熊本大 自然科学教育部 理学専攻 数学コース 数学 2026年度第1期 専門 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

$\rho\in S_6$ と巡回置換 $c=(k_1\,k_2\,\cdots\,k_r)$ を取る。任意の $j$ について $$\rho c\rho^{-1}\bigl(\rho(k_j)\bigr) =\rho c(k_j) = \begin{cases} \rho(k_{j+1}) & (1\le j<r),\\ \rho(k_1) & (j=r) \end{cases}$$ であり，$\rho(k_1),\ldots,\rho(k_r)$ 以外の点は固定される。したがって $$\rho(k_1\,k_2\,\cdots\,k_r)\rho^{-1} = \bigl(\rho(k_1)\,\rho(k_2)\,\cdots\,\rho(k_r)\bigr).$$

$\sigma=(1\,2)(3\,4)(5\,6)$ の共役類は，互いに交わらない3個の互換の積，すなわち型 $(2,2,2)$ の元全体である。6個の文字を2個ずつ3組に分け，各組内の順序と3組の順序を無視すればよいから，共役類の元の個数は $$\frac{6!}{(2!)^3\,3!}=15$$ である。

軌道安定化定理を共役作用に適用すると， $$|S_6|=|\operatorname{Cl}(\sigma)|\cdot |Z_{S_6}(\sigma)|$$ である。よって $$|Z_{S_6}(\sigma)|=\frac{6!}{15}=48.$$

この中心化群の位数は $$48=2^4\cdot3$$ であるから，シロー $3$ 部分群の位数は $3$ である。例えば $$\tau=(1\,3\,5)(2\,4\,6)$$ とおくと，$\tau$ は3つの組 $$\{1,2\},\quad \{3,4\},\quad \{5,6\}$$ を巡回的に入れ替える。したがって $$\tau(1\,2)\tau^{-1}=(3\,4),\quad \tau(3\,4)\tau^{-1}=(5\,6),\quad \tau(5\,6)\tau^{-1}=(1\,2),$$ となり，積としては $\tau\sigma\tau^{-1}=\sigma$ である。ゆえに $$\langle (1\,3\,5)(2\,4\,6)\rangle$$ は $Z_{S_6}(\sigma)$ のシロー $3$ 部分群の1つである。 実際，この元の3乗は恒等置換で，1乗と2乗は恒等置換ではない。中心化群の位数に含まれる3のべきは $3^1$ だけなので，位数3の部分群を1つ示せばシロー $3$ 部分群になっている。

最後に $$H=\langle (1\,2),(3\,4),(5\,6)\rangle$$ とおく。任意の $\alpha\in Z_{S_6}(\sigma)$ について $$\alpha\sigma\alpha^{-1}=\sigma$$ である。一方，互換の積の共役は $$(\alpha(1)\,\alpha(2))(\alpha(3)\,\alpha(4))(\alpha(5)\,\alpha(6))$$ である。互いに交わらない互換への分解は，順序を除いて一意なので， $\alpha$ は3つの組 $$\{1,2\},\quad \{3,4\},\quad \{5,6\}$$ を互いに入れ替える。したがって $$\alpha(1\,2)\alpha^{-1},\quad \alpha(3\,4)\alpha^{-1},\quad \alpha(5\,6)\alpha^{-1}$$ はいずれも $(1\,2),(3\,4),(5\,6)$ のいずれかである。つまり $$\alpha H\alpha^{-1}=H$$ であり，$H$ は $Z_{S_6}(\sigma)$ の正規部分群である。 ここで $\alpha H\alpha^{-1}\subset H$ だけでなく等号が成り立つのは，共役写像 $h\mapsto \alpha h\alpha^{-1}$ が群 $H$ からその像への同型であり，逆写像も $\alpha^{-1}$ による共役で与えられるからである。