名大 多元数理科学研究科 数学 2021年度 院試 解答例・解説

方針 — 行列式 vs トレース

固有値 3 個の問題は (i) 試行ベクトル $(1,1,t)$ で 2 個見つけて (ii) トレースで 3 個目を求める, が最速. 直接特性多項式を展開すると 3 次方程式になり計算が長い.

対角化可能性は 代数的重複度 = 幾何的重複度 で判定. 重複した固有値だけを集中して調べればよい.

典型ミス

• (1) で $a=0$ の特別ケースを見落とすと, 「$a$ をパラメータとして $\lambda=a+1$」が常に有効と誤解する.
• (4) で「固有値が重複したら対角化不可能」と短絡する. 重複しても十分な数の独立な固有ベクトルがあれば対角化できる (例: 単位行列 $I$).
• $a=-2,b=-1$ のケース ($b=a+1$ の例外) を取りこぼしがち. $A+I$ のランクを実際に計算して確認する習慣.

検算 — 具体例

$a=1,b=2$ ($b=a+1$, $a\ne -2$): 対角化不可能のはず. $$A=\begin{pmatrix}-2 & 3 & 1\\ -4 & 5 & 1\\ -3 & 3 & 2\end{pmatrix},\quad A-2I=\begin{pmatrix}-4 & 3 & 1\\ -4 & 3 & 1\\ -3 & 3 & 0\end{pmatrix}.$$ row 1 = row 2 で rank $=2$, $\dim\ker=1$ < 代数的重複度 $2$. 対角化不可能. 整合.

背景 — Jordan 標準形と最小多項式

対角化不可能な行列は Jordan ブロックを持つ. 本問の $b=a+1, a\ne -2$ では固有値 $a+1$ が $2\times 2$ Jordan ブロックを 1 個持つ. 最小多項式は $(x-1)(x-(a+1))^{2}$.

方針 — 半収束 vs 絶対収束 / 極座標変換

(1) $\cos x/x$ は絶対値が $1/x$ で発散するため絶対収束しない 半収束 例. 部分積分は半収束を扱う標準テク.

(3) 直交座標で $e^{x^{2}+y^{2}}$ は積分困難だが極座標で $e^{r^{2}}r\,dr$ になり初等的. 「ガウス型 + 円形領域」のキーフレーズで自動的に極座標を選ぶ.

典型ミス

• (1) Dirichlet 判定法 ($\cos x$ の積分が有界 $+$ $1/x$ が単調減少 $\to 0$) でも可だが, 部分積分の方が機械的.
• (2) 「$\det H=0$」で「不確定」と書いて終わりにせず, 軸方向の値を見て鞍点と確定.
• (3) 領域図示を怠ると上限の意味を取り違える. 「直線 $y=x$ と円弧で囲まれた扇形」と把握できれば $\theta\in[0,\pi/4]$ が即出る.

検算 — 体積近似 (3)

$a$ 小: $e^{2a^{2}}-1\approx 2a^{2}$, 答 $\approx \pi a^{2}/4$ = 半径 $a$ の円の 1/8 (本領域の面積 $\sim a^{2}\pi/4$, $e^{r^{2}}\approx 1$). 整合.

背景 — 半収束積分と Riemann-Lebesgue

$\int_{1}^{\infty}\cos x/x\,dx = -\mathrm{Ci}(1)$ (余弦積分関数). 数値 $\approx 0.337$. これは Riemann-Lebesgue 補題($f\in L^{1}$ なら $\int f\cos\lambda x\,dx\to 0$) の議論にも関連する.

方針 — $\int dx/(x^{2n}+1)$ の一般公式

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2n}+1} = \frac{\pi}{n\sin(\pi/(2n))}.$$

$n=3$: $\pi/(3\sin(\pi/6))=\pi/(3\cdot 1/2)=2\pi/3$. ✓

留数の計算で「$z^{6}=-1$ ゆえ $z^{5}=-1/z$」のトリックは, $1/(p'(z))$ を簡略化する標準手法.

典型ミス

• 上半平面の極を 3 個全部拾う. $z_{0},z_{1},z_{2}$ のうち 1 つを忘れて $\pi/3$ になる事故.
• 留数公式 $\mathrm{Res}=1/p'(z_{k})$ を $1/p(z_{k})$ と混同 (分母にゼロが入る).
• 大きい円弧での寄与 $\to 0$ の評価を省略 (証明問題なら厳密性を要求).
• 偏角の取り方: $z_{k}=e^{i(2k+1)\pi/6}$ で $k=0$ から始める. $k=1$ から始めると 1 つずれる.

別解 — 偶関数 + 1/2 円

$f(x)=1/(x^{6}+1)$ は偶関数なので $I=2\int_{0}^{\infty}f\,dx$. これを Beta 関数で: $$\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x^{6}+1} = \frac{1}{6}B(1/6,5/6) = \frac{\pi/6}{\sin(\pi/6)} = \frac{\pi}{3}.$$

ゆえに $I=2\pi/3$. ✓

背景 — 留数定理の物理応用

$1/(x^{2n}+a^{2n})$ 型は信号処理の Butterworth フィルタ ($n$ 次), 量子力学の伝播関数 ($n=1$) などに登場. 留数定理は計算を初等的に閉じる強力な道具.

