東大 工学系研究科 物理工学専攻 物理学 2021年度 院試 解答例・解説

見通し

時間発展の本質は「エルミート演算子がユニタリーの生成子である」ことにある。$[1]$ は形式的解、$[2]$ はその帰結、$[3]$ は確率保存（ノルム保存）を意味する。

指数の扱い

$\hat H$ が時間に依存しないときのみ $\hat U(\Delta t)=e^{-i\hat H\Delta t/\hbar}$ と書ける。行列指数関数は対角化（固有値分解）で計算でき、$\hat U^2=\hat I$ を満たす（エルミートな）ゲートは固有値が $\pm 1$ なので、固有値 $+1$ を $e^{0}=1$、固有値 $-1$ を $e^{-i\pi}=-1$ に対応させる発想で $\hat H$ を作れる。

典型ミス

位相ゲートやアダマールの生成では、全体位相（$\hat H$ に $\propto \hat I$ を足すこと）を無視して良いかどうかを答案で曖昧にしないこと。設問が「$\hat U(\tau)=\cdots$」と等号で指定している場合は、全体位相込みで一致する $\hat H$ をひとつ提示するのが安全である。

押さえるべき対応

$\boldsymbol p^{(k)}$ は法線が $+x_k$ の面に作用する牽引（トラクション）で、成分は $\sigma_{jk}=p_j^{(k)}$ と同一視できる。従って $\boldsymbol p^{(2)}=\boldsymbol 0$ は $\sigma_{12}=\sigma_{22}=0$（この設定では $\sigma_{32}=0$ も自動的）という自由表面条件である。

位相整合の考え方

境界条件は「境界上の任意の $x_1$ と任意の時刻 $t$」で成立する必要がある。したがって、境界上の指数因子 $e^{i(k_1x_1-\omega t)}$ の形が一致しない項どうしは打ち消し合えない。この観察だけで $\omega$ の保存、$k_1$ の保存（スネル則の本質）が一気に出る。

なぜ $\alpha_t=\pi/4$ が特別か

横波は $\nabla\cdot\boldsymbol u=0$ なので、自由表面条件は実質的に $\sigma_{12}=\sigma_{22}=0$ の2本を同時に満たす必要がある。入射・反射の2つの振幅だけで2条件を満たせるのは、係数行列が特異になる（$\sin 2\alpha_t$ か $\cos 2\alpha_t$ がゼロになる）角度に限られ、$0<\alpha_t<\pi/2$ では $\alpha_t=\pi/4$ がそれに当たる。

計算の核

凝縮の有無は「$\mu=0$ としても励起状態に入れられる粒子数 $N_{\mathrm{ex}}(T)$ が有限かどうか」で決まる。低エネルギーでの状態密度 $D(\varepsilon)$ のべきが臨界挙動を支配し、3次元自由気体では $D(\varepsilon)\propto \varepsilon^{1/2}$ のため $N_{\mathrm{ex}}(T)\propto T^{3/2}$ が有限になる一方、2次元自由気体では $D(\varepsilon)$ が定数となり赤外発散が出る。

調和トラップの直感

箱では「体積 $L^3$」が状態数のスケールを与えるが、調和トラップではエネルギー殻の縮退度が増えるため $D(\varepsilon)\propto \varepsilon$ となり、2次元でも $N_{\mathrm{ex}}(T)\propto T^2$ が有限になって凝縮が可能になる。

どこが放射（$1/r$）か

双極子の時間変化が作る波（放射場）は、遠方で $E,B\propto 1/r$ となる成分である。スカラーポテンシャルの $1/r^2$ 成分は近接場で、遠方では寄与が落ちる。

横波になる理由

$-\nabla\phi$ と $-\partial_t\boldsymbol A$ の $\boldsymbol e_r$ 成分が遠方で相殺され、$\boldsymbol E$ が $\boldsymbol e_\theta$ のみになる。結果として $\boldsymbol B$ は $\boldsymbol e_\varphi$ 方向で、$\boldsymbol S$ は $\boldsymbol e_r$ 方向（放射は外向き）になる。

周波数混合

$\alpha(t)$ が振動すると $p(t)$ は入射周波数 $\omega_0$ の振幅変調になり、和周波・差周波 $\omega_0\pm\omega_v$ が現れる。散乱電場は $\ddot p$ に比例するため、強度は概ね各成分の $\omega^4$ スケールで重み付けされる。