都立大 理学研究科 物理学専攻 物理 2025年冬季 院試 解答例・解説

方針

問1は、固有値を特性方程式から出し、回転行列の列ベクトルがどの固有方向を向くかで $\theta$ を決める。問2は $f$ が $r$ だけの関数であることを使う。問3は指定された半角置換を使えば、積分が $\int du/u$ に落ちる。

途中式の要点

対角化では $U^{-1}=U^T$ であることだけでなく、$U$ の第1列が $\lambda_1$ の固有ベクトルであることを明示する。ラプラシアンでは $\nabla f=\vec r/r^2$ まで出してから発散を取ると、各成分の符号を追いやすい。

検算

固有値の和は $5+1=6=\operatorname{tr}M$、積は $5\cdot1=5=\det M$ で、特性方程式と一致する。また $M(\sqrt3/2,1/2)^T=5(\sqrt3/2,1/2)^T$ なので $\theta=\pi/6$ は確かに条件を満たす。積分結果は微分すると $$\frac{d}{dx}\log\left|\tan\frac{x}{2}\right| = \frac1{\sin x}$$ となる。

典型ミス

$\theta=\pi/6$ だけを書いて、反対向きの固有ベクトルに対応する $\theta=7\pi/6$ を落としやすい。また $\log r$ のラプラシアンは2次元では $r\ne0$ で $0$ だが、この問題は3次元なので $1/r^2$ である。積分では絶対値と積分定数を忘れない。

試験答案で書くべき点

特性多項式、固有方向、$\theta$ の範囲確認を順に書く。微分では $r>0$ の条件を添え、積分では置換後の $dx$ と $\sin x$ を両方示すと、計算過程の要求に十分応えられる。

方針

板の運動は外力としてばねの自然長との差に入る。まず静的なずれを避けるため $y=x-\ell$ に移し、非共鳴の強制振動を解いてから $w\to\omega_0$ の極限を取る。

途中式の要点

最も重要なのは力の符号である。伸びが $x-X-\ell$ なので、質点を左向きへ戻す力は $-k(x-X-\ell)$ である。非共鳴解では、強制振動の特解だけでなく、初期条件を満たすための固有振動項 $- (w/\omega_0)\sin\omega_0t$ が残る。

検算

$A=0$ とすると $x(t)=\ell$ になり、初期位置で静止し続ける。非共鳴解を $t=0$ に代入すると $x(0)=\ell$、微分して $t=0$ を代入すると $\dot{x}(0)=0$ である。共鳴解の支配項は $-A\omega_0 t\cos\omega_0t/2$ なので、減衰のない共鳴として振幅が時間に比例して増大する。

典型ミス

$X(t)$ を直接 $x(t)$ に足すだけにして、ばねの自然長 $\ell$ を力の式から落とすミスが多い。また、共鳴で単に分母を $0$ にして「発散」と書くのではなく、極限を取って $t\cos\omega_0t$ の項を導く必要がある。

試験答案で書くべき点

運動方程式、変数 $y=x-\ell$、非共鳴解の係数決定、共鳴極限の計算を順に示す。概略図では、細かい位相よりも「振動しながら包絡線が線形に広がる」ことが伝わるように描けばよい。

方針

静電場は $\vec E=-\nabla\phi$ から $z$ 成分を直接微分する。誘導電荷は境界条件で面密度に直し、円環要素 $2\pi\rho\,d\rho$ で積分する。磁場は同軸対称なのでアンペールの法則だけで決まる。

途中式の要点

鏡像電荷の項を微分するとき、$-1/R_+$ の符号と $z+h$ の符号を同時に追う。磁場では、円筒導線内部のアンペール経路が内側の円柱電流も囲んでいる点が重要である。

検算

誘導電荷の総量が $-q$ になるのは、接地無限導体に対する鏡像電荷法の結果と一致する。磁場の式は $r=0$ で有限かつ $B=0$ になり、円柱表面 $r=a$ で $\mu_0I/(2\pi a)$ となる。円筒内部では $21a^2-4r^2=0$ で向きが反転するため、大きさには絶対値が必要である。

典型ミス

表面上の $r$ を3次元距離のまま扱うと、面積要素を誤る。ここでは表面内の半径を $\rho$ として積分するのが安全である。また、円筒導線の断面積を $\pi(3a)^2$ としてしまうと電流密度が誤る。

試験答案で書くべき点

静電場では $E_z=-\partial\phi/\partial z$、表面での符号、面密度から総電荷への積分を省略せずに書く。磁場では、領域ごとの包絡電流 $I_{\mathrm{enc}}$ を明示すれば、アンペールの法則の適用が読み手に伝わる。

方針

電子を波として扱い、二つのスリットからの波動関数を足し合わせる。観測される強度に相当する量は振幅ではなく $|\psi|^2$ なので、干渉項 $\cos k(r_1-r_2)$ を取り出すのが中心である。

途中式の要点

距離の近似では、平方根を $$\sqrt{L^2+\delta^2} = L\sqrt{1+\delta^2/L^2} \simeq L+\frac{\delta^2}{2L}$$ まで展開する。$r_1-r_2$ では $y^2$ と $a^2/4$ が消え、一次の $ay$ だけが残る。

検算

$y=0$ では $r_1=r_2$ なので中央は明線になる。近似式でも $r_1-r_2\simeq0$ である。また $k=2\pi/\lambda$ と書けば明線間隔は $\lambda L/a$ となり、通常の二重スリットの式と一致する。

典型ミス

振幅を足さずに確率を先に足してしまうと、干渉項が消えて縞が出ない。もう一つのミスは、位相差を $k(r_1+r_2)$ とすることである。干渉を決めるのは二経路の差 $r_1-r_2$ である。

試験答案で書くべき点

現象名、位相差、波動関数の重ね合わせ、二乗による確率、距離差の近似、明線条件をこの順に書く。スリットの上下の取り方で $r_1-r_2$ の符号が逆になっても、明線間隔は同じであることを理解しておく。

方針

この問題は、組合せ数からエントロピーを作り、エネルギー変数に変換して温度の定義を使う流れで解く。二準位の縮退は与えられていないので、配置数は単純な二項係数になる。

途中式の要点

スターリング近似では、$-N+N_1+N_2=0$ が消えること、さらに $\log N$ の項も $n_1+(1-n_1)=1$ により消えることを示すとよい。問5では $U=N\epsilon\Delta$ なので、$\partial/\partial U$ を $\partial/\partial\epsilon$ に直す係数 $1/(N\Delta)$ を落とさない。

検算

正の温度では $\Delta/(k_BT)>0$ なので $\epsilon<0$ となる。低いエネルギー $-\Delta$ の状態が多く占有されるという物理的直観と一致する。高温極限 $T\to\infty$ では $\epsilon\to0$ となり、二つの状態がほぼ等確率になる。

典型ミス

状態1のエネルギーが $+\Delta$、状態2が $-\Delta$ であるため、$\epsilon=2n_1-1$ の符号を逆にしやすい。ここを逆にすると最後の $\tanh$ の符号も逆になる。また、$S=k_B W$ ではなく $S=k_B\log W$ である。

試験答案で書くべき点

配置数 $W$、スターリング近似後の整理、$\epsilon$ と $n_1$ の対応、温度定義による微分を順に書く。最後の式だけでなく、$\log\{(1+\epsilon)/(1-\epsilon)\}$ が出る途中式を残すと符号の根拠が明確になる。