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名古屋大学 院試 過去問 解答例

名大 多元数理科学研究科 数学 2021年度 院試 過去問 解答例・解説（全8問）

全8問。微分積分・解析3問・線形代数2問。テーマタグは4件（固有値・固有ベクトル・重積分と極座標・留数定理）。

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解説6問と大問1問の途中式・最終答（全8問）
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途中式と最終答（最終答つき0問）
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名大 数学 2021年度 院試 過去問の出題内容（全8問）

この8問の分野は微分積分・解析3問・線形代数2問です。

大問分野主題解説の小見出し最終答
第1問線形代数1 日目 第 1 問 線形代数(対角化可能性)方針 — 行列式 vs トレース / 検算 — 具体例—
第2問微分積分・解析1 日目 第 2 問 微積分(広義積分・極値・累次積分)方針 — 半収束 vs 絶対収束 / 極座標変換 / 検算 — 体積近似 (3)—
第3問—1 日目 第 3 問 複素解析(留数定理による有理関数の広義積分)方針 — +1) の一般公式 / 別解 — 偶関数 + 1/2 円—
第4問線形代数2 日目 第 1 問 線形代数(A^2={}^T\!A なる行列)方針 — =TA から =I を導く / 検算 — ユニタリ性—
第5問微分積分・解析2 日目 第 2 問 有界変動関数方針 — BV と微分可能性 / 検算 — Jordan の分解—
第6問微分積分・解析2 日目 第 3 問 連結性と局所定数関数方針 — 連結性の標準的使い方 / 別解 (1) — の値の連続濃度上限—
第7問————
第8問————

この年度の解説には典型ミス6件が付いています。

2021年度の出題テーマと、同じテーマを出した他大学・他年度

この年度は4問に4テーマが出ています。

テーマこの年度全体の出題実績他大学の直近出題
固有値・固有ベクトル第1・4問25大学・544問
重積分と極座標第2問23大学・142問
留数定理第3問18大学・126問
群論・環論第4問13大学・60問

第1問 — 1 日目 第 1 問 線形代数(対角化可能性)

方針 — 行列式 vs トレース

固有値 3 個の問題は (i) 試行ベクトル (1,1,t)(1,1,t) で 2 個見つけて (ii) トレースで 3 個目を求める, が最速. 直接特性多項式を展開すると 3 次方程式になり計算が長い.

対角化可能性は 代数的重複度 = 幾何的重複度 で判定. 重複した固有値だけを集中して調べればよい.

典型ミス

  • (1) で a=0a=0 の特別ケースを見落とすと, 「aa をパラメータとして λ=a+1\lambda=a+1」が常に有効と誤解する.
  • (4) で「固有値が重複したら対角化不可能」と短絡する. 重複しても十分な数の独立な固有ベクトルがあれば対角化できる (例: 単位行列 II).
  • a=−2,b=−1a=-2,b=-1 のケース (b=a+1b=a+1 の例外) を取りこぼしがち. A+IA+I のランクを実際に計算して確認する習慣.

検算 — 具体例

a=1,b=2a=1,b=2 (b=a+1b=a+1, a≠−2a\ne -2): 対角化不可能のはず. A=(−231−451−332),A−2I=(−431−431−330). A=\begin{pmatrix}-2 & 3 & 1\\ -4 & 5 & 1\\ -3 & 3 & 2\end{pmatrix},\quad A-2I=\begin{pmatrix}-4 & 3 & 1\\ -4 & 3 & 1\\ -3 & 3 & 0\end{pmatrix}. row 1 = row 2 で rank =2=2, dim⁡ker⁡=1\dim\ker=1 < 代数的重複度 22. 対角化不可能. 整合.

背景 — Jordan 標準形と最小多項式

対角化不可能な行列は Jordan ブロックを持つ. 本問の b=a+1,a≠−2b=a+1, a\ne -2 では固有値 a+1a+1 が 2×22\times 2 Jordan ブロックを 1 個持つ. 最小多項式は (x−1)(x−(a+1))2(x-1)(x-(a+1))^{2}.

1 日目 第 1 問 線形代数(対角化可能性)の途中式・最終答をPDFで見る

第2問 — 1 日目 第 2 問 微積分(広義積分・極値・累次積分)

方針 — 半収束 vs 絶対収束 / 極座標変換

(1) cos⁡x/x\cos x/x は絶対値が 1/x1/x で発散するため絶対収束しない 半収束 例. 部分積分は半収束を扱う標準テク.

