名工大 工学研究科 物理工学系 応用物理プログラム 応用物理 2025年度 院試 解答例・解説

方針

第1問は、計算を力任せに進めるよりも、使う定理を先に選ぶのが重要である。ベクトル場 $\vec F$ では回転がゼロかを見て保存力場として扱い、球面積分では直接面積分ではなく発散定理へ移す。微分方程式は変数分離、フーリエ級数は偶奇性を最初に判定する、という順に進めると計算量を抑えられる。

保存力場の確認

線積分を直接パラメータ表示で計算してもよいが、最初に $\operatorname{rot}\vec F=\vec0$ を得ているので、ポテンシャル差で出す方が速く、計算ミスも少ない。ポテンシャルには任意定数が付くが、差を取るため線積分の値には影響しない。

ガウスの定理での検算

球面上で直接計算すると、外向き単位法線は $\vec n=(x,y,z)/R$ であり $$\vec E\cdot\vec n=\frac{x^4+y^4+z^4}{R}$$ となる。球面平均 $\langle x^4\rangle=R^4/5$ を使えば $$\int_S\vec E\cdot\vec n\,dS =\frac{3R^4/5}{R}\cdot 4\pi R^2 =\frac{12\pi}{5}R^5$$ となり、発散定理による答と一致する。

ロジスティック方程式の典型ミス

$0<y<1$ なので $\log|y/(1-y)|$ の絶対値は最終的に外してよい。初期条件 $y(0)=1/2$ を入れると積分定数がちょうどゼロになる。$e^{-kt}$ 型に直すと、$t\to\infty$ で $y\to 1$、$t\to -\infty$ で $y\to 0$ となり、微分方程式の向きとも合う。

フーリエ係数の注意

三角波は偶関数なので $b_n=0$ と先に判断できる。$a_0$ は級数中で $a_0/2$ として現れるため、定数項を $a_0$ と書いてしまうミスが多い。この問題では $a_0=1$、定数項は $1/2$ である。

無限級数の取り出し方

フーリエ級数を $t=0$ に代入するのが最短である。端点や折れ点で級数値を使うときは左右極限の平均になるが、ここでは関数が連続で値は $0$ なのでそのまま代入できる。

試験で書くべきポイント

ベクトル解析では、$\operatorname{rot}\vec F=\vec0$ と発散定理の式を答案に明記してから数値計算へ進む。フーリエ級数では、$g(t)$ が偶関数であるため $b_n=0$ となること、定数項が $a_0/2$ であること、最後に $t=0$ を代入して奇数項だけの級数を取り出すことを書くと、採点者に論理の流れが伝わる。

方針

前半は、磁束の時間変化から起電力を出し、オームの法則、ローレンツ力、運動方程式へ順に接続する。後半は円柱対称性を使い、場の向きを先に $\vec e_r$ または $\vec e_\theta$ に決めてから、ガウスの法則・アンペールの法則で大きさを求める。最後の発散と回転は、与えられた円柱座標公式に代入して確認する。

導体棒で効く磁場成分

起電力は磁束の時間変化で決まるため、レール面に垂直な磁場成分 $B\cos\theta$ を使う。ここで $B$ や $B\sin\theta$ を入れると、$\theta=0$ の水平レールで最大、$\theta\to\pi/2$ の鉛直面でゼロという極限と合わない。

エネルギーでの検算

終端速度では $$I^2R=\left(\frac{BwV\cos\theta}{R}\right)^2R =\frac{B^2w^2\cos^2\theta}{R}V^2.$$ 終端条件より $$\frac{B^2w^2\cos^2\theta}{R}V=mg\sin\theta$$ なので $I^2R=mgV\sin\theta$ となる。力のつり合いとエネルギー収支が一致している。

円柱座標の微分

$r^n\vec e_r$ の発散では $\partial A_r/\partial r$ だけではなく、必ず $$\frac1r\frac{\partial(rA_r)}{\partial r}$$ を使う。$r^n\vec e_\theta$ の回転も同様に $rA_\theta$ を微分する。座標系の単位ベクトルが場所で変わることが、この $r$ の因子として現れる。

マクスウェル方程式との対応

電荷がある内部で $\operatorname{div}\vec E=\rho/\varepsilon_0$、外部で $0$ となるのはガウスの法則そのものである。また定常電流のある内部で $\operatorname{rot}\vec B=\mu_0 i\vec e_z$、外部で $\vec0$ となるのはアンペールの法則に対応する。境界 $r=a$ では場そのものは連続だが、設問の微分計算は内部・外部で分けて答える。

典型ミス

導体棒の問題では、力の向きを重力と同じ向きに取ってしまうミスが多い。誘導電流による力はレンツの法則により運動を妨げる向きなので、運動方程式では速度に比例する項に負号が付く。円柱問題では、外部領域の電場・磁場を内部式のまま $r$ に比例させる誤答が多い。外部では包む電荷量・電流量が一定になるため、どちらも $1/r$ 型になる。

試験で書くべきポイント

終端速度を求める答案では、$m\,dv/dt=0$ として力のつり合いから $V$ を出したことを明記する。円柱座標の小問では、内部と外部の範囲を場合分けし、$r=a$ で場が連続になることを軽く確認しておくと、式の選択が正しいことを示せる。

