名大 理学研究科 物理学 2022年度 院試 解答例・解説

方針

前半は三質点二ばねの一次元微小振動である。自然長 $\ell$ は平衡位置を決めるだけで，平衡からの微小変位で書くと運動方程式から消える。後半は重心固定条件で自由度を減らし，$x_+$ と $x_-$，または $y_1$ だけのラグランジアンに落とすのが最短である。

途中式の見方

$x_-$ は左右の端の原子が逆向きに動く反対称モードで，中央の原子は動かない。したがって有効質量も有効ばね定数も左右2個の原子だけから決まり，$\omega_-^2=k_1/m$ となる。$x_+$ は左右の端の原子が同じ向きに動き，中央の原子が逆向きに動く対称伸縮であり，重心固定により中央の変位が $-(m/M)x_+$ と決まるため，$\omega_+^2=k_1(M+2m)/(mM)$ になる。

検算

$M\to\infty$ とすると中央の原子は固定壁のように振る舞う。この極限で $\omega_+\to\sqrt{k_1/m}$ となり，反対称モードと同じ振動数になる。一方，$M$ が小さいと中央原子が大きく動くため対称伸縮の振動数が大きくなる。これは式の $1/M$ 依存と整合している。

典型ミス

自然長 $\ell$ を微小変位の運動方程式に残してしまう誤りが多い。平衡条件 $X_2-X_1=\ell,\ X_3-X_2=\ell$ を引けば，$\ell$ は必ず消える。また $x_+=x_1+x_3$ と $x_-=x_1-x_3$ を使うとき，$x_1,x_3$ の逆変換に $1/2$ が付くことを落とすと，有効質量が2倍ずれる。

試験で書くべきポイント

行列式を完全に展開しなくても，並進，反対称，対称の3モードを明示すれば十分に説得力がある。屈曲では，角運動量を一次までで評価しているため，$y_i\dot x_i$ のような二次小量を捨てることを一言添えると答案が安定する。

方針

前半はビオ・サバールの式を「回転の形」に直す問題である。$\nabla$ が観測点 $\mathbf r$ に作用することを明記すれば，符号が自然に決まる。後半は遠方近似で長方形ループを磁気双極子に置き換える。

途中式

4辺のベクトルポテンシャルを足すと，$\int d\mathbf s/r$ に対応する $1/r$ 項は閉曲線なので消える。残るのは位置 $\mathbf r'$ に比例する一次の項で，これは面積 $4ab$ と電流 $I$ の積，すなわち磁気双極子モーメントだけで決まる。

検算

長方形ループの電流は $+z$ 方向から見て反時計回りなので，右ねじの規則より $\mathbf m$ は $+z$ 方向である。求めた $$\mathbf A\propto(-y,x,0)$$ は $z$ 軸まわりに回る向きであり，$\mathbf m\parallel +\hat{\mathbf z}$ の双極子ポテンシャルと一致する。

典型ミス

$\mathbf A=(\mu_0/4\pi)\mathbf m\times\mathbf r/r^3$ と $\mathbf r\times\mathbf m$ を取り違えると，$\mathbf A$ と $U$ の符号が反転する。もう一つのミスは，外部場の $y$ 成分もループを貫くと考えてしまうことである。ループ面は $xy$ 平面なので，磁束に寄与するのは $B_z=B\cos\theta$ だけである。

試験で書くべきポイント

最終的に $$U=-\mathbf m\cdot\mathbf B_{\mathrm ext}$$ までまとめると，エネルギー最小の条件は「磁気双極子が外部磁場と平行になる」と一行で説明できる。物理的意味まで書けば，計算途中で符号を疑われにくい。

方針

無限井戸では境界条件が量子化条件を直接与える。有限井戸では，井戸の外で波動関数が指数減衰することと，境界で $\psi,\psi'$ が連続することが本質である。どちらも「境界条件を先に書く」答案にすると見通しがよい。

途中式

$\langle p\rangle_n=0$ は，粒子が静止しているという意味ではない。運動量の確率分布が正負対称で平均が0という意味であり，実際には $\langle p^2\rangle_n=2mE_n$ は正である。重ね合わせ状態では，$x$ の非対角成分 $\langle 1|x|2\rangle$ が干渉項を作り，期待値が時間振動する。

検算

$\langle x\rangle_n=a/2$ は井戸の中央対称性から当然である。重ね合わせ状態の $\langle H\rangle$ は時間に依存しない。これはハミルトニアンが時間に依存しないためであり，計算結果が時間関数になったら直交性の使い方を見直すべきである。

典型ミス

有限井戸の外側で振動解を書いてしまうミスが多い。$0<E<V_0$ なので外側では古典的に禁制領域であり，$\kappa$ を用いた指数減衰解になる。また境界で連続なのは $\psi$ だけでなく $\psi'$ も含む。ポテンシャルが有限の段差であるため，導関数は飛ばない。

試験で書くべきポイント

図示問題では，正確な振幅よりも節の数，境界で0になるか，外側に指数的な尾が出るかが採点対象になる。基底状態は節なし，第1励起状態は1節，という節定理を書き添えると答案の意図が明確になる。

方針

理想気体の部分はガウス積分で運動量を消去し，$V$ 依存と $T$ 依存を読む。吸着の部分は，吸着点1個を「空」または「占有」の二準位系として扱うと大分配関数がすぐ書ける。

途中式

吸着粒子数は固定されていないため，正準分配関数ではなく大分配関数を使う。占有状態の重みは $$\exp[-\beta(E-\mu N)] =\exp[-\beta(-\epsilon_1-\mu)] =\exp\{\beta(\mu+\epsilon_1)\}$$ である。ここで符号を確認しておくと，吸着エネルギーが深いほど占有率が上がることが式から見える。

検算

$P\to0$ では $e^{\beta\mu}\to0$ なので $f\to0$，高圧極限では $f\to1$ である。これは吸着点が高々1個の粒子しか持てないという仮定と一致する。また $f=1/2$ の条件は $e^{\beta(\mu+\epsilon_1)}=1$ であり，温度に依らず $\mu=-\epsilon_1$ となる。

典型ミス

吸着点 $M$ 個を粒子のように $1/M!$ で割ってはいけない。吸着点は箱の表面に固定された区別可能な位置であり，各点が独立な二状態を持つ。また，吸着された粒子のエネルギーは $-\epsilon_1$ なので，平均エネルギーは負になる。

試験で書くべきポイント

最後のグラフは式 $$f(P)=\frac{P}{P+P_{1/2}}$$ から，原点を通ること，$P_{1/2}$ で $1/2$，高圧で飽和することを示せば十分である。この形はラングミュア吸着等温式である。