都立大 理学研究科 物理学専攻 物理 2026年夏季 院試 解答例・解説

方針

この問題の要点は、A と B が一本の伸びない糸でつながっているため、A の鉛直運動と B の動径運動が同じ自由度で表されることである。$z$ と $r$ を独立に扱うとエネルギーを二重に数えたり、張力の消去で符号を誤ったりしやすい。

張力と拘束の符号

A の座標 $z$ は上向きを正に取っている。A は小孔の下にあるので $z$ 自体は負であり得るが、運動方程式では座標値の正負ではなく力の向きだけを見ればよい。張力は上向き、重力は下向きなので $m\ddot z=T-mg$ である。

B の動径方程式では、加速度の動径成分が $\ddot r-r\dot\theta^2$ である点を必ず書く。遠心力という言葉で考えるなら、慣性系の式 $$m\ddot r=mr\dot\theta^2-T$$ と同じ内容である。

有効ポテンシャルによる検算

角運動量を用いると $$E=m\dot r^2+\underbrace{\frac{L^2}{2mr^2}+mgr}_{U_{\mathrm{eff}}(r)}$$ となる。$U_{\mathrm{eff}}(r)$ は $r\to0$ で発散し、$r\to\infty$ で $mgr$ により発散するので、有限の二つの転回点の間で周期運動することが分かる。初期点 $r=a$ は $\dot r=0$ なので必ず転回点の一つであり、この事実を使うと三次方程式の因数分解が安定する。

典型ミス

エネルギーの動径運動エネルギーを $\frac12m\dot r^2$ としてしまう誤りが多い。A と B の両方が同じ $\dot r$ で動くため、動径に対応する運動エネルギーは $$\frac12m\dot r^2+\frac12m\dot r^2=m\dot r^2$$ である。また、重力ポテンシャルは定数を除いて $mgr$ であり、$-mgr$ ではない。$r$ が増えると A は上に上がるため、重力ポテンシャルは増加する。

答案で書くべき点

試験答案では、(i) 糸の拘束 $r-z=\ell$、(ii) 極座標の動径加速度、(iii) 中心力による角運動量保存、(iv) エネルギー保存から転回点を求める流れを明示する。最後の差は、どちらが最大かが $v_0^2$ と $ag$ の大小で変わるため、絶対値で書くのが安全である。特に $v_0^2=ag$ では二つの転回点が一致し、差は $0$ になる。

方針

前半は円筒対称性だけで決まる。磁場はアンペールの法則、電場は円筒コンデンサーの電位差から求める。後半は、球対称または軸対称なベクトル場を球座標で処理する問題であり、直交座標で成分計算を始めるよりも発散・勾配の標準公式を使う方が安定する。

ポインティングベクトルの向き

導体間では $\boldsymbol E$ は内側導体から外側導体へ向かう半径方向、$\boldsymbol H$ は電流を取り巻く周方向である。したがって $\boldsymbol E\times\boldsymbol H$ は $+z$ 方向を向く。断面積分が $VI$ になることは、電磁場が導体間の空間を通って電力を運んでいるという物理的な検算になっている。

点電荷の発散

$\nabla\cdot(\boldsymbol r/r^3)=0$ は $r\ne0$ での式である。点電荷の問題では、原点を含む領域に対しては発散のデルタ関数を忘れてはいけない。答案では「原点以外では $0$、分布としては $q\delta^{(3)}(\boldsymbol r)/\varepsilon_0$」と書くと、局所計算とガウスの法則の両方を押さえられる。

磁位の符号

磁位では $$\frac{\partial}{\partial z}\frac1r=-\frac{z}{r^3}$$ の符号が重要である。ここを誤ると $H_r$ と $H_\theta$ の符号がともに反転する。さらに $H_\theta$ には球座標の係数 $1/r$ が入るため、$r^{-3}$ 依存になることも確認しておく。

答案で書くべき点

同軸導体では、点 $(x,0,0)$ で $\hat{\boldsymbol\rho}=\hat{\boldsymbol x}$、$\hat{\boldsymbol\phi}=\hat{\boldsymbol y}$ であることを一言添えると成分の符号が明確になる。磁化球では、$H_r$、$H_\theta$、$H_\phi$ を求めたあと、赤道で $H_\theta=M/3$ だけが残ることを使えば、有効数字 2 桁の数値まで迷わず出せる。

