名大 多元数理科学研究科 数学 2024年度 院試 解答例・解説

方針 — 同時対角化と可換性

可換 $\Leftrightarrow$ 同時対角化可 (両方が対角化可なら). 一方の固有空間内でもう一方を制限し, さらに対角化することで共通基底を得る.

典型ミス

• (1) で「重複固有値 $\Rightarrow$ 対角化不可」と短絡. 幾何的重複度を計算する.
• (2) で $AB=BA$ を確認し忘れ. 可換でないと同時対角化不可.
• 共通固有ベクトル探しで, 一方の重複固有空間内でもう一方を制限することを忘れて全成分を試す.

検算 — $P$ の正規化

$P^{-1}AP=\mathrm{diag}(1,2,2)$ と $P^{-1}BP=\mathrm{diag}(-1,0,-1)$ をそれぞれ列ごとに確認 ($\mathbf v_{i}$ がそれぞれの固有値の固有ベクトル).

背景 — Lie 環と同時対角化

$AB=BA$ を満たす可換環 $\{A,B\}$ はLie 環の Cartan 部分代数を生成する. すべて対角化可 $\Rightarrow$ 共通固有空間分解を持つ. 量子力学では「同時固有状態」が交換子 $0$ の観測可能量に対応する.

方針 — Grassmann の次元公式と Gram-Schmidt

(2) は次元公式の応用. 行列式 $0$ で $V_{1}+V_{2}$ の次元が落ちる条件.

(4) は $V_{1}\cap V_{2}$ から始める Gram-Schmidt の変形: 共通部分の単位ベクトルから, それぞれ $V_{1},V_{2}$ で直交化, 最後に直交補空間の単位ベクトルを取る.

典型ミス

• (2) の行列式計算で列展開のサインを取り違える. cofactor $(-1)^{i+j}\det(\text{minor})$.
• (4) で $\mathbf v_{2}$ を $V_{1}$ 内から取り直さず $\mathbf a$ そのままにすると $\langle\mathbf v_{1},\mathbf a\rangle\ne 0$ で直交基底にならない.
• $\mathbf v_{4}$ を直交補空間で取るとき連立方程式を慎重に.

背景 — Grassmannian と二平面の交わり

$\mathbb R^{4}$ 内の 2 平面 $V_{1},V_{2}$ の組は Grassmann 多様体 $\mathrm{Gr}(2,4)$ の元 2 つ. 一般 (generic) には $V_{1}\cap V_{2}=\{\mathbf 0\}$ ($V_{1}+V_{2}=\mathbb R^{4}$). 特殊条件 (本問では $t=-1$) で交わりが 1 次元になる. これは $\mathrm{Gr}(2,4)$ 上の Schubert 余次元 $1$ 部分多様体に相当.

方針 — 端点での主要部解析

広義積分の収束は2 端点で別々に: $x=0$ ($\sin x\sim x$) と $x=\infty$ ($1+x^{\beta}\sim x^{\beta}$). それぞれで主要項を取り出して $\int x^{-\gamma}$ の判定.

典型ミス

• (1) の Taylor で 5 次項 $+$ 1.0e-6 を無視すると 4 桁目に影響. 含める.
• (1) の四捨五入: 第 5 位の $6$ で第 4 位 $9\to 10$ で繰り上がり. $0.0996\to 0.0997$.
• (2) で $\sin x+x$ を $0$ で $2x$, $\infty$ で $x$ と扱い分ける. 中間で$\sin x+x>0$ (実際 $x>0$ なら $\sin x+x>0$ 必ず? $x\ge 0.5$ で $\sin x>-1>-x$ 安全, $0<x<0.5$ も $\sin x>-x$).
• $e^{\sin x}$ の有界性 (上 $e$, 下 $e^{-1}$) を使う. 可積分性に効くのは指数因子の $0$ への減衰が無いので, 主要項は $\sin x+x$ と $1+x^{\beta}$.

検算 — 数値計算 (1)

実際 $\int_{0}^{0.1}e^{-x^{2}}dx \approx 0.0996686525\ldots$, 4 桁四捨五入で $0.0997$. ✓

背景 — 誤差関数と漸近展開

$\mathrm{erf}(x)=(2/\sqrt\pi)\int_{0}^{x}e^{-s^{2}}ds$. 本問は $\mathrm{erf}(0.1)\sqrt\pi/2\approx 0.0997$. Taylor で $x$ 小では 3 項で十分高精度. 大 $x$ では漸近展開 $\mathrm{erf}(x)\sim 1-e^{-x^{2}}/(\sqrt\pi x)$ が有効.

