名大 理学研究科 物理学 2020年度 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

固定された円柱を考える。接点の位置を $$\overrightarrow{OC}=R(\sin\theta,\cos\theta)$$ と書く。接点における接線方向の単位ベクトルを $$\mathbf t=(\cos\theta,-\sin\theta)$$ とすると，ほどけた糸の長さは $R\theta$ であり，質点は接点から $-\mathbf t$ 方向にある。したがって $$\overrightarrow{CP}=-R\theta(\cos\theta,-\sin\theta),$$ $$\overrightarrow{OP} =R(\sin\theta-\theta\cos\theta,\, \cos\theta+\theta\sin\theta).$$ これを時間微分すると $$\dot{\mathbf r} =R\theta\dot\theta(\sin\theta,\cos\theta),$$ すなわち $$v_x=R\theta\dot\theta\sin\theta,\qquad v_y=R\theta\dot\theta\cos\theta .$$

ポテンシャルはないので $$L=\frac{m}{2}|\dot{\mathbf r}|^2 =\frac{mR^2}{2}\theta^2\dot\theta^2 .$$ オイラー・ラグランジュ方程式は $$\frac{d}{dt}(mR^2\theta^2\dot\theta)-mR^2\theta\dot\theta^2=0,$$ すなわち $$\theta^2\ddot\theta+\theta\dot\theta^2=0.$$ $\theta>0$ では $$\frac{d}{dt}(\theta\dot\theta)=0$$ だから，初速の条件 $R\theta\dot\theta=v_0$ を用いて $$\theta\dot\theta=\frac{v_0}{R},\qquad \theta(t)=\sqrt{\frac{2v_0}{R}t}$$ となる。

原点まわりの角運動量は $$L_z=m(\mathbf r\times\dot{\mathbf r})_z =-mR^2\theta^2\dot\theta$$ である。大きさは $$|L_z|=mR^2\theta^2\dot\theta=mRv_0\theta$$ で，時間とともに変化する。よって角運動量は保存しない。一方， $$K=\frac{mR^2}{2}\theta^2\dot\theta^2=\frac{m v_0^2}{2}$$ は保存する。

次に円柱が回転できる場合を考える。円柱の回転角を $\psi$，接点の空間内の角度を $$\alpha=\theta+\psi$$ とする。接点方向と接線方向を $$\mathbf e_r=(\sin\alpha,\cos\alpha),\qquad \mathbf t=(\cos\alpha,-\sin\alpha)$$ とおけば $$\mathbf r=R(\mathbf e_r-\theta\mathbf t).$$ したがって $$\dot{\mathbf r} =R\left\{\dot\psi\,\mathbf t+\theta(\dot\theta+\dot\psi)\mathbf e_r\right\}$$ であり， $$|\dot{\mathbf r}|^2 =R^2\left[\dot\psi^2+\theta^2(\dot\theta+\dot\psi)^2\right].$$ 円柱の慣性モーメントを $I$ と書くと，ラグランジアンは $$L= \frac{mR^2}{2} \left[\dot\psi^2+\theta^2(\dot\theta+\dot\psi)^2\right] +\frac{I}{2}\dot\psi^2 .$$

$\Omega=\dot\theta+\dot\psi$ とおくと，$\theta$ について $$\frac{d}{dt}\{mR^2\theta^2\Omega\} -mR^2\theta\Omega^2=0,$$ すなわち $$\theta^2(\ddot\theta+\ddot\psi) +2\theta\dot\theta(\dot\theta+\dot\psi) -\theta(\dot\theta+\dot\psi)^2=0.$$ $\psi$ は循環座標なので $$p_\psi= (I+mR^2)\dot\psi +mR^2\theta^2(\dot\theta+\dot\psi)$$ が保存する。初期に円柱は静止し，$\theta=0$ から始まるので保存値は $0$ である。したがって $$\dot\psi = -\frac{mR^2\theta^2}{I+mR^2+mR^2\theta^2}\dot\theta .$$ $\dot\theta>0$ であるから $\dot\psi<0$ となり，時計回りを正に取った規約では，円柱は反時計回りに回転する。

この場合，質点だけの運動エネルギー $$K_{\mathrm p}= \frac{mR^2}{2} \left[\dot\psi^2+\theta^2(\dot\theta+\dot\psi)^2\right]$$ は一般には保存しない。保存するのは $$K_{\mathrm total}=K_{\mathrm p}+\frac{I}{2}\dot\psi^2$$ である。