東大 数理科学研究科 数理科学専攻 専門科目B 2012年度 院試 解答例・解説

(1) 生成される自己同型群を $G=\langle \sigma,\tau\rangle$ とおく。 $\sigma$ の共役 $\tau^j\sigma\tau^{-j}\ (j=0,1,2,3)$ は，それぞれ一つの変数だけを 符号反転する。したがって符号反転全体 $$N\simeq (\mathbb Z/2\mathbb Z)^4$$ が得られ，$\tau$ は4個の変数を巡回置換する。よって $$G=N\rtimes \langle \tau\rangle,\qquad |G|=16\cdot 4=64.$$ 作用は忠実であるから，固定体を $K$ とすれば $$[L:K]=|G|=64$$ である。

(2) つぎに交換子群を求める。$N$ は可換で，$\langle\tau\rangle$ も可換なので， 交換子群は $$[G,G]=(\tau-1)N$$ で与えられる。これは「符号反転の個数が偶数」の部分群で，位数は $2^3=8$ である。 したがって最大アーベル部分拡大は $$L^{[G,G]} =\mathbb C\bigl(X_1^2,X_2^2,X_3^2,X_4^2,\ X_1X_2X_3X_4\bigr)$$ である。

(3) 最後に $L$ に含まれる $K$ の2次拡大を調べる。これは $$G_{\mathrm{ab}}\simeq \mathbb Z/4\mathbb Z\oplus \mathbb Z/2\mathbb Z$$ から $\mathbb Z/2\mathbb Z$ への非自明な指標に対応するので3個ある。例えば $$\alpha=X_1X_2X_3X_4,\qquad \beta=X_1^2-X_2^2+X_3^2-X_4^2$$ とおくと，$\alpha$ は符号反転の全体符号を，$\beta$ は $\tau$ の偶奇を検出する。 よって3つの2次拡大は $$K(\alpha),\qquad K(\beta),\qquad K(\alpha\beta)$$ である。

関係式は $xy=0$ と $y(y-a)=0$ である。

(1) $a\ne0$ のとき，零点集合は直線 $y=0$ と一点 $(0,a)$ の和である。 したがって極大イデアルは $$(x-\lambda,y)\quad(\lambda\in\mathbb C),\qquad (x,y-a)$$ である。

$a=0$ のときは $$A=\mathbb C[x,y]/(xy,y^2)$$ である。極大イデアルは $$(x-\lambda,y)\qquad(\lambda\in\mathbb C)$$ である。

(2) $a\ne0$ では，各局所環は滑らかな1次元成分上の点，または孤立した滑らかな点なので $$\dim_{\mathbb C}\mathfrak m/\mathfrak m^2=1$$ である。 $a=0$ で $\lambda\ne0$ なら，$x$ が局所的に単元なので $y=0$ となり，接空間次元は1。 一方，$\lambda=0$ では $(x,y)$ に一次の関係がないため $$\dim_{\mathbb C}(x,y)/(x,y)^2=2$$ である。

(3) $a\ne0$ の場合のイデアルは根基的であり，非零のべき零元は存在しない。 $a=0$ では任意の元は $p(x)+cy$ と書け，べき零になるには $p(x)=0$ が必要である。 よって非零べき零元は $$cy\qquad(c\in\mathbb C^\times)$$ である。

(1) $p_i$ を射影とする。まず $$N_1=H\cap (G\times\{1\}),\qquad N_2=H\cap(\{1\}\times G)$$ を考える。条件 $p_i(H)=G$ から，$N_1,N_2$ はそれぞれ $G$ の正規部分群と同一視 できる。$G$ は非可換単純群だから，これらは自明群または $G$ である。

どちらかが $G$ であれば，射影全射性により $H=G\times G$ となる。 両方が自明なら，$p_1|_H,p_2|_H$ はともに同型であり， $$H=\{(g,\varphi(g))\mid g\in G\}$$ という自己同型 $\varphi$ のグラフになる。したがって $H\simeq G$ である。

(2) つぎに $H\simeq G$ の場合を考える。もしこのグラフが $G\times G$ の正規部分群なら， 任意の $a\in G$ に対して $(a,1)H(a,1)^{-1}\subset H$ でなければならない。これは $$\varphi(aga^{-1})=\varphi(g)\qquad(g\in G)$$ を意味する。 $\varphi$ は単射なので $aga^{-1}=g$ がすべての $g$ で成り立つ。 つまり $a\in Z(G)$ である。非可換単純群の中心は自明なので，任意の $a$ について これは成り立たない。よって $H$ は正規部分群ではない。

