東大 工学系研究科 物理工学専攻 物理学 2026年度 院試 解答例・解説

方針

前半は「張力が並進を妨げ、同時に回転を作る」という1自由度の剛体問題である。糸がすべらない条件 $a=r_2\dot\omega$ を最後まで忘れないことが決定的である。後半は面素ごとのローレンツ力をトルクに直し、球面対称性で奇関数の面積分を消す問題である。

途中式の意味

ヨーヨー型剛体では、同じ張力 $T$ が並進方程式では上向きの力、回転方程式では回転を生むトルクとして現れる。$I_C\dot\omega=Tr_2$ と $a=r_2\dot\omega$ から $T=I_Ca/r_2^2$ と書けるので、有効質量が $M+I_C/r_2^2$ に増えた形になる。

検算

$r_2$ が大きいほど同じ張力で回転角加速度は小さく、落下加速度は $g$ に近づく。反対に $r_2\to0$ では非常に大きな回転を必要とするため $a\to0$ となる。得られた $$a=\frac{2r_2^2}{r_1^2+2r_2^2}g$$ はこの極限と一致する。

典型ミス

球殻の慣性モーメントで中身の詰まった球の公式 $2MR^2/5$ を使うのは誤りである。ここでは薄い球殻なので $2MR^2/3$ を用いる。また、$\boldsymbol v$ を $\boldsymbol r\times\boldsymbol\omega$ と書くとトルクの符号がすべて反転する。

試験で書くべきポイント

面積分では、消える項を「対称性によりゼロ」と一言で済ませず、少なくとも $xz,yz$ などの奇関数積分が消え、$x^2,y^2,z^2$ の積分が等しいことを明示すると答案の説得力が上がる。歳差の向きは、$\Omega$ の符号ではなく位相角 $-\Omega t$ の増減で判断すると符号ミスを避けやすい。

方針

前半は通常の摂動論、後半は「半調和振動子を全空間の奇数準位として見る」ことが核である。突然変化の後は、波動関数そのものは直後に変わらず、以後は新しいハミルトニアンの固有状態で展開して位相だけを進める。

境界条件の見方

$V_0\to\infty$ では左半直線が無限大障壁になるので、許される波動関数は $x=0$ でゼロになる。偶数準位は $\psi_{2k}(0)\ne0$ でこの条件を満たさない。一方、奇数準位は $\psi_{2k+1}(0)=0$ なので、右半分だけを取り出して $\sqrt{2}$ 倍すれば規格化済みの固有状態になる。

検算

$c_0=1/\sqrt{\pi}$ は $0<c_0<1$ であり、展開係数として自然な大きさである。また、$t=2\pi/\omega$ 後に全準位が同じ位相 $-1$ を得るのは、調和振動子のエネルギー間隔が等間隔であることの直接の帰結である。確率密度は初期状態と同じになる。

典型ミス

$t=\pi/\omega$ で単に $-\Psi(x,0)$ とするのは誤りである。半周期では $(-1)^j$ が付き、これは空間反転を表す。したがって波束は右半直線から左半直線へ移る。全体位相 $e^{-i\pi/2}$ は確率密度には影響しないが、波動関数を問われているので答案では落とさない。

試験で書くべきポイント

突然近似では「展開係数を全部求めなくても、等間隔スペクトルとパリティで時刻 $\pi/\omega$、$2\pi/\omega$ の波動関数を決められる」と示すのが短く強い答案である。特に $\psi_j(-x)=(-1)^j\psi_j(x)$ の一行を入れると、半周期の導出が明確になる。

方針

一次元模型では、エネルギーではなく配置数が伸長に依存する。したがって張力はエントロピーの $L$ 微分から出る。三次元模型では、外力一定のアンサンブルで角度積分を行い、$\log Z$ を $\beta X$ で微分して伸長 $L$ を得る。

エントロピー弾性

$L$ が大きくなるほど右向きと左向きの比が偏り、配置数が減る。自由エネルギー $F=-TS$ はその分増加するので、戻ろうとする張力が生じる。小さい伸長で $X\propto T L$ となるのは、普通のばね定数がエネルギー起源ではなく温度に比例することを表している。

