都立大 理学研究科 物理学専攻 物理 2026年冬季 院試 解答例・解説

方針

前半は異方的な調和振動子であり、各座標の運動を先に解いてから時刻を消去する。角運動量保存の判定では、運動方程式を解くよりも $\dot{L}_z=(\vec{r}\times\vec{F})_z$ を直接見る方が早い。後半は保存力条件と、結合した2本の線形方程式の対角化が要点である。

検算

1-1 の軌跡式に $x=A$ を入れると $y=A$、$x=0$ を入れると $y=-A$、$x=-A$ を入れると $y=A$ となり、時間発展の代表点と一致する。また $x$ の周期は $2\pi/\Omega$、$y$ の周期は $\pi/\Omega$ なので、位置と速度が同時に初期値へ戻る最小時刻は $2\pi/\Omega$ である。

典型ミス

1-1 を楕円やリサージュ曲線の閉じた輪として描くと誤りである。この初期条件では $y$ が $x$ の一価関数になり、同じ放物線を往復する。1-2 では、特定の初期条件でたまたま $xy=0$ になる場合ではなく、任意の初期条件で保存する条件を問われているため、$1-\alpha=0$ まで言い切る必要がある。

答案で書くべき点

保存力の判定では、単に「ポテンシャルが存在する」と書くだけでなく、 $\partial F_x/\partial y=\partial F_y/\partial x$ を計算して $\alpha=1$ を出すこと。一般解では $x,y$ を直接解くより、$x+y$ と $x-y$ に分けたことを示すと、振動解と指数的解の両方を落としにくい。

方針

1-1 は円電流の軸上磁界をビオ・サバールの法則から出す。1-3 は球面を緯度方向の細い円電流の重ね合わせとして扱う。帯の電荷、帯の電流、円電流が中心につくる磁界、という順に分けると計算が安定する。

検算

円電流の結果は $x=0$ で $H=I/(2r)$ になり、中心での既知の値と一致する。また $x\gg r$ では $H\simeq Ir^2/(2x^3)$ となり、遠方で磁気双極子的に $x^{-3}$ で減衰する。

回転球の答えは $\sigma\omega a$ の次元を持つ。$\sigma$ は $\mathrm{C/m^2}$、$\omega a$ は $\mathrm{m/s}$ なので $\sigma\omega a$ は $\mathrm{A/m}$ となり、$\vec{H}$ の次元に合う。

典型ミス

帯の面積を $2\pi a^2\,d\theta$ として $\sin\theta$ を落とすミスが多い。一方で、帯がつくる電流 $dI$ にさらに周長を掛けてしまうのも誤りである。電流は「1周期あたりに断面を通過する電荷」なので $dI=dq\,\omega/(2\pi)$ だけでよい。

答案で書くべき点

向きは最後に「右ねじの向き」と書くだけでなく、正電荷が角速度ベクトルの向きに対応する円電流を作るため、全ての帯の寄与が $\vec{\omega}$ 方向にそろうことを明記する。問題で磁界 $\vec{H}$ と磁束密度 $\vec{B}$ のどちらを採点対象にしているか曖昧な場合は、$\vec{B}=\mu_0\vec{H}$ の関係を併記するとよい。

方針

この問題の中心は、ガウス試行関数の幅 $\alpha$ を変分パラメータとして、エネルギー期待値を最小化することである。運動エネルギーは $\psi'=-\alpha x\psi$ を使うと一行で計算でき、$\alpha_{\min}$ は極小条件を $\lambda$ の1次まで展開して求める。

検算

$\lambda=0$ で $$\alpha_{\min}=\frac{m\omega}{\hbar},\qquad E=\frac{\hbar\omega}{2}$$ となり、調和振動子の厳密な基底状態と基底エネルギーに一致する。また $\lambda>0$ ではポテンシャルが硬くなるため、波動関数は狭くなり $\alpha_{\min}$ は増加する。求めた $\alpha_1>0$ はこの物理的予想と合う。

典型ミス

極小条件の式で $3\lambda/(4\alpha^2)$ を微分すると $-3\lambda/(2\alpha^3)$ になる。この係数を半分にしてしまうと $\alpha_1$ がずれる。また、$E(\alpha_{\min})$ を1次まで求める際に、$\alpha_{\min}$ の1次補正を調和振動子部分へ代入して余分な1次項を作るのも誤りである。停留条件により、その寄与は $O(\lambda^2)$ から始まる。

答案で書くべき点

摂動論との一致を示すには、「$\psi_{\alpha_0}$ が無摂動基底状態である」ことと、 $\langle x^4\rangle_{\alpha_0}=3/(4\alpha_0^2)$ を明記すれば十分である。単に最終エネルギーが同じと書くだけでなく、1次摂動の公式 $E^{(1)}=\langle 0|\lambda x^4|0\rangle$ に対応していることを示すと答案として強い。

方針

前半は自由粒子の状態数を運動量空間の体積で数える問題である。スピン $1/2$ なので縮退度2を必ず掛ける。感受率は、絶対零度ではフェルミ面での状態密度、有限温度では粒子数揺らぎに対応する。後半はギブス・デュエム関係と圧縮率の定義を、密度 $n=N/V$ を介して結びつける。

検算

状態密度は3次元では $\sqrt{\varepsilon}$ に比例する。これは $p$ 空間の状態数が $p^3$ に比例し、$\varepsilon\propto p^2$ であるため、累積状態数が $\varepsilon^{3/2}$、その微分が $\varepsilon^{1/2}$ になることからも確認できる。

有限温度の式 $$\chi=\beta\mathrm{Var}(N)$$ は、安定な系で $\mathrm{Var}(N)\ge0$ だから $\chi\ge0$ となる。圧縮率も安定な系では正なので、熱力学的な式の右辺 $V/(N^2\kappa)$ も正になり、化学ポテンシャルが粒子数とともに増加することと整合する。

典型ミス

状態密度でスピン縮退度2を落とすと全体が半分になる。また、有限温度の感受率で $\langle N^2\rangle-\langle N\rangle$ と書いてしまう誤りがあるが、必要なのは分散 $\langle N^2\rangle-\langle N\rangle^2$ である。

答案で書くべき点

問2では、$P$ が $N,V$ に独立に依存するのではなく、固定温度では密度 $n=N/V$ を通して依存することを書く必要がある。この一文がないと、 $(\partial P/\partial N)_{T,V}$ と圧縮率の関係が飛躍して見える。ギブス・デュエムからは $d\mu=(V/N)dP$ を使い、最後に $(\partial P/\partial N)_{T,V}=1/(N\kappa)$ を示せばよい。