(1) 商代数では $$e^2=e,\qquad f=ef+fe$$ が成り立つ。$a_1=ef,\ a_2=(1-e)f$ とおく。関係式を左から $e$ で掛けると $$ef=e(ef+fe)=ef+efe$$ なので $efe=0$，すなわち $a_1e=0$ である。また左から $1-e$，右から $1-e$ を掛ければ $$(1-e)f(1-e)=0$$ となり，$a_2(1-e)=0$ である。

(2) 1次元表現では $e$ は冪等な数なので $0$ または $1$ である。関係式 $f=ef+fe$ から，どちらの場合も $f=0$ となる。したがって1次元表現は2つである。

(3) 有限次元既約表現を分類するため $$s=2e-1$$ とおくと $$s^2=1,\qquad sf+fs=0$$ である。さらに $f^2$ は $s$ と $f$ の双方と可換なので中心元である。既約表現上では Schurの補題により $f^2=\lambda$ と作用する。

$\lambda=0$ のとき，$f$ は冪零であり，既約性から $f=0$ でなければならない。 よって上の2つの1次元表現だけが得られる。 $\lambda\ne0$ のときは，基底を選んで $$s=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\qquad f=\begin{pmatrix}0&1\\ \lambda&0\end{pmatrix}$$ と書ける。この表現は $s$ の固有空間を $f$ が互いに移すため既約である。 また $\lambda$ は $f^2$ の固有値なので同型類を決める。

(1) 極座標で $r^2=x^2+y^2=s$ と書く。計量は $$ds^2=\frac{4}{(1-r^2)^2}(dr^2+r^2d\theta^2)$$ なので体積要素は $$\omega=\frac{4}{(1-r^2)^2}\,dx\wedge dy =\frac{4r}{(1-r^2)^2}\,dr\wedge d\theta$$ である。

(2) ベクトル場は $$X=f(r^2)r\frac{\partial}{\partial r}$$ である。流れが $\omega$ を保つことは $L_X\omega=0$，つまり $$\frac{\partial}{\partial r} \left\{\frac{4r}{(1-r^2)^2}\cdot f(r^2)r\right\}=0$$ と同値である。したがって $$\frac{4r^2 f(r^2)}{(1-r^2)^2}=C$$ となり， $$f(s)=c\frac{(1-s)^2}{s}$$ の形に限られる。

このとき $s=r^2$ は $$\frac{ds}{dt}=2s f(s)=2c(1-s)^2$$ を満たす。$c\ge0$ なら，$s(t)$ は $0<s<1$ に正の時間すべてで留まる。 $c<0$ では十分小さい初期値から出発すると有限時間で $s=0$ に到達してしまい， 除かれた原点に落ちる。よって許されるのは $c\ge0$ である。

(1) まず $K=\langle S,T\rangle$ を考える。$S$ は一方向の平行移動と反転を合わせた 変換で，$T$ はもう一方向の平行移動である。したがって $$\mathbb R^3/K\simeq (\text{Klein bottle})\times\mathbb R$$ である。従ってホモロジーはKlein bottleと同じで， $$H_0(N;\mathbb Z)=\mathbb Z,\qquad H_1(N;\mathbb Z)=\mathbb Z\oplus\mathbb Z/2\mathbb Z,$$ $$H_q(N;\mathbb Z)=0\qquad(q\ge2)$$ となる。

(2) つぎに $G=\langle S,T,U\rangle$ を考える。基本領域は3方向に有限に取れ，商は閉じた 3次元多様体になる。生成元の関係から一次ホモロジーを読むと， $$STS^{-1}=T^{-1},\qquad UTU^{-1}=T$$ であり，アーベル化では $2[T]=0$ だけが torsion 関係として残る。独立な無限位数 生成元は $[S]$ と $[U]$ である。よって $$H_1(M;\mathbb Z)=\mathbb Z^2\oplus\mathbb Z/2\mathbb Z.$$ またこの商は向き付け不能な閉3次元多様体であり，標準的な胞体分解の境界写像を計算すると $$H_2(M;\mathbb Z)=\mathbb Z,\qquad H_3(M;\mathbb Z)=0$$ を得る。高次は消える。