(3) 直交座標で ex2+y2e^{x^{2}+y^{2}} は積分困難だが極座標で er2r dre^{r^{2}}r\,dr になり初等的. 「ガウス型 + 円形領域」のキーフレーズで自動的に極座標を選ぶ.

典型ミス

  • (1) Dirichlet 判定法 (cos⁡x\cos x の積分が有界 ++ 1/x1/x が単調減少 →0\to 0) でも可だが, 部分積分の方が機械的.
  • (2) 「det⁡H=0\det H=0」で「不確定」と書いて終わりにせず, 軸方向の値を見て鞍点と確定.
  • (3) 領域図示を怠ると上限の意味を取り違える. 「直線 y=xy=x と円弧で囲まれた扇形」と把握できれば θ∈[0,π/4]\theta\in[0,\pi/4] が即出る.

検算 — 体積近似 (3)

aa 小: e2a2−1≈2a2e^{2a^{2}}-1\approx 2a^{2}, 答 ≈πa2/4\approx \pi a^{2}/4 = 半径 aa の円の 1/8 (本領域の面積 ∼a2π/4\sim a^{2}\pi/4, er2≈1e^{r^{2}}\approx 1). 整合.

背景 — 半収束積分と Riemann-Lebesgue

∫1∞cos⁡x/x dx=−Ci(1)\int_{1}^{\infty}\cos x/x\,dx = -\mathrm{Ci}(1) (余弦積分関数). 数値 ≈0.337\approx 0.337. これは Riemann-Lebesgue 補題(f∈L1f\in L^{1} なら ∫fcos⁡λx dx→0\int f\cos\lambda x\,dx\to 0) の議論にも関連する.

解答

(1) ∫1∞cos⁡x/x dx\int_{1}^{\infty}\cos x/x\,dx の収束

部分積分: u=1/x, dv=cos⁡x dxu=1/x,\,dv=\cos x\,dx (du=−dx/x2,v=sin⁡xdu=-dx/x^{2}, v=\sin x). ∫1Acos⁡xx dx=[sin⁡xx]1A+∫1Asin⁡xx2 dx=sin⁡AA−sin⁡1+∫1Asin⁡xx2 dx. \int_{1}^{A}\frac{\cos x}{x}\,dx = \left[\frac{\sin x}{x}\right]_{1}^{A} + \int_{1}^{A}\frac{\sin x}{x^{2}}\,dx = \frac{\sin A}{A} - \sin 1 + \int_{1}^{A}\frac{\sin x}{x^{2}}\,dx.

A→∞A\to\infty で

  • sin⁡A/A→0\sin A/A\to 0 (∣sin⁡A∣≤1|\sin A|\le 1, 1/A→01/A\to 0).
  • ∫1∞sin⁡x/x2 dx\int_{1}^{\infty}\sin x/x^{2}\,dx は ∣sin⁡x/x2∣≤1/x2|\sin x/x^{2}|\le 1/x^{2} かつ ∫1∞1/x2 dx=1<∞\int_{1}^{\infty}1/x^{2}\,dx=1<\infty より絶対収束.

ゆえに有限値に収束.

(2) f(x,y)=x2−y4−(x+y)4f(x,y)=x^{2}-y^{4}-(x+y)^{4} の極値

臨界点: fx=2x−4(x+y)3=0,fy=−4y3−4(x+y)3=0. f_{x}=2x-4(x+y)^{3}=0,\quad f_{y}=-4y^{3}-4(x+y)^{3}=0.

第 2 式から (x+y)3=−y3(x+y)^{3}=-y^{3}, 実数 3 乗根は単射ゆえ x+y=−yx+y=-y, x=−2yx=-2y.

第 1 式に代入: −4y−4(−y)3=−4y+4y3=4y(y2−1)=0-4y - 4(-y)^{3} = -4y + 4y^{3} = 4y(y^{2}-1)=0. y=0,±1y=0,\pm 1.

臨界点: (0,0), (−2,1), (2,−1)(0,0),\,(-2,1),\,(2,-1).

Hesse 行列: H=(2−12(x+y)2−12(x+y)2−12(x+y)2−12y2−12(x+y)2). H = \begin{pmatrix}2-12(x+y)^{2} & -12(x+y)^{2}\\ -12(x+y)^{2} & -12y^{2}-12(x+y)^{2}\end{pmatrix}.

(0,0)(0,0): H=diag(2,0)H=\mathrm{diag}(2,0), det⁡=0\det=0. 高階項で判定. y=0y=0 軸上 f=x2−x4f=x^{2}-x^{4} (近傍で >0>0), x=0x=0 軸上 f=−2y4<0f=-2y^{4}<0. 鞍点 (極値でない).

