名大 理学研究科 物理学 2023年度 院試 解答例・解説

方針

前半は拘束条件つきのアトウッドの問題である。後半は、ばねの伸びが $x_1+x_2-l$ で決まるため、和の座標 $x=x_1+x_2$ と、差に近い座標 $y$ に変換すると運動が分離する。

途中式の要点

ばねの力は両質点に同じ向きの一般化力として現れる。したがって $$m_1\ddot{x}_1=m_1g-k(x-l),\qquad m_2\ddot{x}_2=m_2g-k(x-l)$$ となる。ここで片方の符号を逆にすると、$x=x_1+x_2$ の復元力が消えてしまうので不自然である。

座標変換の意味

$x$ はばねの伸びを決める振動座標、$y$ は重心に近い一様加速度座標である。運動エネルギーで交差項が消えるように $$y=\frac{m_1x_1-m_2x_2}{m_1+m_2}$$ が選ばれている。これにより、ハミルトニアンも $p_x^2/(2\mu)$ と $p_y^2/(2M)$ に分かれる。

検算

等質量では $x$ の固有角振動数が $$\Omega=\sqrt{\frac{2k}{m}}$$ になる。2本の質量が同じ方向にばねを伸び縮みさせるため、実効的な復元係数が $2k$ になると見ることもできる。共振時の振幅成長率は外力振幅に比例し、$\sqrt{km}$ に反比例するので次元も長さ毎時間になっている。

典型ミス

ばねでつないだ後も糸だけの場合の拘束 $x_1+x_2=l$ を使い続ける誤りが多い。ばねが入った後は $x_1+x_2-l$ が伸びであり、$x$ 自体が運動する力学変数になる。

試験で書くべき点

ハミルトニアンを出す設問では、共役運動量を先に明記する。特に $p_x=\mu\dot{x}$, $p_y=M\dot{y}$ を書かずに速度をそのまま置き換えると、係数を間違えやすい。

方針

前半は与えられたベクトルポテンシャルからビオ・サバールの法則を導く。後半は、円電流を磁気双極子として近似し、力とトルクを求める。小円 $C'$ に対して $d\gg a'$ が与えられているので、外部磁場を小円上で一様とみなせる。

途中式の要点

$\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r}')$ は積分変数 $\boldsymbol{r}'$ の関数であり、$\nabla$ は観測点 $\boldsymbol{r}$ に関する微分である。したがって $$\nabla\times\left(\frac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r}')}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|}\right) = \nabla\left(\frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|}\right) \times\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r}')$$ となる。この順序を逆にすると符号を誤る。

検算

同じ向きに電流が流れる平行な円電流は引き合う。従って、上側のループに働く力は下向きでなければならない。得られた $$F_z<0$$ はこの物理的直観と一致する。

トルクの解釈

一様磁場中では、磁気モーメントは磁場方向にそろうように回転しようとする。法線を $+x$ 側へ傾けたなら、$\boldsymbol{n}'\times\boldsymbol{e}_z=-\boldsymbol{e}_y$ であるため、トルクは $-y$ 方向になる。答案では法線の向きを明記してからトルクの向きを答えるのが安全である。

典型ミス

$\nabla(1/|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|)$ の符号と外積の順序を同時に間違えると、ビオ・サバールの法則の向きが反転する。最終形は必ず $\boldsymbol{j}\times(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}')$ の順で書く。

試験で書くべき点

円電流の軸上磁場は公式として使ってよいが、原点での値と $z$ 軸上での値の両方に右ねじの向きを添える。力の設問では、単に $F=\mu\,dB/dz$ と書くのではなく、$dB/dz<0$ だから下向きであることまで書くと減点されにくい。

方針

ベクトルポテンシャルは運動量をずらす。古典的には正準運動量が $$p=mR^2\dot{q}+\frac{\hbar\theta}{2\pi}$$ となり、量子力学ではこのずれが $$n-\frac{\theta}{2\pi}$$ としてエネルギーに現れる。