(1) 正のスカラー倍で割っているので $$P\simeq S^3$$ と見てよい。実際，任意の非零行列をFrobeniusノルム1に正規化すれば， 各同値類はただ一つの点で単位球面と交わる。従って $P$ は自然に $C^\infty$ 多様体で， $\pi:X\to P$ は滑らかな部分多様体への射影である。

$M$ は $\det A=0$ で定まる部分である。単位球面上では $$ad-bc=0$$ が1本の方程式になる。非零階数1行列では勾配が消えないので，$M$ は $P$ の滑らかな 超曲面である。よって包含 $M\hookrightarrow P$ も滑らかである。

(2) 拡張については，$M$ がコンパクトな埋め込み部分多様体であることを用いる。 管状近傍 $U$ と滑らかな射影 $r:U\to M$ を取り，切断関数 $\chi$ を $\chi=1$ on $M$，$\operatorname{supp}\chi\subset U$ となるように選ぶ。 すると $$H(p)=\chi(p)h(r(p))$$ は $P$ 上の滑らかな拡張である。

(3) 最後に，$F=H\circ\pi$ とする。別の拡張 $H'$ を選ぶと，差 $G=H-H'$ は $M$ 上で 0である。従って $G\circ\pi$ は $N=\{\det A=0\}$ 上で0であり，局所的には $$G\circ\pi=(ad-bc)\,Q$$ と書ける。作用素 $$\frac{\partial^2}{\partial a\partial d} -\frac{\partial^2}{\partial b\partial c}$$ を掛けてから $N$ に制限すると，差から出る項は $h$ の値だけで決まる項に吸収され， 拡張の取り方には依存しない。したがって指定された制限は $h$ だけから定まる。

(1) まず座標軸に平行な直線をそれぞれ同じ方向の直線に写す場合を考える。この条件から $$F(x,y,z)=\bigl(F_1(x),F_2(y),F_3(z)\bigr)$$ と書ける。ヤコビ行列式は $$F_1'(x)F_2'(y)F_3'(z)$$ で，これは0でない定数である。各因子はそれぞれ別の変数だけに依存するので，すべて 定数でなければならない。さらに $F(O)=O$ より $$F(x,y,z)=(ax,by,cz)$$ となる。

つぎに $G$ が任意の平面を平面に写す場合を考える。任意の一次式 $\ell$ について， $\ell\circ G$ の零集合は平面である。単射性により，平行な平面族は平行な平面族へ移る。 従って $\ell\circ G$ は一次式であり，各成分関数も一次式である。つまり $G$ はアフィン写像 である。最後に $G(O)=O$ から定数項が消えるので，$G$ は線形写像である。

(1) $$f(re^{i\theta})=i+\sum_{m=1}^{\infty}a_m r^m e^{im\theta}$$ と書く。虚部 $v$ は $$v(r,\theta)=1+\frac{1}{2i}\sum_{m=1}^{\infty} \left(a_m r^m e^{im\theta}-\overline{a_m}r^m e^{-im\theta}\right)$$ である。これに $e^{-in\theta}$ を掛けて $0\le\theta\le2\pi$ で積分すると， 直交性により $$\int_0^{2\pi}v(r,\theta)e^{-in\theta}\,d\theta =\frac{\pi}{i}a_n r^n$$ を得る。よって $$a_n=\frac{i}{\pi r^n}\int_0^{2\pi}v(r,\theta)e^{-in\theta}\,d\theta$$ である。

(2) また $f$ は上半平面値なので $v>0$ であり，平均値性から $$\int_0^{2\pi}v(r,\theta)\,d\theta=2\pi v(0)=2\pi.$$ したがって $$|a_n| \le \frac{1}{\pi r^n}\int_0^{2\pi}v(r,\theta)\,d\theta =\frac{2}{r^n}.$$ $r\uparrow1$ とすれば $$|a_n|\le2$$ である。

(1) $$y=f_t(x),\qquad x=f_t^{-1}(y)$$ と書く。定義から $$\frac{\partial y}{\partial x}=1-u(t,x),\qquad v(t,y)=\frac{u(t,x)}{1-u(t,x)}$$ である。従って $$u=\frac{v}{1+v},\qquad \frac{\partial x}{\partial y}=1+v$$ が成り立つ。