(−2,1)(-2,1): x+y=−1x+y=-1, y=1y=1. H=(−10−12−12−24)H=\begin{pmatrix}-10 & -12\\ -12 & -24\end{pmatrix}. det⁡=240−144=96>0\det=240-144=96>0, fxx=−10<0f_{xx}=-10<0. 極大, 値 f(−2,1)=4−1−1=2f(-2,1)=4-1-1=2.

(2,−1)(2,-1): x+y=1x+y=1, y=−1y=-1. H=(−10−12−12−24)H=\begin{pmatrix}-10 & -12\\ -12 & -24\end{pmatrix}. 同様に極大, 値 f(2,−1)=4−1−1=2f(2,-1)=4-1-1=2.

(3) 累次積分 (極座標変換)

積分領域 D={(x,y):0≤y≤a,  y≤x≤2a2−y2}D=\{(x,y):0\le y\le a,\;y\le x\le\sqrt{2a^{2}-y^{2}}\}.

境界: 下 y=0y=0, 左 x=yx=y (直線, θ=π/4\theta=\pi/4), 右 x2+y2=2a2x^{2}+y^{2}=2a^{2} (半径 2a\sqrt 2 a の円).

直線 y=xy=x と円 x2+y2=2a2x^{2}+y^{2}=2a^{2} で囲まれた第 1 象限の扇形 (0≤θ≤π/40\le\theta\le\pi/4).

極座標: x=rcos⁡θ, y=rsin⁡θx=r\cos\theta,\,y=r\sin\theta, D={r∈[0,2a], θ∈[0,π/4]}D=\{r\in[0,\sqrt 2 a],\,\theta\in[0,\pi/4]\}. ∬Dex2+y2 dxdy=∫0π/4dθ∫02aer2 r dr. \iint_{D}e^{x^{2}+y^{2}}\,dxdy = \int_{0}^{\pi/4}d\theta\int_{0}^{\sqrt 2 a}e^{r^{2}}\,r\,dr.

内側: ∫02aer2r dr=12[er2]02a=(e2a2−1)/2\int_{0}^{\sqrt 2 a}e^{r^{2}}r\,dr = \tfrac{1}{2}[e^{r^{2}}]_{0}^{\sqrt 2 a} = (e^{2a^{2}}-1)/2.

最終答

% ∫1∞cos⁡x/x dx\int_{1}^{\infty}\cos x/x\,dx は収束する (Dirichlet 型の半収束積分).%

% 極大: (−2,1), (2,−1)(-2,1),\,(2,-1) で f=2f=2. 極小なし. (0,0)(0,0) は鞍点.%

% ∫0a ⁣ ⁣∫y2a2−y2 ⁣ ⁣ex2+y2 dx dy=π4⋅e2a2−12=π(e2a2−1)8. \int_{0}^{a}\!\!\int_{y}^{\sqrt{2a^{2}-y^{2}}}\!\!e^{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy = \frac{\pi}{4}\cdot\frac{e^{2a^{2}}-1}{2} = \frac{\pi(e^{2a^{2}}-1)}{8}. %

第3問 — 1 日目 第 3 問 複素解析(留数定理による有理関数の広義積分)

方針 — ∫dx/(x2n+1)\int dx/(x^{2n}+1) の一般公式

∫−∞∞dxx2n+1=πnsin⁡(π/(2n)). \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2n}+1} = \frac{\pi}{n\sin(\pi/(2n))}.

n=3n=3: π/(3sin⁡(π/6))=π/(3⋅1/2)=2π/3\pi/(3\sin(\pi/6))=\pi/(3\cdot 1/2)=2\pi/3. ✓

留数の計算で「z6=−1z^{6}=-1 ゆえ z5=−1/zz^{5}=-1/z」のトリックは, 1/(p′(z))1/(p'(z)) を簡略化する標準手法.

典型ミス

  • 上半平面の極を 3 個全部拾う. z0,z1,z2z_{0},z_{1},z_{2} のうち 1 つを忘れて π/3\pi/3 になる事故.
  • 留数公式 Res=1/p′(zk)\mathrm{Res}=1/p'(z_{k}) を 1/p(zk)1/p(z_{k}) と混同 (分母にゼロが入る).
  • 大きい円弧での寄与 →0\to 0 の評価を省略 (証明問題なら厳密性を要求).
  • 偏角の取り方: zk=ei(2k+1)π/6z_{k}=e^{i(2k+1)\pi/6} で k=0k=0 から始める. k=1k=1 から始めると 1 つずれる.

