熊本大 自然科学教育部 理学専攻 数学コース 数学 2026年度第1期 専門 院試 解答例・解説

方針

中心化群の問題では，共役が巡回置換の文字を置き換える操作であることを使う。今回の $\sigma$ は3本の互換の積なので，中心化群は「各組の中を入れ替える操作」と「3つの組そのものを入れ替える操作」からなる。

位数の検算

中心化群は構造的には $(C_2)^3\rtimes S_3$ と見られる。したがって位数は $$2^3\cdot 3! = 48$$ となり，共役類サイズから得た値と一致する。

シロー部分群の見つけ方

3の部分は，3つの組を巡回させる操作から出る。組の中の入れ替えだけでは2べき位数しか作れないため，$(1\,3\,5)(2\,4\,6)$ のように，組 $$\{1,2\}\to\{3,4\}\to\{5,6\}\to\{1,2\}$$ を保ちながら回す元を探すとよい。

正規性の書き方

正規性は「生成元が共役で生成元集合の中に戻る」と示すのが最短である。各互換がどれか別の互換へ移ることを書けば，生成された部分群全体が共役で保たれることが従う。 ただし，正規性を示す相手は $S_6$ 全体ではなく $Z_{S_6}(\sigma)$ である。中心化群の元だけが3つの組を組として保存するので，この限定を答案で落とさないようにする。

方針

トーラスは $S^1$ の直積なので，基本群も被覆空間も直積で考えるのが自然である。普遍被覆は円周の普遍被覆 $\mathbb{R}\to S^1$ を2本並べたものになる。

被覆空間の作り方

トーラスの被覆空間は，普遍被覆 $\mathbb{R}^2$ を $\mathbb{Z}^2$ の部分群で割ると作れる。今回の $S^1\times\mathbb{R}$ は，$\mathbb{R}^2$ を片方の整数平行移動だけで割ったものと見てもよい。

部分群との対応

連結被覆は，基点を固定すれば $\pi_1(S^1\times S^1)\simeq\mathbb{Z}^2$ の部分群と対応する。基本群が $\mathbb{Z}$ になる例を作りたいなら，部分群 $\mathbb{Z}\times\{0\}$ または $\{0\}\times\mathbb{Z}$ に対応する被覆を考えるのが自然である。

答案上の注意

「$\mathbb{R}^2$ からトーラスへ指数写像で写す」とだけ書くと，被覆性と単連結性の確認が抜けやすい。局所的に小さい弧の積へ同相に写ること，そして $\mathbb{R}^2$ が単連結であることを明記する。 第3問では「基本群が $\mathbb{Z}$ の空間」を答えるだけでは不十分で，それがトーラスへの被覆写像を持つことまで具体式で示す必要がある。

方針

分母の零点を調べてから留数を計算する。単位円上では $z^2/2$ を主項として，残りをルーシェの定理で評価するのが定石である。

ルーシェの使いどころ

評価で必要なのは $$|g(z)-z^2/2|<|z^2/2|$$ という厳密な不等式である。与えられた $e$ の評価により $e-5/2<1/2$ が出るため，境界上に余分な零点がないことも同時に保証される。

零点の個数の読み方

ルーシェの定理で数える零点は重複度込みである。$z^2/2$ は原点に2位の零点を持つので，$g$ も単位円内に合計2個の零点を持つ。問1で原点がすでに2位と分かっているため，これだけで他の零点が排除できる。

留数の検算

分母は2位の零点，分子は1位の零点を持つので，$f$ は単純極を持つ。主部の先頭だけ見れば $$\frac{z}{z^2/2}=\frac{2}{z}$$ であり，留数 $2$ はこの形からすぐ検算できる。 積分路の向きが反時計回りなので係数は $+2\pi i$ である。向きの確認を落とすと符号だけを誤る典型的な失点になる。

方針

可測性，ほとんど至る所収束，積分極限の3段階を順に確認する問題である。最後の積分極限は，有限測度集合上で有界関数に支配されるため，優収束定理を使う。

可測性の確認

合成関数の可測性は「開集合の逆像」を分解して示す。連続写像の逆像で開集合が開集合になり，可測関数の逆像でボレル集合が可測集合になる，という2段階である。

有限測度の役割

有界性だけでは，$\mathbb{R}^d$ 全体で支配関数 $M$ は可積分とは限らない。ここで $|E|<\infty$ があるため，$M\mathbf{1}_E$ が可積分になり，優収束定理を適用できる。

よくある誤り

$G$ が一様連続である必要はない。各点ごとの収束を $G$ の連続性で移すだけなので，点wiseな連続性で十分である。一方，積分極限では点wise収束だけでは不足し，有限測度集合上での有界支配を明記する必要がある。