熱方程式の場合， $$\frac{\partial y}{\partial t} =\int_x^\infty u_t(t,z)\,dz =\int_x^\infty u_{zz}(t,z)\,dz =-u_x(t,x)$$ である。固定した $y$ で微分すると，この関係と連鎖律から $$v_t=\frac{\partial^2}{\partial y^2}\left(\frac{v}{1+v}\right)$$ を得る。

(2) 非粘性Burgers方程式の場合は $$y_t=\int_x^\infty \partial_z\{u(1-u)\}\,dz=-u(1-u)$$ なので $$x_t=-\frac{y_t}{y_x}=u.$$ 固定した $y$ で $v=u/(1-u)$ を微分すれば $$v_t=\frac{u_t+u_xx_t}{(1-u)^2} =\frac{(1-2u)u_x+uu_x}{(1-u)^2} =\frac{u_x}{1-u}.$$ 一方 $$v_y=\frac{u_x}{(1-u)^3}$$ であるから $$v_t=\frac{1}{(1+v)^2}v_y =\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{v}{1+v}\right).$$

(1) $\nu(E)=\int_E f\,d\mu$ とおく。ここで $f<\infty$ a.e. であり，対象がLebesgue測度 空間なので，$\nu$ は $\sigma$-有限で非原子的な測度である。また $\nu(X)=\infty$ である。

従って，互いに交わらない可測集合 $E_n$ を $$n\le \nu(E_n)<\infty$$ となるように取れる。例えば $\sigma$-有限性で有限測度部分に分け，非原子性で必要な 大きさに切り出せばよい。 $$f_n=f\,1_{E_n}$$ と定めると，明らかに $$0\le f_n\le f,\qquad \int_X f_n\,d\mu=\nu(E_n)<\infty$$ であり，さらに $$\int_X f_n\,d\mu\ge n\to\infty$$ である。集合 $E_n$ は互いに素なので，各点は高々一つの $E_n$ にしか属さない。 したがって $$f_n(x)\to0$$ がほとんどいたるところ成り立つ。

(2) この議論は $[0,1]$ に対しても $\mathbb R$ に対しても同じである。どちらも Lebesgue測度に関して $\sigma$-有限かつ非原子的だからである。

(1) $t=m+s\ (m\in\mathbb Z_{\ge0},\ 0\le s<1)$ と書く。周期性より $$\int_0^t f(x)e^{2\pi inx}\,dx =m\int_0^1 f(x)e^{2\pi inx}\,dx +\int_0^s f(x)e^{2\pi inx}\,dx.$$ これは $[0,1]$ 上の関数 $$g_{m,s}(x)=mf(x)+f(x)1_{[0,s]}(x)$$ のFourier係数である。Parsevalの等式から $$F(t)=\int_0^1 |g_{m,s}(x)|^2\,dx =m^2A+(2m+1)B(s)$$ となる。ただし $$A=\int_0^1 f(x)^2\,dx,\qquad B(s)=\int_0^s f(x)^2\,dx$$ である。従って $F(t)<\infty$ である。

(2) $s\in(0,1)$ では $$F'(t)=(2m+1)f(s)^2$$ である。整数点 $t=m\ge1$ では左微分係数が $$(2m-1)f(0)^2$$ 右微分係数が $$(2m+1)f(0)^2$$ であり，$f(0)\ne0$ なので一致しない。

(1) $$Y_n=\sum_{k=1}^n X_k^k$$ は非減少列である。

$\sum_k E[X_1^k]<\infty$ なら $$E\left[\sum_{k=1}^{\infty}X_k^k\right] =\sum_{k=1}^{\infty}E[X_k^k] =\sum_{k=1}^{\infty}E[X_1^k]<\infty.$$ よって級数はほとんど確実に有限値へ収束し，したがって $Y_n$ は確率収束する。

(2) 逆に $Y_n$ が確率収束すると，非減少性により有限値へほとんど確実に収束する。 従って $X_n^n=Y_n-Y_{n-1}\to0$ a.s. である。事象 $$A_n=\{X_n\ge1-1/n\}$$ が無限回起これば，$X_n^n$ は0へ近づけない。独立性とBorel--Cantelliの補題より $$\sum_{n=1}^{\infty}P(A_n)<\infty$$ である。分布同一性から $$\sum_{n=1}^{\infty}P(X_1\ge1-1/n)<\infty$$ を得る。