別解 — 偶関数 + 1/2 円

f(x)=1/(x6+1)f(x)=1/(x^{6}+1) は偶関数なので I=2∫0∞f dxI=2\int_{0}^{\infty}f\,dx. これを Beta 関数で: ∫0∞dxx6+1=16B(1/6,5/6)=π/6sin⁡(π/6)=π3. \int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x^{6}+1} = \frac{1}{6}B(1/6,5/6) = \frac{\pi/6}{\sin(\pi/6)} = \frac{\pi}{3}.

ゆえに I=2π/3I=2\pi/3. ✓

背景 — 留数定理の物理応用

1/(x2n+a2n)1/(x^{2n}+a^{2n}) 型は信号処理の Butterworth フィルタ (nn 次), 量子力学の伝播関数 (n=1n=1) などに登場. 留数定理は計算を初等的に閉じる強力な道具.

1 日目 第 3 問 複素解析(留数定理による有理関数の広義積分)の途中式・最終答をPDFで見る

第4問 — 2 日目 第 1 問 線形代数(A^2={}^T\!A なる行列)

方針 — A2=T ⁣AA^{2}={}^{T}\!A から A3=IA^{3}=I を導く

(3) のキーは「A2A^{2} を転置で表現できれば A4=T(A2)=AA^{4}={}^{T}(A^{2})=A」. ここから AA がユニタリ行列だと判明し, スペクトル定理が使える.

(1)(2) は内積の性質と A∗=T ⁣AA^{*}={}^{T}\!A (実行列) を使う典型. 通常の対称行列 (A∗=AA^{*}=A) や反対称 (A∗=−AA^{*}=-A) と同様にスペクトルが代数的に決まる.

典型ミス

  • (1) ⟨v,Av⟩\langle v,Av\rangle から直接 α=αˉ\alpha=\bar\alpha にしてしまう (これは「実固有値」). 本問は ⟨v,A2v⟩\langle v,A^{2}v\rangle を使って 2 乗が出る.
  • (3) 「α3=1\alpha^{3}=1」の根に α=0\alpha=0 を含めない (元から AA 正則).
  • (3) A=IA=I になってしまう可能性を厳密に排除する必要 (条件 A≠IA\ne I から).
  • (4) 巡回置換以外にも例: 回転行列 R(2π/3)R(2\pi/3) など. 実形式 diag(1, R(2π/3))\mathrm{diag}(1,\,R(2\pi/3)) も可.

検算 — ユニタリ性

A∗A=(T ⁣A)A=A2⋅A=A3=IA^{*}A = ({}^{T}\!A)A = A^{2}\cdot A = A^{3} = I が「ユニタリ」の定義. 同時に AA が直交行列 (実ユニタリ).

背景 — 有限次群の表現

A3=IA^{3}=I で A≠IA\ne I は巡回群 Z/3Z\mathbb Z/3\mathbb Z の自明でない表現. 実 3 次元では 3 次巡回置換または「1 軸まわりの 120∘120^{\circ} 回転」が標準. これは本問が誘導している群論的構造.

2 日目 第 1 問 線形代数(A^2={}^T\!A なる行列)の途中式・最終答をPDFで見る

第5問 — 2 日目 第 2 問 有界変動関数

方針 — BV と微分可能性

(1) は「C1C^{1} かつ f′f' 有界 ⇒\Rightarrow BV」の定型. 平均値定理が要.

(2) は典型的反例: x2sin⁡(1/x)x^{2}\sin(1/x) は g′g' が原点で連続でないが BV, xcos⁡(1/x)x\cos(1/x) は g′g' が ∼1/xsin⁡(1/x)\sim 1/x\sin(1/x) で発散して非 BV. 「x2x^{2} で抑えると微分可能」「xx では微分不可能」が記憶のキー.

典型ミス

  • (1) で f′f' が「連続」であることを暗黙に使うと, (2)(i) の gg (g′g' が原点で連続でない) には直接適用できないように見える. しかし平均値定理は微分可能性のみで成立.
  • (2)(i) で g′(0)g'(0) の値を曖昧にすると証明が穴あき. g′(0)=0g'(0)=0 を明示する.
  • (2)(ii) で「x→0x\to 0 で h→0h\to 0 なので OK」と誤判. BV は変動和の議論であって極限値だけでは決まらない.

検算 — Jordan の分解

BV 関数は単調増加関数の差で書ける (Jordan の分解). g(x)=x2sin⁡(1/x)g(x)=x^{2}\sin(1/x) なら全変動 V01(g)<∞V_{0}^{1}(g)<\infty. 一方 hh では V01(h)=∞V_{0}^{1}(h)=\infty.