方針

問1はガウス波束のフーリエ変換であり、位置幅が広いほど運動量幅が狭くなることを確認する問題である。問2は二次元調和振動子の縮退した第一励起状態を、角運動量の固有状態に組み替える問題である。

フーリエ変換の規格化

この問題ではフーリエ変換に $1/\sqrt{2\pi\hbar}$ が入っている。ここを通常の数学の $1/\sqrt{2\pi}$ と混同すると、$\widetilde\phi(p)$ の前係数に $\hbar$ が足りなくなる。検算として $$\int_{-\infty}^{\infty}|\widetilde\phi(p)|^2\,dp=1$$ を確認するとよい。

不確定性の検算

位置分布は $$|\phi(x)|^2=\frac1{\sqrt\pi\lambda}e^{-x^2/\lambda^2}$$ なので $$\Delta x=\frac{\lambda}{\sqrt2}.$$ したがって $$\Delta x\,\Delta p = \frac{\lambda}{\sqrt2}\frac{\hbar}{\sqrt2\lambda} = \frac{\hbar}{2}$$ となり、最小不確定性波束であることが分かる。これは $\Delta p$ の係数のよい検算になる。

角運動量の符号

$q_x-iq_y=re^{-i\theta}$ であるから、角運動量固有値は $-\hbar$ である。$q_x+iq_y$ なら $+\hbar$ になる。第一励起状態の線形結合に付いた $-i$ の符号を落とすと、ここが反対になる。

答案で書くべき点

調和振動子では、まず $\hat h_\mu=\hbar\omega(\hat n_\mu+1/2)$ を示し、そのあと座標表示で $\hat a_\mu^\dagger$ を基底状態に作用させると答案が短くまとまる。最後の概形図では、振幅が原点で消えること、有限の半径で最大になること、位相が一周で $-2\pi$ 巻くことを言葉でも補うと十分である。

方針

問1は、ハミルトニアンを固有状態基底で対角化してからカノニカル分布を作る。問2は、運動量積分と位置積分が分離するため、それぞれ 1 粒子の平均を計算して最後に $N$ 倍すればよい。

縮退とエントロピー

$T=0$ のエントロピーで $0$ と答えたくなるが、この系では最低エネルギーが 2 重縮退している。カノニカル分布の $\beta\to\infty$ 極限では、その 2 状態が等確率に残るため、1 系あたり $k_B\log2$ の残留エントロピーが出る。

演算子平均の注意

$|a\rangle$ はエネルギー固有状態ではない。したがって $\hat A=|a\rangle\langle a|$ の平均は、エネルギー固有状態における重み $$\langle n|\hat A|n\rangle$$ を計算してからボルツマン重みを掛ける必要がある。縮退した $-\Delta$ の部分空間があるが、$e^{-\beta\hat H}$ はその部分空間で単位演算子に比例するので、正規直交基底の取り方に物理量は依存しない。

四次ポテンシャルの検算

一般化されたビリアル定理を使うと、$V(x)=cx^4$ では $$\left\langle x\frac{dV}{dx}\right\rangle = 4\langle V\rangle = k_BT$$ となる。したがって $\langle V\rangle=k_BT/4$ であり、ガンマ関数による計算結果と一致する。運動エネルギーは通常の等分配則により 1 自由度あたり $k_BT/2$ である。

概形選択の理由

四次ポテンシャルでは典型的な位置の大きさは $$\beta c x^4\sim1 \quad\Rightarrow\quad x^2\sim(\beta c)^{-1/2}\propto T^{1/2}$$ で見積もれる。調和ポテンシャルの $T$ 依存より遅く増えるため、直線より下側に曲がる概形を選ぶ。図の記号だけを書くのではなく、$\langle x_i^2\rangle\propto T^{1/2}$ を示してから (d) と結論するのが答案として強い。

答案で書くべき点

統計力学の答案では、平均が 1 粒子あたりなのか全体なのかを明記する。ここでは $N$ 粒子系なので、途中で 1 粒子平均を出し、最後に $N$ 倍した全エネルギーも書いた。図選択では、定量式を出せなくても $\beta c x^4\sim1$ のスケーリングを示せば、正しい概形を十分に説明できる。