名大 理学研究科 物理学 2026年度 院試 解答例・解説

方針

どちらも一般化座標が1つの拘束運動である。棒の系では「重心の並進」と「重心まわりの回転」に分けると、個々の質点の速度を毎回展開しなくてよい。円筒の系では、中心の円運動と自転の角速度を分け、転がり条件を最後に代入するのが安全である。

途中式の要点

棒の系で $$\frac{1}{2}m(l-r)^2\dot{\theta}^{\,2} +\frac{1}{2}m(l+r)^2\dot{\theta}^{\,2} =m(l^2+r^2)\dot{\theta}^{\,2}$$ となる。交差項が消えるのは、2つのおもりが重心から対称な位置にあるためである。また位置エネルギーでは $$mg(l-r)(1-\cos\theta)+mg(l+r)(1-\cos\theta) =2mgl(1-\cos\theta)$$ となり、$r$ には依存しない。重力は重心だけに働く、という見方と一致している。

円筒の系では、中心の軌道半径が $4R-R=3R$ であることを最初に押さえる。さらに、問題で与えられる転がりの幾何条件から $\dot{\alpha}=3\dot{\theta}$ として自転エネルギーを $$\frac{1}{2}I_A\dot{\alpha}^{\,2}$$ に代入する。ここで中心速度 $3R\dot{\theta}$ と自転角速度 $3\dot{\theta}$ を混同しないことが重要である。

検算

棒の系で $r=0$ とすると、2つの質点が同じ場所にある質量 $2m$ の単振り子になり、 $$\omega_0=\sqrt{\frac{g}{l}}$$ を再現する。円筒の系では、長さの次元を確認すると $g/R$ だけが角振動数の2乗の次元を持つので、$\Omega_0^2=g/(6R)$ は次元的に正しい。

典型ミス

棒の運動エネルギーを $$\frac{1}{2}(2m)(l^2+r^2)\dot{\theta}^{\,2}$$ のように書くと、係数が2倍ずれる。$T=m(l^2+r^2)\dot{\theta}^{\,2}$ はすでに2つの質点を足した後の値である。また、ラグランジアンの運動エネルギーが通常の $\frac{1}{2}I\dot{\theta}^2$ の形に見えないため、$\partial\mathcal{L}/\partial\dot{\theta}$ を取るときに係数2を落としやすい。

試験で書くべきポイント

答案では、距離 $l-r,l+r$、中心軌道半径 $3R$、転がり条件からの $\dot{\alpha}=3\dot{\theta}$ を明示する。最後に微小振動で $\sin\theta\simeq\theta$ と書けば、振動数だけを答えた答案よりも減点されにくい。

方針

前半は点電荷2個の重ね合わせから双極子近似へ進む問題である。後半は同じ構造を連続分布に拡張し、全電荷と双極子モーメントを積分で求める。式の形は $$\frac{Q}{r}+\frac{\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{r}}{r^3}$$ でそろえて見ると、点双極子と分布電荷が同じ考え方で処理できる。

途中式の要点

点電荷の遠方展開では $$\frac{1}{r_1}\simeq \frac{1}{r}\left(1+\frac{Lz}{r^2}\right), \qquad \frac{1}{r_2}\simeq \frac{1}{r}\left(1-\frac{Lz}{r^2}\right)$$ なので、単極子項 $1/r$ が打ち消し合う。この打ち消しが双極子近似の核心である。

連続分布では、$\rho\propto\cos\theta'$ であるため $$\int_0^\pi \sin\theta'\cos\theta'\,d\theta'=0$$ となり全電荷は0になる。一方、双極子モーメントの $z$ 成分ではさらに $z'=r'\cos\theta'$ が掛かるため $\cos^2\theta'$ になり、積分は0にならない。

検算

$x$ 軸上で $\phi=0$ になるのは、正電荷と負電荷からの距離が等しいためである。これは近似式だけでなく厳密な式でも成り立つ。正の $z$ 軸上では正電荷側に近いので $\phi>0$ となり、符号も物理的な直観と一致する。

また、$\boldsymbol{q}=qa\,\hat{\boldsymbol{z}}$ の次元は「電荷 $\times$ 長さ」であり、双極子モーメントの次元になっている。

典型ミス

遠方展開で $$(1+\eta)^{-1/2}\simeq 1-\frac{1}{2}\eta$$ の符号を取り違えると、双極子ポテンシャルの符号が逆になる。もう一つ多い誤りは、電場を求めるときに $\nabla r^{-3}=-3\boldsymbol{r}/r^5$ を落として、$z$ 成分だけを微分してしまうことである。

