名大 理学研究科 物理学 2020年度 院試 解答例・解説

方針

固定円柱では質点の軌道は円のインボリュートである。接点の角度を $\theta$ とすると，ほどけた糸の長さが $R\theta$ になるため，$\overrightarrow{OP}$ を幾何だけで書ける。回転円柱では，接点の空間的な角度が $\theta+\psi$ になる点だけを変えればよい。

途中式

固定円柱で $$\dot{\mathbf r}=R\theta\dot\theta\,\mathbf e_r$$ となることが重要である。速度が糸に垂直な方向を向くので，糸の張力は仕事をせず，質点の速さは一定になる。ただし張力の作用線は原点を通らないため，原点まわりの角運動量は保存しない。

検算

$R\theta\dot\theta=v_0$ から $\theta^2\propto t$ となる。これはほどき始めで $\dot\theta$ が形式的に発散することを示すが，物理的な速さ $R\theta\dot\theta$ は有限で $v_0$ である。座標 $\theta$ が初期時刻で特異なだけで，運動自体が破綻しているわけではない。

典型ミス

回転円柱で $\theta$ と $\psi$ を同じ角度として扱うと，質点速度の $\dot\psi\,\mathbf t$ の項を落としてしまう。$\theta$ は糸がほどけた量，$\psi$ は円柱自体の回転量であり，接点の空間角は $\theta+\psi$ である。

試験で書くべきポイント

$\psi$ が循環座標であることを見抜けば，保存量 $p_\psi$ がすぐ得られる。初期条件から $p_\psi=0$ とし，$\dot\theta>0$ を使って $\dot\psi<0$ を示せば，回転方向の問いに短く答えられる。

方針

円電流は，微小電流素片に働くローレンツ力 $d\mathbf F=I\,d\mathbf s\times\mathbf B$ を一周積分すればよい。一様磁場では合力は消え，トルクだけが残る。磁場勾配がある場合は，左右で力の大きさが異なるため合力が出る。

途中式

一様磁場で求めたトルクは $$\mathbf N=\boldsymbol\mu\times\mathbf B$$ と比較するとすぐ磁気モーメントを読める。図の電流向きでは $\boldsymbol\mu$ は $+z$ 方向である。向きを逆に取れば，$\boldsymbol\mu$，トルク，誘導起電力の符号は同時に反転する。

検算

非一様磁場での合力は $B_0$ に依存しない。$B_0$ は円周上で同じ大きさの半径方向の力を作るだけで，一周積分すると相殺される。残るのは勾配 $B_1$ に比例する項だけである。

典型ミス

誘導起電力の符号は，どちらの周回方向を正にしたかに依存する。本解では初めの電流方向を正に取ったので，$\mathcal E<0$ はレンツの法則どおり電流を弱める向きを意味する。エネルギー比較では符号付き起電力ではなく，電源が供給する正の仕事 $-I\mathcal E$ を積分する。

試験で書くべきポイント

最後に $$W_{\mathrm el}=K$$ を示すと，電流を一定に保つための外部電源の仕事が，導線の力学的エネルギーに変換されたことが分かる。これは式だけでなく物理的説明も書く価値がある。

方針

前半はスターク効果である。基底状態ではパリティにより一次補正が消え，$n=2$ では縮退摂動論が必要になる。後半は，内部電場との相互作用が交換子で書けることを使い，波動関数の一次変化と外部電場中のエネルギーを調べる。

途中式

$z=r\cos\theta$ は奇パリティで，かつ球面調和関数の $m=0$ 成分を持つ。したがって $2s$ と $2p_{m=0}$ だけが一次で混ざる。$m=\pm1$ の $2p$ 状態は同じ $n=2$ の中にあるが，$z$ では結合しないため一次ではエネルギーがずれない。

検算

$n=2$ の線形スターク効果で得た分裂幅は $ea_0E_{\mathrm ex}$ の次元を持つ。$eE_{\mathrm ex}$ は力，$a_0$ は長さなので，積はエネルギーであり次元が合う。また，基底状態では偶関数と奇演算子の期待値なので一次補正が消える。

典型ミス

縮退がある $n=2$ で，単に対角成分 $\langle n,l,m|\hat H_A|n,l,m\rangle$ だけを見ると線形スターク分裂を見落とす。縮退部分空間の中で行列を作り，対角化することが必要である。

試験で書くべきポイント

電気双極子相互作用の符号は，$\hat{\mathbf d}$ の向きの定義で全体が反転し得る。答案では一つの符号規約を明示し，電荷の外場エネルギーと双極子の直接エネルギーが一次で相殺することを示せばよい。この相殺が後半の物理的な要点である。

方針

前半は1個の調和振動子を解き，独立な $N$ 個なら分配関数を $N$ 乗する。後半は電磁波の各モードを量子調和振動子と見なし，モード密度 $g(\omega)$ で和を積分に置き換える。

途中式

古典分配関数では $p$ と $q$ のガウス積分がそれぞれ1つずつ出る。結果は $k_BT/(\hbar\omega)$ となり，高温で量子分配関数 $$\frac{1}{1-e^{-\beta\hbar\omega}}$$ の近似と一致する。これは対応原理のよい検算である。

検算

輻射場では $$F_R\propto -VT^4,\qquad U_R\propto VT^4,\qquad P_R=\frac{U_R}{3V}$$ となる。特に $P_R=U_R/(3V)$ は黒体輻射の標準結果であり，係数計算の検算に使える。

典型ミス

電磁波モード密度で偏光の2倍を忘れると，$g(\omega)$ から先の全係数が半分になる。また，箱の境界条件が $k_i=\pi n_i/L$ で $n_i\ge0$ なので，$k$ 空間では八分球を数える。全空間を数えてさらに2倍すると8倍の過大評価になる。

試験で書くべきポイント

グラフは定性的な形だけでなく，高温極限・低温極限，または最大位置の式を書き込むと採点しやすい。プランク分布では $\omega^3$ の立ち上がりと指数関数による減衰の競合でピークが生じる，という説明を添えるとよい。