東大 工学系研究科 物理工学専攻 物理学 2020年度 院試 解答例・解説

固定端条件が作る正弦波

両端が壁につながれているため、仮想的に $x_0=x_{N+1}=0$ と置ける。この境界条件を自然に満たす基底が $\sin(q_\ell n)$ であり、自由端の場合の余弦型とは異なる。

静的応答の意味

$\alpha_\ell/\beta_\ell=1/\lambda_\ell$ は、外力が各基準振動をどれだけ変位として励起しやすいかを表す。最も波長の長い $\ell=1$ モードは復元力が最も弱いため、系の長さが伸びるほど応答が $N^2$ で大きくなる。

オンサイト項の検算

$k_0>0$ は各質点を元の位置へ引き戻す局所的なばねである。したがって長波長極限でも復元力が消えず、分散は原点から始まらず $\sqrt{k_0/m}$ のギャップを持つ。

通常光と異常光

$x$ 偏光は誘電率 $\varepsilon_1$ だけを見るため、波数もエネルギー流も通常の等方媒質のように扱える。これが通常光である。$yz$ 偏光は $\varepsilon_1,\varepsilon_2$ の両方を含むため、波面法線とエネルギー流の向きがずれる。

符号の検算

$\varepsilon_1>\varepsilon_2$ かつ $0<\theta<\pi/2$ なので $\tan\alpha>0$ である。つまり異常光は、結晶軸から測った角度が波数ベクトルより大きい側へ曲がる。ここを逆にすると二重像のずれ方向も反対になってしまう。

Langmuir型になる理由

各サイトが独立で、1つのサイトに高々1個だけ吸着できるため、吸着密度はフェルミ分布に似た形になる。ただし全体系はボルツマン統計で、排他性は吸着サイトの局所的な制約として入っている。

グラフの読み方

一定温度では $K(T)$ が定数なので、低圧で $n_a\simeq KP$ と線形に増え、高圧で $n_a\to1$ に飽和する。一定圧力では $T$ が上がるほど熱的波長の寄与と $e^{\varepsilon/(k_BT)}$ の寄与がともに小さくなり、吸着密度は単調に下がる。

円運動の基底を作る

$\hat a_x^\dagger,\hat a_y^\dagger$ は直交座標方向の量子を1つ増やす演算子である。これを $\hat a_x^\dagger\pm i\hat a_y^\dagger$ と組み合わせると、回転に対して固有の変換をする円運動の基底になる。角運動量の固有値が一気に読めるのはこのためである。

縮退の分裂

等方振動子では $n_1+n_2$ だけでエネルギーが決まり、同じ和を持つ状態が縮退する。スピン軌道相互作用は $n_1-n_2$ とスピンの積を見るため、同じエネルギー殻の中で角運動量に応じた分裂を起こす。