途中式の要点

固有関数 $e^{inq}$ の $n$ は、円周上の一価性から整数に限られる。ここを連続変数として扱うと、$\theta$ によるスペクトルの周期性や縮退を失ってしまう。

準位交差の見方

$\theta$ を増やすと、放物線 $$\left(n-\frac{\theta}{2\pi}\right)^2$$ の頂点が整数 $n$ の間を移動する。$0\le\theta\le\pi$ では $n=0$ と $n=1$ の2本が最低付近を支配し、$\theta=\pi$ で交差する。

検算

$\theta=0$ を代入すると $E_n=\hbar^2n^2/(2mR^2)$ に戻る。また $\theta=\pi$ では $E_n=E_{1-n}$ となり、ユニタリ変換で結びつく2状態の縮退が数式でも確認できる。

典型ミス

$\hat{C}$ による変換を単なる反転 $q\to -q$ と見てしまうと、運動量量子数の写り先を $n\to -n$ としてしまう。位相因子 $e^{iq}$ があるため、正しくは $n\to1-n$ である。

ユニタリ変換の意味

$\hat{C}$ は反転 $q\to -q$ と位相因子 $e^{iq}$ を組み合わせた変換である。これにより運動量量子数は $$n\mapsto1-n$$ へ写る。ハミルトニアンがこの変換と交換する $\theta=\pi$ では、写された相手の状態が同じエネルギーを持つため縮退が生じる。

試験で書くべき点

$\theta=\pi$ の縮退を述べるときは、単に「対称性がある」と書くのではなく、$\psi_n$ が $\psi_{1-n}$ に写ることを明示する。整数 $n$ では固定点がないため、全準位が二重縮退すると結論できる。

方針

古典分配関数はガウス積分で計算する。調和振動子では運動量と座標の2つの2次自由度がそれぞれ $\frac{1}{2}k_BT$ を持つため、内部エネルギーは $k_BT$ になる。定数ポテンシャル $ka^2$ は分配関数に $e^{-\beta ka^2}$ を掛け、自由エネルギーと内部エネルギーに定数を足すだけで、比熱には効かない。

途中式の要点

水平運動ではポテンシャルが $$\frac{1}{2}k(a+x)^2+\frac{1}{2}k(a-x)^2=ka^2+kx^2$$ となり、分布は $x$ について偶関数である。したがって $\langle x\rangle=0$ であり、壁への平均力は単に $ka$ である。

垂直運動のエントロピー的補正

垂直変位では、ばねの長さが $$\sqrt{(L/2)^2+y^2}$$ となる。温度が上がると $\langle y^2\rangle$ が増え、ばねの平均長さが少し長くなるため、壁に及ぼす平均力も増える。この補正が $$\frac{l k_BT}{L(L-2l)}$$ である。

臨界的な場合

$L=2l$ では、つり合い位置でばねが自然長であり、垂直方向の2次復元力が消える。最低次ポテンシャルは4次になり、分配関数の座標積分は $\beta^{-1/4}$ に比例する。運動量積分の $\beta^{-1/2}$ と合わせて $Z\propto\beta^{-3/4}$ となるため、$U=3k_BT/4$ が出る。

検算

調和近似が成り立つ場合は、運動量と座標の2次自由度がそれぞれ $\frac{1}{2}k_BT$ を持つので、温度依存する内部エネルギーは $k_BT$ になる。$L=2l$ では座標側が4次ポテンシャルになり、ビリアル定理でも座標側の平均エネルギーは $\frac{1}{4}k_BT$ となる。

典型ミス

壁への力を $k(s-l)$ のまま答えると、水平成分を取り忘れる。壁が受けるのは張力の水平成分なので、$f=k(s-l)r/s$ としてから平均を取る必要がある。

試験で書くべき点

最後の設問では、調和振動子の公式をそのまま使ってはいけない。2次項が消えることを展開で示し、4次ポテンシャルの $\beta$ 依存性から内部エネルギーを求める。積分定数は自由エネルギーの絶対値には効くが、$U$ と $C$ には $\beta$ の冪だけ分かれば十分である。