都立大 理学研究科 物理学専攻 物理 2024年冬季 院試 解答例・解説

検算

問1では $E_0$ が $1$、$E_1$ が一次式、$E_2$ が二次式になっており、母関数の係数として次数がそろっている。問2では $$A\begin{pmatrix}4\\2\\5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}28\\14\\35\end{pmatrix} = 7\begin{pmatrix}4\\2\\5\end{pmatrix}$$ となるので固有ベクトルの確認ができる。問3では $1/(2\pi i)$ が前に付いているため、答えは積分値そのものではなく留数である。

典型ミス

問1で $E_2(x)$ を求めるとき、$(\log F)''$ の項を落とすと余分な定数 $1/4$ が残る。問2では行列が対称でないので、直交固有ベクトルを仮定しない。問3では時計回りと取り違えると符号が反転するが、本問の向きは反時計回りである。

試験答案で書くべき点

母関数では「$E_k(x)=F^{(k)}(0)$」という対応を明記する。固有値問題では特性多項式の因数分解と、最大固有値の固有ベクトルを長さ1に規格化する計算を省かない。複素積分では Laurent 展開の $z^{-1}$ 係数を示してから留数定理に接続する。

検算

加速度は $$\ddot x=\frac{2}{3}g\sin\theta$$ で、摩擦のない質点の $g\sin\theta$ より小さい。重力の一部が回転エネルギーに回るため、この大小関係は自然である。また、エネルギーの和 $MgL\sin\theta$ は長さ $L$ に比例し、エネルギーの次元を持つ。

典型ミス

摩擦力の向きを斜面下向きにしてしまうと、円板に転がりを作るトルクが得られない。本問の静止摩擦は斜面上向きに働き、並進加速度を小さくする。問3では静止摩擦があるからといって機械的エネルギーが失われるわけではない。滑らない転がりでは接触点が瞬間的に静止しているため、静止摩擦は仕事をしない。

試験答案で書くべき点

運動方程式 $M\ddot x=Mg\sin\theta-f$、回転の式 $I\alpha=fa$、拘束条件 $\ddot x=a\alpha$ の3本をそろえて書く。最後の摩擦条件では、必要摩擦力 $f$ と最大静止摩擦力 $\mu Mg\cos\theta$ を比較してから $\tan\beta$ を出す。

検算

$k\to0$ とすると $\phi=A/r$ となり、電場は $A/r^2$ になる。このとき原点以外の電荷密度は0となり、通常の点電荷ポテンシャルに戻る。全体では原点の正電荷 $q$ と周囲の電荷 $-q$ が打ち消し、無限遠で十分速く減衰するポテンシャルと整合する。

典型ミス

$\nabla^2(1/r)$ のデルタ関数を問3の $r>0$ の計算に混ぜないこと。原点の点電荷は問2で別に取り出す。また、$\rho$ の符号は Poisson 方程式 $\nabla^2\phi=-\rho/\varepsilon_0$ から決まり、負になる。

試験答案で書くべき点

問1では $\boldsymbol E=-\nabla\phi$ から動径成分を求める。問2では球面積分 $4\pi R^2E(R)$ を明示してから $R\to0$ を取る。問4では $4\pi r^2dr$ を忘れず、$\int_0^\infty re^{-kr}dr=1/k^2$ まで示すとよい。

検算

基底状態の波動関数は $x=0$ を中心とする偶関数であるため、$\langle x\rangle=0$ になることと整合する。また、指数の係数 $m\omega/\hbar$ は $1/\text{長さ}^2$ の次元を持つので、指数全体は無次元である。

典型ミス

$\hat{a}$ の座標表示で $i\hat{p}$ を代入するとき、$i(-i\hbar)=+\hbar$ になる点を落としやすい。また、$[\hat{N},\hat{a}]$ は $+\hat{a}$ ではなく $-\hat{a}$ であり、$\hat{a}$ は固有値を下げる演算子である。

試験答案で書くべき点

問1は任意の $\psi(x)$ に作用させて計算すると減点されにくい。問4では固有値が下がる式だけでなく、$\lambda\ge1$ で $\hat{a}|\lambda\rangle$ が零ベクトルでないことをノルムで示すと答案として強い。

検算

張力が $X=AT$ と温度に比例するため、温度一定で伸ばしたときの自由エネルギー増加は $AT\,dL$ である。一方、エントロピー変化は $-A\,dL$ なので、$F+TS$ では2つが打ち消し、内部エネルギーが $L$ に依らないという結果が確認できる。

典型ミス

通常の気体の $dU=T\,dS-p\,dV$ の符号をそのまま持ち込むと、本問では符号を誤る。ここでは問題文の仕事の定義に合わせて $dU=T\,dS+X\,dL$ と書く。また、断熱を単に $dT=0$ としないこと。断熱可逆では $dS=0$ であり、そこから温度変化を求める。

試験答案で書くべき点

問3では Maxwell 関係を、問5では $$C_L=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_L$$ を明示して符号を判定する。最後は正負だけでなく、$\left(\frac{\partial T}{\partial L}\right)_S=AT/C_L$ まで書くと説得力がある。