断熱伸長の符号

$$\left(\frac{\partial T}{\partial L}\right)_S \simeq \frac{Tk_BL}{C_LNa^2}>0$$ なので、正に伸びた状態でさらに断熱的に伸ばすと温度は上がる。これは、伸長により配向エントロピーが減るため、その減少を内部自由度の温度上昇で補う必要がある、と解釈できる。

検算

一次元では $L\to Na$ に近づくと全分子がほぼ同じ向きになり、さらに伸ばす余地がなくなるため張力が発散する。三次元では小さい外力に対する平均 $\langle\cos\theta\rangle$ が $q/3$ になるため、一次元の係数 $1$ に対して係数 $3$ が現れる。

典型ミス

$X=-(\partial F/\partial L)_T$ として符号を逆にするミスが多い。本問の定義では $X=(\partial F/\partial L)_T$ であり、$L>0$ なら正の張力が出る。また、三次元の分配関数で $\sin\theta\,d\theta d\phi$ の測度を落とすと $\sinh q/q$ が得られない。

試験で書くべきポイント

スターリング近似を使った後は、$\ell=L/(Na)$ を導入すると微分が簡潔になる。断熱過程では、まず $dS=(C_L/T)dT+(\partial S/\partial L)_TdL$ と書き、次にマクスウェル関係で張力の温度微分に変換する順序が最も安全である。

方針

前半はローレンツ振動子模型で誘電率テンソルを作る。後半は、境界条件で接線方向の波数をそろえ、異方性媒質中の波動方程式を偏光ごとに解く。S偏光は電場が主軸方向に乗るため等方媒質と同じ形になるが、P偏光では電場、波数、エネルギー流の方向が一致しない。

符号の確認

電子の電荷は負なので、電場が $+x$ 方向なら電子変位は $-x$ 方向である。したがって $u_x$ には負号が付き、分極 $P_x=-\rho e u_x$ は $+x$ 方向になる。結果として $\epsilon_\alpha-\epsilon_0$ は $\omega<\omega_\alpha$ で正になり、低周波側で誘電率が大きくなるという物理的な挙動と合う。

P偏光の見通し

異方性媒質では $\boldsymbol{D}$ は $\boldsymbol{k}$ に垂直だが、$\boldsymbol{E}$ は一般に $\boldsymbol{k}$ に垂直ではない。P偏光で $\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{D}=0$ を使うと、$\epsilon_nE_x$ と $\epsilon_aE_z$ の重み付き直交条件がすぐ出る。これが光線方向 $$\tan\theta_{t2}=\frac{\epsilon_n}{\epsilon_a}\tan\phi_{t2}$$ のずれの原因である。

検算

$\epsilon_n=\epsilon_a$ の等方極限をとると、P偏光の波数は $$|k_{t2}|=\omega\sqrt{\mu_0\epsilon_n}$$ となり、S偏光と一致する。また $\tan\theta_{t2}=\tan\phi_{t2}$ となるので、光線方向と波数方向が一致する。これは等方媒質の性質と整合している。

典型ミス

スネルの法則をそのまま屈折率だけで書くと、P偏光の有効波数が角度依存する点を見落としやすい。本問では最初に $k_x$ の連続を使い、その後に媒質中の分散関係で $|k_{t1}|$、$|k_{t2}|$ を求める順序にするのが安全である。

試験で書くべきポイント

式 $\boldsymbol{D}=|\boldsymbol{k}|^2\{\boldsymbol{E}-(\boldsymbol{e}\cdot\boldsymbol{E})\boldsymbol{e}\}/(\mu_0\omega^2)$ の導出では、マクスウェル方程式から $$\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{E}=\mu_0\omega\boldsymbol{H},\qquad \boldsymbol{k}\times\boldsymbol{H}=-\omega\boldsymbol{D}$$ を明示するだけで符号の根拠がはっきりする。P偏光では行列式をゼロにする一行を答案に入れると、角度依存波数を十分に正当化できる。