方針 — Raabe の判定法

通常の比判定法 (d'Alembert) は $\lim a_{n+1}/a_{n}=\rho$. $\rho<1$ で収束, $\rho>1$ で発散, $\rho=1$ で不確定.

Raabe の判定法: $\rho=1$ の場合 (つまり $a_{n+1}/a_{n}\to 1$) で第 2 オーダーを見る. $$n\Bigl(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}-1\Bigr)\to\alpha:\quad\alpha<-1\;\Rightarrow\;\text{収束},\;\alpha>-1\;\Rightarrow\;\text{発散}.$$ 本問はこの判定法の証明.

(2) で $b_{n}=n^{-s}$ の比較対象を準備し, (3) で間に挟み込む.

典型ミス

• (3) で $s$ の選び方: $\alpha<-s<-1$ となる $s$ を取る. $s$ をどう取るかが鍵.
• (1) で $a_{n}/b_{n}$ の単調性を $a_{n+1}/b_{n+1}\le a_{n}/b_{n}$ で表す. 比較定数 $C=a_{N}/b_{N}$.

検算 — 具体例

$a_{n}=1/n^{2}$. $a_{n+1}/a_{n}=(n/(n+1))^{2}\to 1$. $n(a_{n+1}/a_{n}-1) = n(((n+1)/n)^{-2}-1) \to -2 < -1$. Raabe で $\sum 1/n^{2}$ 収束. ✓ ($s=3/2$ などで挟むと OK.)

背景 — 比判定法の階層

級数の収束判定は階層的:

• Cauchy 判定 ($\sqrt[n]{a_{n}}\to\rho$).
• d'Alembert 比判定 ($a_{n+1}/a_{n}\to\rho$).
• Raabe 判定 ($n(a_{n+1}/a_{n}-1)\to\alpha$).
• Bertrand, Gauss 判定など (より細かい).

それぞれ前段が決定打にならない場合に次を使う. Raabe は $\rho=1$ の境界で活躍.

方針 — Gram 行列の意味

Gram 行列 $A=(\langle\mathbf v_{i},\mathbf v_{j}\rangle)$ はベクトル組の依存関係を符号化する. 正則 $\Leftrightarrow$ 独立, 階数 = 張る部分空間の次元.

(1) は内積の双線形性. (2) は半正定値性. (3) は (2) の特別ケース. (4) は階数定理 + 核の対応.

典型ミス

• (2) で固有値が「$\ge 0$」と「$> 0$」を混同. 半正定値 ($\ge 0$) と正定値 ($>0$) は$0$ 固有値の有無で区別.
• (3) で $\mathbf v_{i}$ 従属から $A$ の核 $\ne\{\mathbf 0\}$ を直接導く論理が抜ける.
• (4) で $\ker L=\ker A$ の証明を忘れる. これは (3) の結論を一般化したもの.

検算 — 単純例

$V=\mathbb R^{2}$, $\mathbf v_{1}=(1,0),\mathbf v_{2}=(1,1),\mathbf v_{3}=(2,1)$. $A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\ 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 5\end{pmatrix}$. $\mathbf v_{3}=\mathbf v_{1}+\mathbf v_{2}$ で従属. $\det A=0$ ✓. $\mathrm{rank}(A)=2$ = $\dim\mathrm{span}(\mathbf v_{i})=2$. ✓

背景 — 線形最小二乗法と Gram 行列

回帰 $A\mathbf x=\mathbf b$ で $A^{T}A$ は法方程式の係数行列 = $A$ の列ベクトルの Gram 行列. 列が独立なら正則, 最小二乗解 $\hat{\mathbf x}=(A^{T}A)^{-1}A^{T}\mathbf b$. 列が従属なら正則でなく, 一意解なし (Moore-Penrose 擬似逆など必要).

方針 — 熱核と $\delta$ 関数列

$G(\mathbf x,t)$ は熱核 (heat kernel) の一般化. $g(r)=(4\pi)^{-1}e^{-r^{2}/4}\cdot\pi^{-3/2}$ など特定の $g$ で標準熱核 $G_{t}(\mathbf x)=(4\pi t^{2})^{-3/2}e^{-\|\mathbf x\|^{2}/(4t^{2})}$ になる.

(1) 質量 $1$, (2) 集中性, (3) 連続性, (4) 一様収束 — 近似的 $\delta$ 関数の標準性質.