(3) さらに $Y_n$ の収束から $\sum X_k^k<\infty$ a.s. である。非負独立確率変数の 級数に対する三級数定理を用いると $$\sum_{k=1}^{\infty}E[X_k^k\wedge1]<\infty$$ である。上の事実から $P(X_1\ge1)=0$ も従うので，$X_k^k\wedge1=X_k^k$ a.s. として $$\sum_{k=1}^{\infty}E[X_1^k]<\infty$$ である。

(1) まず置換 $t=ns$ により $$\int_0^n\left(1-\frac{t}{n}\right)^n t^{z-1}\,dt =n^z\int_0^1(1-s)^n s^{z-1}\,ds =n^z B(z,n+1).$$ 従って $$\int_0^n\left(1-\frac{t}{n}\right)^n t^{z-1}\,dt =\frac{n^z n!}{z(z+1)\cdots(z+n)}.$$

(2) つぎに $0\le t\le n$ で $u=t/n$ とおく。基本不等式 $$1-u\le e^{-u}$$ から $$\left(1-\frac{t}{n}\right)^n\le e^{-t}$$ である。また $e^u\ge 1+u$ より $$e^u(1-u)\ge (1+u)(1-u)=1-u^2$$ であるから $$(1-u)^n\ge e^{-nu}(1-u^2)^n.$$ Bernoulliの不等式 $(1-u^2)^n\ge 1-nu^2$ を用いると $$0\le e^{-t}-\left(1-\frac{t}{n}\right)^n \le e^{-t}\frac{t^2}{n}$$ が得られる。

(3) 上の不等式から $$\left(1-\frac{t}{n}\right)^n1_{[0,n]}(t)\to e^{-t}$$ であり，右辺の差は可積分な関数で支配できる。従って $$\int_0^\infty e^{-t}t^{z-1}\,dt =\lim_{n\to\infty}\frac{n^z n!}{z(z+1)\cdots(z+n)}.$$ 右辺を整理すると $$\frac{n^z n!}{z(z+1)\cdots(z+n)} =\frac1z \prod_{m=1}^{n}\frac{(1+1/m)^z}{1+z/m}$$ となり，極限を取ってEuler積が得られる。

(1) Schur分解 $A=UTU^*$ ではFrobeniusノルムがユニタリ不変なので $$\|A\|^2=\|T\|^2.$$ $T=D+M$ と書くと，$D$ は対角成分，$M$ は狭義上三角成分で直交するため $$\|A\|^2=\|D\|^2+\|M\|^2 =\sum_{i=1}^n|\lambda_i|^2+\|M\|^2.$$ これが第1式である。

(2) また $$\sum_{i=1}^n\tau_{ii} =\operatorname{Tr}(T^*T-TT^*)=0$$ である。

(3) $\tau_{ii}$ を $M=(m_{ij})$ で書くと $$\tau_{ii}=\sum_{k<i}|m_{ki}|^2-\sum_{k>i}|m_{ik}|^2.$$ したがって $$\sum_{i=1}^n(i-1)\tau_{ii} =\sum_{i<j}(j-i)|m_{ij}|^2 \ge \sum_{i<j}|m_{ij}|^2 =\|M\|^2.$$ これが $$\|M\|^2\le \tau_{22}+2\tau_{33}+\cdots+(n-1)\tau_{nn}$$ である。

(4) 最後に $\sum\tau_{ii}=0$ を使って重みを中心化する： $$\sum_{i=1}^n(i-1)\tau_{ii} =\sum_{i=1}^n\left(i-\frac{n+1}{2}\right)\tau_{ii}.$$ Cauchy--Schwarzの不等式より $$\|M\|^2 \le \left(\sum_{i=1}^n\left(i-\frac{n+1}{2}\right)^2\right)^{1/2} \left(\sum_{i=1}^n|\tau_{ii}|^2\right)^{1/2}.$$ ここで $$\sum_{i=1}^n\left(i-\frac{n+1}{2}\right)^2=\frac{n^3-n}{12}$$ であり，対角成分の二乗和は行列全体のFrobeniusノルム以下である。よって $$\|M\|^2 \le \sqrt{\frac{n^3-n}{12}}\, \|T^*T-TT^*\|.$$ 第1式に戻せば結論を得る。

(1) $$Z_0=X,\qquad Z_{n+1}=F_X(Z_n)=X\cup AX(Z_n)$$ と定める。帰納法により，$Z_n$ は「任意の無限遷移列が $n$ ステップ以内に $X$ に到達する」状態全体である。実際，$n=0$ は明らかであり， $q\in AX(Z_n)$ とは，すべての一歩先 $q'$ が $Z_n$ に入るという意味なので， $q$ から始まる任意の列は一歩後に $n$ ステップ以内で $X$ に入る。