背景 — Riemann-Stieltjes 積分

BV 関数 φ\varphi に対する ∫f dφ\int f\,d\varphi (Riemann-Stieltjes 積分) は φ\varphi が BV であることが well-defined の必要条件. h(x)=xcos⁡(1/x)h(x)=x\cos(1/x) で「xcos⁡(1/x)x\cos(1/x) を積分関数として使えない」ことが (2)(ii) の意味.

2 日目 第 2 問 有界変動関数の途中式・最終答をPDFで見る

第6問 — 2 日目 第 3 問 連結性と局所定数関数

方針 — 連結性の標準的使い方

(2) は「連結 ⇒\Rightarrow clopen 集合は ∅\emptyset または全体」の典型応用. f−1({c})f^{-1}(\{c\}) が開かつ閉 を示せば終わり.

(1) は Rn\mathbb R^{n} の弧状連結性の特殊版 (弧が C1C^{1}). 一般の連続曲線で弧状連結なら同じ結論を出すには Lebesgue 微分可能性などが必要.

典型ミス

  • (1) で連鎖律を「∇f⋅γ′\nabla f\cdot\gamma'」と書いたら適切. 偏導関数の定義に戻す必要なし.
  • (1) の仮定「C1C^{1} 級曲線」は重要 (γ′\gamma' が連続). 単に「連続曲線で結べる」では弧長が無限のとき f∘γf\circ\gamma の微分可能性が保証されない.
  • (2) で「X∖AX\setminus A が開」を示し忘れる. これも局所定数性から従う.
  • (2) で「f(X)f(X) が連結 ⇒\Rightarrow R\mathbb R の連結部分集合 = 区間」とやってしまい, 区間に値域が制限されるが定数とは限らない. 局所定数性の仮定を直接使う.

別解 (1) — ff の値の連続濃度上限

UU 弧状連結 ⇒\Rightarrow 連結 (位相). 連結空間上の連続関数の値域は連結 (区間). ff の値が「特定の点で 0 でない」とすると Mean Value Theorem を一次元で使い矛盾.

背景 — 連結性 vs 弧状連結性

Rn\mathbb R^{n} の開集合では「連結 ⇔\Leftrightarrow 弧状連結」が成立. 一般の位相空間では弧状連結 ⇒\Rightarrow 連結だが逆は偽 (位相空間の例: トポロジストの正弦曲線).

(2) の議論は連結空間で成立する一般原理 = 「XX から離散空間 {c1,c2,…}\{c_{1},c_{2},\ldots\} への連続写像は値域が 1 点」. 局所定数性は連続性 + 離散像の言い換え.

2 日目 第 3 問 連結性と局所定数関数の途中式・最終答をPDFで見る

第7問

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第8問

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名大 数学 院試 過去問の収録6年度

  • 2026年度（全8問）

    後期 1 日目 第 1 問 行列式・部分空間共通部分・Jordan 標準形 ／ 後期 1 日目 第 2 問 対合 P^2=I と固有空間分解 ／ 後期 1 日目 第 3 問 f_n(x,y)=x^ny/(x^2+y^2) の連続性・偏微分・C^1

  • 2025年度（全8問）

    後期 1 日目 第 1 問 行列の対角化と冪極限 ／ 後期 1 日目 第 2 問 反交換子型線形変換 T_A(X)=AX+XA ／ 後期 1 日目 第 3 問 多変数極限・微分可能性・累次積分

  • 2024年度（全8問）

    後期 1 日目 第 1 問 行列の同時対角化 ／ 後期 1 日目 第 2 問 部分空間 V_1,V_2 の交わりと正規直交基底 ／ 後期 1 日目 第 3 問 数値積分と広義積分の収束

  • 2023年度（全8問）

    後期 1 日目 第 1 問 連立 1 次方程式(A\mathbf x=\mathbf b の可解性) ／ 後期 1 日目 第 2 問 行列の固有値とジョルダン標準形 ／ 後期 1 日目 第 3 問 楕円 g=0 上の f=xy の極値

  • 2022年度（全8問）

    後期 1 日目 第 1 問 線形代数(部分空間 V,W の和と共通部分) ／ 後期 1 日目 第 2 問 線形代数(対角化可能性) ／ 後期 1 日目 第 3 問 微積分(\sin x+\sin y-\sin(x+y) の極値)

  • 2021年度（このページ・全8問）

    1 日目 第 1 問 線形代数(対角化可能性) ／ 1 日目 第 2 問 微積分(広義積分・極値・累次積分) ／ 1 日目 第 3 問 複素解析(留数定理による有理関数の広義積分)