名大 理学研究科 物理学 2024年度 院試 解答例・解説

方針

拘束された質点の問題なので、最初に座標を一つに落とす。リングが外から一定角速度で回される場合は $\phi=\omega t$ を代入してよい。一方、リングが自由に回転する場合は $\phi$ を消去してはいけない。循環座標 $\phi$ に対応する保存量が、後半の運動を決める。

途中式の要点

$\theta$ は下向き鉛直から測るので、$z=-R\cos\theta$ である。重力ポテンシャルは $V=mgz=-mgR\cos\theta$ となる。したがってラグランジアンには $+mgR\cos\theta$ が入る。ここを逆符号にすると、$\omega=0$ のとき底点が不安定になるためすぐに誤りと分かる。

検算

平衡点では $\omega^2\cos\theta_e=g/R$ である。したがって線形化では、積の微分のうち平衡条件で消える項を確実に落とすと $$f'(\theta_e)=-\omega^2\sin^2\theta_e$$ だけが残る。係数が負であることは安定性の確認にもなる。

典型ミス

自由回転の場合に、初期角速度が小さいからといって $\dot{\phi}=0$ と近似してしまうと、$\theta=0$ を通れるという誤った結論になる。小さくても $\ell=mR^2\sin^2\theta\,\dot{\phi}$ が非零なら、$\ell^2/\sin^2\theta$ の項は $\theta=0$ の近くで支配的である。

試験で書くべき点

最後の設問では、単に「角運動量保存」と書くだけでは不十分である。保存量を用いて有効ポテンシャルを書き、$\theta\to0$ で発散することを明示すると、通過不能である理由が答案として完結する。

方針

前半は、平行導体板を長さ $\Delta x$ の小区間に切ったときの集中定数 $C,L$ を求める問題である。後半は、その小区間を連ねたLC梯子回路が、連続極限で電磁波を運ぶことを確認する問題である。

途中式の要点

静電容量は電場エネルギーから求めてもよい。 $$\frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}\varepsilon_0E^2(a b\Delta x)$$ を用いても同じ $C=\varepsilon_0 a\Delta x/b$ が得られる。同様に磁場エネルギー $$\frac{1}{2}LI^2 = \frac{1}{2\mu_0}B^2(a b\Delta x)$$ から $L=\mu_0 b\Delta x/a$ が出る。この2つを並べておくと、後半で $LC=\varepsilon_0\mu_0(\Delta x)^2$ が自然に見える。

典型ミス

誘導起電力の符号は、閉路の向きの取り方で表記が変わる。ただし自己インダクタンスは正の量なので、最終的には $$|\mathcal{E}|=L\left|\frac{dI}{dt}\right|$$ に対応する係数を答えればよい。答案では「電流変化を妨げる向き」と一言添えると符号の曖昧さを避けられる。

検算

差分方程式に $A^n$ を代入すると、右辺が $A+A^{-1}-2$ になる。ここで $A-2+A^{-1}$ の符号を逆にすると、低周波で $k^2<0$ となり、進行波ではなく減衰解になってしまう。低周波で $A\simeq e^{\pm i\sqrt{LC}\omega}$ となることがよい検算である。

試験で書くべき点

最後の数値は、$L$ と $C$ の幾何因子 $a,b,\Delta x$ がすべて相殺されることを示してから書く。これは等価回路が真空中の伝送線路を表していることの物理的確認であり、単に公式 $c=1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$ を書くより説得力がある。

方針

前半はフェルミ分布の標準導出である。後半は、スピン分極 $\Delta$ による運動エネルギーの増加と、相互作用エネルギーの減少を競わせる。これはストーナー模型の最も簡単な形であり、$\Delta^2$ の係数だけで臨界値が決まる。

途中式の要点

非分極の全密度 $n$ ではスピン縮退度2を含むため $$n=\frac{k_F^3}{3\pi^2}$$ である。一方、上向きスピンだけを見ると縮退度は1なので $$n_\uparrow=\frac{k_{F\uparrow}^3}{6\pi^2}$$ となる。ここで $3\pi^2$ と $6\pi^2$ を混同すると、以後の係数がすべてずれる。

検算

$$(1+x)^{5/3}+(1-x)^{5/3} = 2+\frac{10}{9}x^2+O(x^4)$$ であり、奇数次の項は左右のスピンを入れ替える対称性により消える。したがって、$\Delta$ の最低次補正が $\Delta^2$ であることは物理的にも自然である。

典型ミス

全密度の $k_F$ と、片スピン成分の $k_{F\uparrow}$ を同じ状態数で数えるのが典型的なミスである。非分極では $3\pi^2$、片スピンでは $6\pi^2$ が出ることを、積分の縮退度から必ず確認する。

自発磁化の条件

相互作用項 $$E_{\mathrm{int}}=\alpha V\left(\frac{n^2}{4}-\Delta^2\right)$$ は $\Delta\neq0$ を好む。一方、運動エネルギーはフェルミ面を片側のスピンに押し込むため増加する。相互作用による低下が運動エネルギーの増加を上回ると、$\Delta=0$ が不安定になる。

試験で書くべき点

臨界値は全エネルギーの定数項ではなく $\Delta^2$ の係数から読む。グラフでは、$\alpha>\alpha_c$ のとき $\Delta=0$ ではなく左右対称な $\Delta\neq0$ の位置に最小が移ること、矢印で自発磁化の位置を示すことが重要である。

方針

デルタ関数ポテンシャルでは、原点以外は自由粒子として解き、原点での接続条件にすべての効果を押し込む。波動関数は連続だが、1階微分はポテンシャル強度に比例して跳ぶ。この2条件を正しく出せれば、散乱も束縛状態も同じ流れで解ける。

途中式の要点

符号は最も落としやすい。ポテンシャルが $-V_0\delta(x)$ で引力なので $$u'(+0)-u'(-0)=-\frac{2mV_0}{\hbar^2}u(0)$$ となる。斥力デルタ障壁なら右辺の符号が逆になる。

典型ミス

$e^{i\alpha x}$ は $+x$ 方向、$e^{-i\alpha x}$ は $-x$ 方向へ進む。右側から左向きに入射する場合、領域Iに右向き入射波は存在しないため $A_I=0$ である。この条件を $B_I=0$ と取り違えると、透過波を消してしまう。

検算

透過率と反射率は $$T+R=1$$ を満たす。これは左右のポテンシャルが同じ自由空間で、吸収がないことの確認である。また $V_0\to0$ では $\lambda\to0$ なので $T\to1$、$R\to0$ となる。

試験で書くべき点

束縛状態では、どの指数関数を残すかを無限遠での発散条件から説明する。$x<0$ では $e^{\beta x}$、$x>0$ では $e^{-\beta x}$ だけが許される。この一文がないと、正しいエネルギー式だけを書いても導出として弱い。