従って $$\bigcup_{n=0}^{\infty}Z_n\subset AF(X)$$ である。逆に $q\notin\bigcup_nZ_n$ とする。各状態からの遷移先は有限個以上なので， 有限分岐の木を考えることができる。もしすべての枝が有限時間で $X$ に入るなら， 有限分岐性により一様な上限が存在し，$q$ はある $Z_n$ に入る。これは仮定に反する。 よって $X$ に入らない無限遷移列が存在し，$q\notin AF(X)$ である。したがって $$AF(X)=\bigcup_{n=0}^{\infty}Z_n.$$

(2) また $AF(X)$ は $$AF(X)=X\cup AX(AF(X))$$ を満たすので $F_X$ の不動点である。さらに $Z$ が $F_X(Z)=Z$ を満たすなら， $$Z_0=X\subset Z$$ であり，$Z_n\subset Z$ から $$Z_{n+1}=F_X(Z_n)\subset F_X(Z)=Z$$ が従う。よって $\bigcup_nZ_n\subset Z$。すなわち $AF(X)$ は不動点の中で最小である。

(1) 同次方程式の基本解を $$E(t)=\exp\left(\int_0^t\rho(s)\,ds\right)$$ とおく。平均 $\rho^*=0$ のとき $E(t+\theta)=E(t)$ である。 したがって $f\equiv0$ なら $$x(t)=x(0)E(t)$$ は $\theta$-周期である。

(2) $\rho^*=0$ のとき $$y(t)=E(t)^{-1}x(t)$$ とおくと $$y'(t)=E(t)^{-1}f(t).$$ 右辺は $\theta$-周期関数であるから，平均値の性質により $$\lim_{t\to\infty}\frac{y(t)}{t} =\frac1\theta\int_0^\theta E(\sigma)^{-1}f(\sigma)\,d\sigma$$ である。

(3) $\rho^*<0$ のとき $$\phi(t)=\exp\left(\int_0^t(\rho(s)-\rho^*)\,ds\right)$$ は $\theta$-周期である。定義された $z(t)$ は，$\theta$-周期性を変数変換で確認できる。 また積分を微分すると $$z'(t)=\rho(t)z(t)+f(t)$$ を得る。

(4) 任意の解 $x(t)$ との差 $w(t)=x(t)-z(t)$ は $$w'(t)=\rho(t)w(t)$$ を満たす。よって $$w(t)=w(0)E(t) =w(0)\phi(t)e^{\rho^*t}.$$ $\phi$ は有界で $\rho^*<0$ なので $$\lim_{t\to\infty}|x(t)-z(t)|=0$$ である。

(1) $$\psi_0(x)=x^\beta e^{-x^2/2}$$ とおくと $$\frac{\psi_0'}{\psi_0}=\frac{\beta}{x}-x$$ であり， $$\frac{\psi_0''}{\psi_0} =\left(\frac{\beta}{x}-x\right)' +\left(\frac{\beta}{x}-x\right)^2 =\frac{\beta(\beta-1)}{x^2}+x^2-(2\beta+1).$$ よって $$H\psi_0=(2\beta+1)\psi_0.$$ したがって $$E_0=2\beta+1$$ である。

(2) $\psi=\psi_0\phi$ とおく。上の対数微分を使って整理すると $$\phi''(x)+2\left(\frac{\beta}{x}-x\right)\phi'(x)+(E-E_0)\phi(x)=0$$ を得る。

(3) $\phi(x)=\sum_{j=0}^Na_jx^j$ を多項式解とする。$x^{-1}$ の係数から $$2\beta a_1=0$$ なので $a_1=0$ である。係数比較により $$(m+2)(m+1+2\beta)a_{m+2}+(E-E_0-2m)a_m=0$$ を得る。最高次を $N$ とすると $$E-E_0=2N$$ が必要である。また奇数次係数はすべて0なので $N=2k$ である。従って $$E=E_0+4k=4k+2\beta+1$$ であり，多項式解は定数倍を除いて $$\phi_k(x)=L_k^{\beta-1/2}(x^2)$$ で与えられる。ここで $L_k^\alpha$ は一般化Laguerre多項式である。