方針 — $A^{2}={}^{T}\!A$ から $A^{3}=I$ を導く

(3) のキーは「$A^{2}$ を転置で表現できれば $A^{4}={}^{T}(A^{2})=A$」. ここから $A$ がユニタリ行列だと判明し, スペクトル定理が使える.

(1)(2) は内積の性質と $A^{*}={}^{T}\!A$ (実行列) を使う典型. 通常の対称行列 ($A^{*}=A$) や反対称 ($A^{*}=-A$) と同様にスペクトルが代数的に決まる.

典型ミス

• (1) $\langle v,Av\rangle$ から直接 $\alpha=\bar\alpha$ にしてしまう (これは「実固有値」). 本問は $\langle v,A^{2}v\rangle$ を使って 2 乗が出る.
• (3) 「$\alpha^{3}=1$」の根に $\alpha=0$ を含めない (元から $A$ 正則).
• (3) $A=I$ になってしまう可能性を厳密に排除する必要 (条件 $A\ne I$ から).
• (4) 巡回置換以外にも例: 回転行列 $R(2\pi/3)$ など. 実形式 $\mathrm{diag}(1,\,R(2\pi/3))$ も可.

検算 — ユニタリ性

$A^{*}A = ({}^{T}\!A)A = A^{2}\cdot A = A^{3} = I$ が「ユニタリ」の定義. 同時に $A$ が直交行列 (実ユニタリ).

背景 — 有限次群の表現

$A^{3}=I$ で $A\ne I$ は巡回群 $\mathbb Z/3\mathbb Z$ の自明でない表現. 実 3 次元では 3 次巡回置換または「1 軸まわりの $120^{\circ}$ 回転」が標準. これは本問が誘導している群論的構造.

方針 — BV と微分可能性

(1) は「$C^{1}$ かつ $f'$ 有界 $\Rightarrow$ BV」の定型. 平均値定理が要.

(2) は典型的反例: $x^{2}\sin(1/x)$ は $g'$ が原点で連続でないが BV, $x\cos(1/x)$ は $g'$ が $\sim 1/x\sin(1/x)$ で発散して非 BV. 「$x^{2}$ で抑えると微分可能」「$x$ では微分不可能」が記憶のキー.

典型ミス

• (1) で $f'$ が「連続」であることを暗黙に使うと, (2)(i) の $g$ ($g'$ が原点で連続でない) には直接適用できないように見える. しかし平均値定理は微分可能性のみで成立.
• (2)(i) で $g'(0)$ の値を曖昧にすると証明が穴あき. $g'(0)=0$ を明示する.
• (2)(ii) で「$x\to 0$ で $h\to 0$ なので OK」と誤判. BV は変動和の議論であって極限値だけでは決まらない.

検算 — Jordan の分解

BV 関数は単調増加関数の差で書ける (Jordan の分解). $g(x)=x^{2}\sin(1/x)$ なら全変動 $V_{0}^{1}(g)<\infty$. 一方 $h$ では $V_{0}^{1}(h)=\infty$.

背景 — Riemann-Stieltjes 積分

BV 関数 $\varphi$ に対する $\int f\,d\varphi$ (Riemann-Stieltjes 積分) は $\varphi$ が BV であることが well-defined の必要条件. $h(x)=x\cos(1/x)$ で「$x\cos(1/x)$ を積分関数として使えない」ことが (2)(ii) の意味.

方針 — 連結性の標準的使い方

(2) は「連結 $\Rightarrow$ clopen 集合は $\emptyset$ または全体」の典型応用. $f^{-1}(\{c\})$ が開かつ閉 を示せば終わり.

(1) は $\mathbb R^{n}$ の弧状連結性の特殊版 (弧が $C^{1}$). 一般の連続曲線で弧状連結なら同じ結論を出すには Lebesgue 微分可能性などが必要.

典型ミス

• (1) で連鎖律を「$\nabla f\cdot\gamma'$」と書いたら適切. 偏導関数の定義に戻す必要なし.
• (1) の仮定「$C^{1}$ 級曲線」は重要 ($\gamma'$ が連続). 単に「連続曲線で結べる」では弧長が無限のとき $f\circ\gamma$ の微分可能性が保証されない.
• (2) で「$X\setminus A$ が開」を示し忘れる. これも局所定数性から従う.
• (2) で「$f(X)$ が連結 $\Rightarrow$ $\mathbb R$ の連結部分集合 = 区間」とやってしまい, 区間に値域が制限されるが定数とは限らない. 局所定数性の仮定を直接使う.

別解 (1) — $f$ の値の連続濃度上限

$U$ 弧状連結 $\Rightarrow$ 連結 (位相). 連結空間上の連続関数の値域は連結 (区間). $f$ の値が「特定の点で 0 でない」とすると Mean Value Theorem を一次元で使い矛盾.

背景 — 連結性 vs 弧状連結性

$\mathbb R^{n}$ の開集合では「連結 $\Leftrightarrow$ 弧状連結」が成立. 一般の位相空間では弧状連結 $\Rightarrow$ 連結だが逆は偽 (位相空間の例: トポロジストの正弦曲線).

(2) の議論は連結空間で成立する一般原理 = 「$X$ から離散空間 $\{c_{1},c_{2},\ldots\}$ への連続写像は値域が 1 点」. 局所定数性は連続性 + 離散像の言い換え.