方針

前半は、確率分布そのものを変数として自由エネルギーを最小化する問題である。規格化条件はラグランジュ未定乗数で入れ、相互作用がある場合は $\sum_i p_ip_{i+1}$ の中で $p_i$ を含む2項を落とさずに微分する。後半は、スピン縮退度 $g_s=2s+1$ を含めたフェルミ波数を求め、$T=0$ の内部エネルギー $U=(3/5)N\varepsilon_F$ を各成分に適用する。

自由エネルギー最小化の形

エントロピーの微分で $$\frac{\partial}{\partial p_i}(p_i\ln p_i)=\ln p_i+1$$ を落とさないことが重要である。$+1$ は最終的には規格化定数に吸収されるが、途中式で消してよいわけではない。

相互作用項の微分

$\sum_i p_ip_{i+1}$ を $p_i$ で微分すると、$p_ip_{i+1}$ から $p_{i+1}$、$p_{i-1}p_i$ から $p_{i-1}$ が出る。周期境界条件があるため端点でも同じ形で書ける。ここを片側の $p_{i+1}$ だけにすると、引力が左右両隣から働く効果を半分落とす。

引力相互作用の物理的意味

相互作用項は負であり、隣接する確率が同時に大きいほど自由エネルギーが下がる。これは分布を全体に平坦化する効果ではなく、ポテンシャル最小点の周辺に確率の重みを集める効果である。ただし相互作用が同じ位置ではなく隣接位置に働くため、「$p_\alpha$ だけが単調に増える」と断定するより、最小点近傍の隣接サイトを含む山が強くなる、と表現する方が正確である。

縮退度とフェルミ波数

スピン量子数 $s$ の縮退度は $2s+1$ である。粒子数だけを見て系1と系2を比較すると誤る。系2では異なるスピン種は別成分なので、粒子数 $N$ の気体を2つ足し合わせる。特にスピン $5/2$ 成分は縮退度が大きく、同じ $N$ でもフェルミ波数が小さくなる。

熱容量比較の見方

低温で熱励起できるのはフェルミ面近傍だけである。系1と系3はフェルミエネルギーが同じだが、系1は粒子総数が2倍で、フェルミ面上の状態数も2倍になる。したがって低温定積熱容量は系1の方が大きい。

典型ミス

フェルミ気体では、粒子数 $2N$ だけを見て系1の縮退度を忘れると $k_F$ がずれる。系2は2種類の粒子が混ざった1つのフェルミ海ではなく、スピン $1/2$ 成分とスピン $5/2$ 成分を別々に詰める。自由エネルギー最小化では、規格化定数に吸収される項を途中で勝手に捨てると、停留条件の導出としては不十分になる。

試験で書くべきポイント

相互作用ありの分布は明示解ではなく自己無撞着方程式でよい。答案では $p_i$ の右辺にも $p_{i-1},p_{i+1}$ が残ることをはっきり書く。フェルミ気体の比較では、$g_s$、$k_F$、$\varepsilon_F$、$U$ の順に並べると、どの縮退度をどこに使ったかが採点しやすい。

方針

前半は、交換子から期待値の運動方程式を導くエーレンフェストの定理である。自由粒子では $\hat H=\hat p_x^2/(2m)$ とし、$[\hat x,\hat p_x]=i\hbar$ から $\overline{x}$ と $\overline{p_x}$ の時間変化を求める。後半は、階段ポテンシャルの左右で波数が異なる平面波を接続し、確率流で保存則を確認する。

交換関係の示し方

$[\hat x,\hat p_x]=i\hbar$ は暗記でもよいが、試験答案では任意の関数に作用させて示すと符号ミスを防げる。$\hat p_x=-i\hbar\partial_x$ のマイナスを落とすと、後のエーレンフェストの式も逆符号になる。

期待値の時間微分

演算子が時間に陽に依存する場合は $\langle \partial \hat O/\partial t\rangle$ が追加される。この設問では「時間に陽に依存しない」とされているため、交換子の項だけでよい。導出ではハミルトニアンのエルミート性を使って左側に出る $\hat H$ を移す点を書くと、式変形が正当化される。

自由粒子の検算

自由粒子では運動量が保存する。従って位置期待値は等速直線運動になる。初期波動関数が原点中心の実ガウス型であるため、平均位置も平均運動量もゼロであり、波束は広がっても中心は動かない。

確率流の係数

透過率は単に $|T/A|^2$ ではなく、速度の違いを含めて $$\mathcal T=\frac{k_2|T|^2}{k_1|A|^2}$$ である。一方、反射側は入射側と同じ領域なので速度因子が同じで、$\mathcal R=|R/A|^2$ となる。

階段ポテンシャルの符号

左側が低いポテンシャルなので、同じ全エネルギー $E$ に対して左側の波数 $k_1$ は右側の $k_2$ より大きい。反射確率の条件で $k_1/k_2=3$ を得ると、$E+V_0=9E$ から $E=V_0/8$ となる。

典型ミス

期待値の時間微分では、$[\hat O,\hat H]$ と $[\hat H,\hat O]$ の順序を入れ替えると符号が変わる。散乱問題では、透過確率を $|T/A|^2$ とだけ書く誤りが多い。右側と左側で波数、すなわち速度が違うため、透過流には $k_2/k_1$ の補正が必要である。

試験で書くべきポイント

ガウス波束の小問では、初期波動関数が実かつ偶関数であることから $\overline{x}(0)=0$、$\overline{p_x}(0)=0$ と書けば十分である。階段ポテンシャルでは、境界で波動関数と微分が連続であること、確率保存を確率流で確認すること、反射確率 $1/4$ から正の根を選ぶことを答案に残す。