名工大 工学研究科 物理工学系 応用物理プログラム 応用物理 2026年度 院試 解答例・解説

線積分の型を区別する

$\int \vec F\,dr$，$\int \vec F\cdot d\vec r$，$\int \vec F\times d\vec r$ は別物である。 最初のものは弧長要素 $dr=|d\vec r|$ を掛けるので答はベクトル，2番目はスカラー，3番目はベクトルになる。 線分のパラメータ表示では $dr$ と $d\vec r$ を取り違えないことが重要である。

ストークスの定理では向きが点数になる

円周を $+z$ 側から見て反時計回りに回るとき，対応する面法線は $+z$ 方向である。 本問は $(\nabla\times\vec G)_z=1$ と非常に簡単になるので，直接円周を媒介変数表示するよりもストークスの定理が堅い。

微分方程式の検算

得られた $$y(t)=\frac{at^2+b}{t+b}$$ について，$t=0$ を代入すると $y(0)=1$ である。また $$(t+b)y=at^2+b$$ を微分すれば $(t+b)y'+y=2at$ となり，元の方程式に戻る。

フーリエ変換の半値全幅

半値全幅は「最大値の半分になる2点の間隔」である。$e^{-a|t|}$ では時間幅が $1/a$ 倍になり， フーリエ変換の幅は $a$ 倍になるため，幅の積が一定になる。このスケーリングを最後に確認すると計算ミスに気づきやすい。

導体球では電場ではなく電束密度から始める

誘電率が位置に依存する場合でも，自由電荷 $Q$ に対するガウスの法則 $\oint \vec D\cdot d\vec S=Q$ はそのまま使える。 先に $D$ を求め，その後で $E=D/\varepsilon(r)$ とするのが最も安全である。

電位差の符号

静電容量は正の量なので，内側導体の電位が外側より高いとして $$V=\int_a^b E(r)\,dr$$ を用いた。電位そのものの定義 $V(b)-V(a)=-\int_a^b \vec E\cdot d\vec r$ を使う場合は， 最後に絶対値として導体間の電位差を取る必要がある。

変位電流密度の単位チェック

$\varepsilon_0 E$ は電束密度と同じ単位であり，時間微分すると電流密度の単位になる。 本問の $j_x,j_y$ に $\varepsilon_0$ が残らないのは，クーロン場の係数 $1/\varepsilon_0$ と打ち消し合うためである。

磁場の向き

$\vec v$ が $+x$ 方向，観測点が $y>0$ 側にあるとき， $\vec v\times\vec R$ は $+z$ 方向である。したがって $B_z$ は $q>0,y>0$ で正になる。 符号に迷ったときはこの特殊な配置で右ねじの向きを確認するとよい。

2準位系の符号

低い準位のエネルギーが $-a$ であるため，ボルツマン因子は $e^{+\beta a}$ になる。 $e^{-\beta a}$ と書き始めると，$T=0$ で低い準位を占有する確率が $0$ になってしまう。 極限 $p(0)=1$ を必ず確認するとよい。

混合エントロピーは内部準位のエントロピーと別に数える

内部準位のエントロピーは各原子が $-a,0$ の2状態をとることに由来する。 一方，混合エントロピーは成分1と成分2の原子を格子点へ配置する組合せに由来する。 温度を上げて位置交換が可能になると，後者の自由度が新たに有効になるため，熱容量に追加の寄与が現れる。

フェルミ波数の縮退度

スピン $3/2$ では1つの $\vec k$ に4粒子まで入る。 通常のスピン $1/2$ の式をそのまま使うと $k_F$ が大きくなりすぎる。 本問では $$N=4\cdot \frac{V}{(2\pi)^3}\cdot\frac{4\pi k_F^3}{3}$$ と最初に書くのが安全である。

低温と高温の熱容量

低温で $C\propto T$ となるのは，フェルミ面近傍だけが熱励起に参加するためである。 高温では量子統計の効果が薄れ，単原子理想気体の等積熱容量に戻る。スピン縮退は状態数を増やすが，外場がなければエネルギー間隔を作らないので，高温熱容量の温度依存指数は $0$ である。

エルミート性の使い方

固有値が実数であることと，異なる固有値に属する固有状態が直交することは，どちらもエルミート性から出る。 答案では「エルミートだから」とだけ書かず，内積を1行書くと根拠が明確になる。

時間発展で変わるもの

固有状態ごとの係数には位相因子 $e^{-iE_jt/\hbar}$ が付くが，絶対値 $|c_j|^2$ は変わらない。 そのため，時間に依存しないハミルトニアンに対するエネルギー期待値は一定である。

2準位混合と反交差

非対角要素 $v$ があると，固有値の差は $$\sqrt{(E_1-E_2)^2+4|v|^2}$$ となる。これは元の差 $|E_1-E_2|$ より小さくならない。 特に $E_1$ と $E_2$ が近いほど，混合による準位反発が目立つ。

調和振動子の典型ミス

$\hat p_x=-i\hbar d/dx$ を $\hat a$ に代入すると， $$\frac{i}{m\omega}\hat p_x=\frac{\hbar}{m\omega}\frac{d}{dx}$$ となり，微分項の符号は正である。この符号を誤ると基底状態のガウス関数が発散してしまう。

不確定性関係の検算

基底状態では $\langle x\rangle=\langle p_x\rangle=0$ なので，分散はそのまま2乗の期待値である。 結果 $$\Delta x\,\Delta p_x=\hbar/2$$ は最小不確定性状態であることを示しており，計算全体の強い検算になっている。