典型ミス

• (3) で $u$ の表現式 $\int g(\|\mathbf z\|)f(\mathbf x-t\mathbf z)d\mathbf z$ の変換を見落とす. 元の式 $\int G(\mathbf y,t)f(\mathbf x-\mathbf y)d\mathbf y$ で直接議論すると煩雑.
• (4) の議論で $R$ と $t$ の選び順 ($R$ 先, それから $t<\eta/R$) を間違える.

検算 — 連続関数の畳み込み

$f$ 連続有界, $G$ 平滑近似 $\delta$. 畳み込み $G*f$ は $f$ に平滑化された近似. $t\to 0$ で $f$ に戻る. 物理的には「初期分布 $f$ を時間 $t$ 拡散させた結果」が $u$.

背景 — 熱方程式と Gauss 核

標準 Gauss 核 $G_{t}(\mathbf x)=(4\pi t)^{-3/2}e^{-\|\mathbf x\|^{2}/(4t)}$ は熱方程式 $\partial_{t}u=\Delta u$ の基本解 ($u(\mathbf x,0)=\delta_{0}$). 本問の $G$ は形式が異なるが「$\delta$ 関数列」として同じ役割を果たす. 偏微分方程式の初期値問題でこの近似は基本.

方針 — 特異点を除去した整関数の活用

直接 $e^{iz}/z$ で $z=0$ に極があり工夫が必要だが, $(e^{iz}-1)/z$ は除去可能. 整関数として扱える $f$ で Cauchy 定理 $\oint=0$ を直接適用. $-1$ を引いた分は他経路で改めて評価する.

(2) Jordan の不等式は四分円・半円の閉曲線で大切な評価.

典型ミス

• (3) で $C_{2}$ の向き ($iR\to 0$) を $0\to iR$ と取り違え, 符号反転.
• $\int_{C_{1}}$ の実部 $\int(\cos x-1)/x\,dx$ も評価する必要があり ($R\to\infty$ で何かに収束する), 実部の比較で別の積分 (Frullani 型) が出る.
• Jordan 不等式 $\sin\theta\ge 2\theta/\pi$ を逆向きにすると不等号が反転.

別解 — Laplace 変換

$\int_{0}^{\infty}\sin(x)/x\,dx = \int_{0}^{\infty}\bigl[\int_{0}^{\infty}e^{-tx}\sin x\,dt\bigr]dx$ (Frullani 型変換) $=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{t^{2}+1}dt=\pi/2$.

背景 — Dirichlet 積分とフーリエ解析

$\int\sin x/x\,dx=\pi/2$ は最も有名な「絶対収束しない (条件収束) 積分」. Fourier 級数の収束理論 (Riemann 局所原理), Plancherel 等式 ($\mathrm{sinc}$ の Fourier 変換 $=$ 矩形関数) などで頻出. 物理ではアンテナのビームパターンや回折の sinc 関数として現れる.

方針 — 連結性の標準論法

連結性の証明は背理法が標準: 「もし非連結なら開集合 $U,V$ で分離できる」. 矛盾を示す.

(1) は連続写像が連結性を保つ. (2) は閉包が連結性を継承. (3) は「連結族の融合」 — 共通点で固定すれば全体も連結.

典型ミス

• (1) で $U,V$ が $Y$ の開集合, $f^{-1}(U),f^{-1}(V)$ が $X$ の開集合になることが連続性の核心. 連続性の定義そのもの.
• (2) で $\overline A\subset U\cup V$ から $A\subset U\cup V$ への移行は$A\subset\overline A$ を使う.
• (3) で「$A_{\lambda}\subset U$ or $V$」を排他的に主張する根拠 ($A_{\lambda}$ 連結 + $U\cap V\cap A_{\lambda}=\emptyset$).

検算 — 例示

$\mathbb R$ の閉区間 $[0,1]$ は連結 (中間値定理から). $\mathbb R^{2}$ の単位円周 $S^{1}$ も連結. これらは (1) を $f:[0,1]\to S^{1}$, $t\mapsto e^{2\pi it}$ などで確認可.

(3) の例: $\mathbb R^{2}$ で 2 直線 $\{(x,0)\}$ と $\{(0,y)\}$ は原点で交わる連結集合. その和 (十字形) も連結.

背景 — 連結成分と単連結性

連結性は位相空間の「ひと続き性」. (3) を一般化すると「連結成分」(=その点を含む最大の連結集合) が定義され, $X$ の同値類分割を与える. さらに「単連結」(連結 + 任意の閉曲線が縮約可) はホモトピー論の出発点.