試験で書くべきポイント

答案では、まず厳密なポテンシャルを重ね合わせで書き、次に $L/r\ll1$ の一次まで残す、と段階を分ける。分布電荷では $Q$ と $\boldsymbol{q}$ の定義式を書いたうえで積分範囲を明示すると、計算の意味が伝わりやすい。

方針

前半はエルミート演算子の基本性質を、内積と部分積分だけで示す。中盤は調和振動子の生成消滅演算子の標準計算である。後半の摂動と変分法は、どちらも同じ調和振動子に戻るため、結果の相互検算がしやすい。

途中式の要点

$\hat{F}=-d/dx$ の共役では、境界項 $$[-\phi^*(x)\psi(x)]_{-\infty}^{\infty}$$ が0になることを書く必要がある。この一行がないと、演算子の定義域を無視した計算に見える。

調和振動子では $$\hat{a}\hat{a}^{\dagger}=\hat{N}+1$$ を使って規格化係数を決める。単に「上昇演算子だから」と書くだけでは、係数 $\sqrt{n+1}$ の根拠が弱い。

検算

摂動 $\beta x^2$ はポテンシャルのばね定数を変えるだけなので、厳密解は角振動数 $$\Omega=\sqrt{\omega^2+\frac{2\beta}{m}}$$ の調和振動子になる。これを一次展開して摂動論の答えと一致することは、係数の強い検算になる。

変分法では、最小値が厳密な基底エネルギー $\hbar\omega/2$ になる。試行関数が真の基底状態を含む形で選ばれているためである。

典型ミス

$\hat{p}=-i\hbar d/dx$ を用いるとき、$\hat{a}\psi_0=0$ は $$\left(x+\frac{\hbar}{m\omega}\frac{d}{dx}\right)\psi_0=0$$ であり、符号を逆にすると発散するガウス関数になる。また $\langle x^2\rangle$ を $\hbar/(m\omega)$ としてしまう誤りが多いが、正しくは基底状態で $\hbar/(2m\omega)$ である。

試験で書くべきポイント

エルミート性の証明では「境界項が消える」こと、固有値が実数である証明では「$(\psi,\psi)\ne0$ で割る」ことを明記する。調和振動子では、$\hat{x}$ を $\hat{a},\hat{a}^{\dagger}$ で表してから期待値を取ると、不要な積分を避けられる。

方針

独立な2準位系なので、最初に1粒子分配関数 $z$ を正確に書けば、熱力学量はほぼ微分で決まる。後半の操作は「熱浴に接しているか」「孤立しているか」で使う原理が変わる。等温可逆操作では $W=\Delta F$、孤立した断熱操作では占有数が保存され $W=\Delta U$ である。

途中式の要点

内部エネルギーは $$U=-\frac{\partial}{\partial\beta}\ln Z$$ から求める。ここで $x=\beta\varepsilon$ の $\beta$ 微分により $\varepsilon$ が出るので、 $$U=-N\varepsilon\tanh x$$ となる。比熱では $dx/dT=-x/T$ を使うと $$C=Nk_Bx^2\operatorname{sech}^2x$$ が得られる。

検算

$T\to\infty$、すなわち $x\to0$ では $$U\to0,\qquad S\to Nk_B\ln2,\qquad \langle N_+\rangle\to \frac{N}{2}.$$ これは2つの状態が等確率になる極限と一致する。反対に $T\to0$ では $\tanh x\to1$ となり、全粒子が低エネルギー状態に落ちるため $U\to-N\varepsilon$、$S\to0$ となる。

典型ミス

$+\varepsilon$ 状態のボルツマン因子は $e^{-\beta\varepsilon}$ である。符号を逆にすると、低温で高エネルギー状態に粒子が集まるという不自然な結果になる。また、系のエントロピー変化だけを見ると負になるが、第二法則で確認すべきなのは熱浴を含めた全エントロピー変化である。

試験で書くべきポイント

仕事の符号規約を答案の中で明示する。ここでは「外部が系にする仕事を正」としたため、準位幅を広げる等温操作の仕事は負になる。断熱操作後の温度は、エネルギーそのものではなく占有比 $$\frac{p_+}{p_-}$$ を比較して決めると、$T'=2T$ がすぐに出る。