\Rightarrow f$ 全単射 $\Rightarrow$ $f\circ g=\mathrm{id}$. 反例には$X$ 無限が必要.
• (3) の反例で「位相」を定義しないと不完全. $X=[0,2\pi)$ 通常位相, $Y=S^{1}$ 相対位相. 連続性は $\varepsilon$-$\delta$ で確認可能.
• (4) で「コンパクト $K$」を「閉 $K$」と緩めると一般には成り立たない (例: $\mathbb R$ で $K=$ 閉部分集合, $\mathbb R$ Hausdorff だが $K$ 無界なら $x$ から「逃げられる」).

検算 — (3) の反例

連続性は閉集合の逆像が閉, または近傍で. $f$ 連続: $[0,2\pi)\ni t\mapsto e^{it}\in S^{1}$ は $\sin,\cos$ が連続なので連続. 全単射: $[0,2\pi)$ から $S^{1}$ 上一周が一意なので全単射.

$f^{-1}$ 不連続: $(1,0)\in S^{1}$ で. 開集合 $[0,1)\subset X$ の $f$ による像 $\{e^{i\theta}:\theta\in[0,1)\}$ は $S^{1}$ で閉でも開でもない (上半部のみ).

背景 — Hausdorff コンパクト分離原理

(4) は正則 (T$_{3}$) 性の特殊形: コンパクトハウスドルフ空間は正規 (T$_{4}$) で, 互いに素な閉集合を開集合で分離可能. 本問はその出発点 (点 vs コンパクト集合).