東大 工学系研究科 物理工学専攻 物理学 2021年度 院試 過去問 解答例・解説

[1] 時間発展演算子

ハミルトニアンが時間に依存しないとき、シュレーディンガー方程式 $$i\hbar \frac{d}{dt}\ket{\psi(t)}=\hat H\ket{\psi(t)}$$ の解は、初期時刻 $t_0$ に対して $$\ket{\psi(t)}=\hat U(t-t_0)\ket{\psi(t_0)},\qquad \hat U(t-t_0)=\exp\!\left(-\frac{i}{\hbar}\hat H (t-t_0)\right)$$ で与えられる（$\hat U(0)=\hat I$ を満たす）。

[2] $\hat U$ のユニタリ性

$\hat H^\dagger=\hat H$ より $$\hat U(t-t_0)^\dagger =\exp\!\left(+\frac{i}{\hbar}\hat H (t-t_0)\right).$$ $\hat H$ は自分自身と可換なので指数の性質から $$\hat U^\dagger \hat U =\exp\!\left(+\frac{i}{\hbar}\hat H\Delta t\right) \exp\!\left(-\frac{i}{\hbar}\hat H\Delta t\right) =\hat I$$ であり、$\hat U$ はユニタリーである（同様に $\hat U\hat U^\dagger=\hat I$）。

[3] ノルム保存

$[2]$ より $$\braket{\psi(t)|\psi(t)} =\bra{\psi(t_0)}\hat U^\dagger \hat U\ket{\psi(t_0)} =\braket{\psi(t_0)|\psi(t_0)}$$ で、内積（ノルム）は時間に依存しない。

以降は $t_0=0,\ t=\tau$ とする

[4] $\hat H=a\hat\sigma_z$ のとき

$\hat\sigma_z$ の固有値は $\pm 1$ なので $$\hat U(\tau)=\exp\!\left(-\frac{i}{\hbar}a\tau \hat\sigma_z\right) =\begin{pmatrix} e^{-i a\tau/\hbar} & 0\\ 0 & e^{+i a\tau/\hbar} \end{pmatrix}.$$

[5] 位相シフト $\mathrm{diag}(1,e^{i\varphi})$ を与える $\hat H$

対角行列 $\hat H=\mathrm{diag}(E_0,E_1)$ なら $\hat U(\tau)=\mathrm{diag}(e^{-iE_0\tau/\hbar},e^{-iE_1\tau/\hbar})$ である。 $\hat U(\tau)=\mathrm{diag}(1,e^{i\varphi})$ を満たす一例として $$\hat H= \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & -\hbar\varphi/\tau \end{pmatrix}$$ を取ればよい。

[6] NOT 変換 $\hat U_{\mathrm{NOT}}=\hat\sigma_x$ を与える $\hat H$

$\hat\sigma_x$ はユニタリーかつエルミートで $\hat\sigma_x^2=\hat I$ を満たす。 したがって $$\hat U(\tau) =\exp\!\left(-\frac{i}{\hbar}\hat H\tau\right) =\hat\sigma_x$$ となる $\hat H$ の一例は $$\hat H=\frac{\pi\hbar}{2\tau}\,(\hat I-\hat\sigma_x) =\frac{\pi\hbar}{2\tau} \begin{pmatrix} 1 & -1\\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ である（固有値が $0,\ \pi\hbar/\tau$ となり、指数を取ると $+1,-1$ を与える）。

[7] $\hat H=a(\boldsymbol n\cdot\hat{\boldsymbol\sigma})+b\hat I$ のとき

$\boldsymbol n=(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta)$ とおくと $\boldsymbol n\cdot\hat{\boldsymbol\sigma}=n_x\hat\sigma_x+n_y\hat\sigma_y+n_z\hat\sigma_z$ は $(\boldsymbol n\cdot\hat{\boldsymbol\sigma})^2=\hat I$ を満たす（$|\boldsymbol n|=1$ を用いる）。 さらに $\hat I$ は全てと可換なので $$\hat U(\tau) =e^{-ib\tau/\hbar}\exp\!\left(-\frac{i}{\hbar}a\tau(\boldsymbol n\cdot\hat{\boldsymbol\sigma})\right).$$ 指数関数をテイラー展開し、偶数次と奇数次に分けると $$\exp\!\left(-i\gamma(\boldsymbol n\cdot\hat{\boldsymbol\sigma})\right) =\hat I\cos\gamma-i(\boldsymbol n\cdot\hat{\boldsymbol\sigma})\sin\gamma, \qquad \gamma=\frac{a\tau}{\hbar}.$$ よって $$\hat U(\tau) =e^{-ib\tau/\hbar}\Bigl(\hat I\cos\gamma -i(\boldsymbol n\cdot\hat{\boldsymbol\sigma})\sin\gamma\Bigr).$$

[8] アダマール変換 $\hat U_H$ を与える $\hat H$

$\hat U_H$ はエルミートかつユニタリーで $\hat U_H^2=\hat I$ を満たす。 よって $[6]$ と同様に $$\hat H=\frac{\pi\hbar}{2\tau}\,(\hat I-\hat U_H) =\frac{\pi\hbar}{2\tau} \left( \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} \right)$$ とすれば $\exp\!\left(-\frac{i}{\hbar}\hat H\tau\right)=\hat U_H$ が成り立つ。

[9] 制御位相シフト $\hat U_{C-\varphi}$ を与える $\hat H$

$\hat U_{C-\varphi}=\mathrm{diag}(1,1,1,e^{i\varphi})$ を与える一例は $$\hat H=\mathrm{diag}\!\left(0,0,0,-\hbar\varphi/\tau\right)$$ である（$\hat U(\tau)=\exp(-i\hat H\tau/\hbar)=\hat U_{C-\varphi}$）。

[10] 制御 NOT $\hat U_{\mathrm{CNOT}}$ を与える $\hat H$

$\hat U_{\mathrm{CNOT}}$ は $\hat U_{\mathrm{CNOT}}^2=\hat I_4$ を満たす（エルミートかつユニタリー）。 したがって $[6]$ と同様に $$\hat H=\frac{\pi\hbar}{2\tau}\,(\hat I_4-\hat U_{\mathrm{CNOT}}) =\frac{\pi\hbar}{2\tau} \begin{pmatrix} 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&1&-1\\ 0&0&-1&1 \end{pmatrix}$$ とすれば $\exp\!\left(-\frac{i}{\hbar}\hat H\tau\right)=\hat U_{\mathrm{CNOT}}$ を与える。