東大 工学系研究科 物理工学専攻 物理学 2020年度 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

ハミルトニアン

1次元調和振動子の標準形より $$\hat H =\hbar\omega\left(\hat a_x^\dagger\hat a_x+\frac12\right) +\hbar\omega\left(\hat a_y^\dagger\hat a_y+\frac12\right) =\hbar\omega(\hat a_x^\dagger\hat a_x+\hat a_y^\dagger\hat a_y+1).$$ 固有状態を $\ket{n_x,n_y}$ と書けば $$E_{n_x,n_y}=\hbar\omega(n_x+n_y+1).$$ 低い方から $N$ 番目の準位は $n_x+n_y=N-1$ に対応し、組の数は $N$ 個なので $N$ 重縮退である。

角運動量演算子

$$\hat x=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(\hat a_x+\hat a_x^\dagger),\qquad \hat p_x=-i\sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}}(\hat a_x-\hat a_x^\dagger)$$ および $y$ 方向の同様の式を用いると $$\hat l_z =i\hbar(\hat a_y^\dagger\hat a_x-\hat a_x^\dagger\hat a_y).$$ $\hat H$ は等方的で $x,y$ の回転に対して不変なので保存量である。直接には、交換関係を用いて $$[\hat H,\hat l_z]=0$$ を確かめればよい。

交換関係による固有値の移動

$[\hat l_z,\hat A]=\alpha \hat A$ とし、$\hat l_z\ket{l_z}=l_z\ket{l_z}$ なら $$\hat l_z(\hat A\ket{l_z}) =(\hat A\hat l_z+[\hat l_z,\hat A])\ket{l_z} =(l_z+\alpha)\hat A\ket{l_z}.$$ したがって $\hat A\ket{l_z}\neq0$ であれば、角運動量固有値は $\alpha$ だけ移る。

円偏光型の生成消滅演算子

$$[\hat l_z,\hat a_x^\dagger]=i\hbar\hat a_y^\dagger,\qquad [\hat l_z,\hat a_y^\dagger]=-i\hbar\hat a_x^\dagger.$$ $\hat b^\dagger=C\hat a_x^\dagger+D\hat a_y^\dagger$ が $[\hat l_z,\hat b^\dagger]=\alpha\hat b^\dagger$ を満たすには $$-i\hbar D=\alpha C,\qquad i\hbar C=\alpha D$$ である。規格化と $C\ge0$ より $$\hat b_1^\dagger=\frac{\hat a_x^\dagger+i\hat a_y^\dagger}{\sqrt2}, \quad \alpha=+\hbar, \qquad \hat b_2^\dagger=\frac{\hat a_x^\dagger-i\hat a_y^\dagger}{\sqrt2}, \quad \alpha=-\hbar.$$ 対応する消滅演算子は $$\hat b_1=\frac{\hat a_x-i\hat a_y}{\sqrt2},\qquad \hat b_2=\frac{\hat a_x+i\hat a_y}{\sqrt2}.$$ この変換はユニタリーなので $$[\hat b_1,\hat b_1^\dagger]=[\hat b_2,\hat b_2^\dagger]=1,\qquad [\hat b_1,\hat b_2^\dagger]=[\hat b_2,\hat b_1^\dagger]=0.$$

$\hat H$ と $\hat l_z$ の同時対角化

逆変換を代入すると $$\hat H=\hbar\omega(\hat b_1^\dagger\hat b_1+\hat b_2^\dagger\hat b_2+1),$$ $$\hat l_z=\hbar(\hat b_1^\dagger\hat b_1-\hat b_2^\dagger\hat b_2).$$ よって同時固有状態を $\ket{n_1,n_2}$ とすれば $$E=\hbar\omega(n_1+n_2+1),\qquad l_z=\hbar(n_1-n_2).$$ $N$ 番目のエネルギー準位では $n_1+n_2=N-1$ なので $$l_z=(N-1)\hbar,\ (N-3)\hbar,\ \ldots,\ -(N-3)\hbar,\ -(N-1)\hbar$$ がすべての値である。

スピン軌道相互作用

スピン成分を $\sigma_z=\pm1$ とすると $$\hat H_{\mathrm{tot}} =\hbar\omega(\hat n_1+\hat n_2+1) +\lambda\hbar(\hat n_1-\hat n_2)\sigma_z.$$ したがって $$E_{n_1,n_2,\sigma_z} =\hbar\omega(n_1+n_2+1)+\lambda\hbar(n_1-n_2)\sigma_z, \qquad n_1,n_2=0,1,2,\ldots,\ \sigma_z=\pm1.$$