東大 理学系研究科 物理学専攻 専門科目（物理学） 2026年度 院試 解答例・解説

方針

この問題は，周期ポテンシャル中の1次元電子を扱う標準的なクローニッヒ・ペニー模型である。 前半では並進対称性からブロッホ波数 $k$ が出ることを確認し，後半ではデルタ関数ポテンシャルの接続条件から分散式を作る。

並進演算子の見方

$T=\exp(-iap/\hbar)$ は，波動関数を $a$ だけ平行移動する演算子である。 演算子としては $$TxT^{-1}=x-a$$ を満たすため，ポテンシャルが $V(x-a)=V(x)$ ならハミルトニアンと可換になる。 この可換性が「エネルギー固有状態を同時にブロッホ状態として選べる」ことの本質である。

デルタ関数の接続条件

デルタ関数ポテンシャルでは，波動関数そのものは連続で，導関数だけが不連続になる。 式 $$-\phi''+v\delta(y)\phi=\alpha^2\phi$$ を微小区間で積分すると $$\phi'(0^+)-\phi'(0^-)=v\phi(0)$$ が得られる。この符号を間違えると，分散式の $\frac{v}{2\alpha}\sin\alpha$ の符号が逆になり，ギャップの位置も誤る。

バンドギャップの意味

$v=0$ の自由粒子では，ブリルアンゾーン端 $k=\pi$ で右向き波と左向き波が縮退する。 周期ポテンシャルを入れると，この2つの波がブラッグ反射で混ざり，縮退が解ける。 ここで得た $$\Delta E=\frac{\hbar^2 v}{ma^2}$$ は，弱いデルタ列ポテンシャルによるゾーン端ギャップの一次近似である。

方針

前半は理想鎖のエントロピー弾性，後半は隣接相互作用を入れた1次元イジング模型である。 端点間距離 $R$ を直接固定する代わりに，外場 $h$ を入れて分配関数を計算し，最後にルジャンドル変換で固定伸長の自由エネルギーへ戻す。

符号の確認

$r>0$ は右向き成分が多く，鎖が右へ伸びている状態である。 このときエントロピーは $r=0$ より小さいため，エントロピー由来の力は原点へ戻す向きになる。 したがって $$F_S\simeq-\frac{k_{\mathrm B}T}{a}r$$ の符号は負でなければならない。

転送行列で端点補正が必要な理由

転送行列 $$M_{\sigma_i,\sigma_{i+1}} = \exp\left[ \beta u\sigma_i\sigma_{i+1} + \frac{\beta ha}{2}(\sigma_i+\sigma_{i+1}) \right]$$ では，各結合の両端に場の寄与を半分ずつ割り当てている。 積 $M^{N-1}$ を作ると内部スピンは左右の結合から半分ずつ受け取って1個分になるが，両端だけは半分しか数えられない。 その不足分が問4の指数因子である。

相互作用 $u$ の物理的意味

エネルギー $-u\sigma_i\sigma_{i+1}$ なので，$u>0$ は同じ向きを好む強磁性的相互作用である。 鎖は向きを保ちやすくなり，同じ $R$ まで伸ばすために必要なエントロピー的コストは小さくなる。 式ではばね定数が $e^{-2\beta u}$ 倍になり，実効長 $\bar a=ae^{\beta u}$ が長くなることとして現れている。

方針

前半は回転座標系での力のつり合い，後半は小角近似での初期運動の次数を追う問題である。 細かい符号よりも，どの力が管方向に効くかを先に整理すると計算が安定する。

磁場の力の向き

荷電質点は管とともに回転しているので，水平面内の速度は接線方向である。 磁場は鉛直下向きだから，ローレンツ力 $Q\mathbf v\times\mathbf B$ は半径方向，すなわち管方向に働く。 このため問1から問3では，磁場は有効的に回転による遠心力を弱める向きに入る。

単振動条件

平衡点のまわりで $$(m+M)\ddot x=Cx+\text{定数}$$ の形になる。単振動になるには $C<0$ が必要十分である。 ここを単に「復元力がある」と書くより， $$C=(m+M)\omega^2-QB\omega$$ を明示して $C<0$ と判定する方が確実である。

最後の次数評価

問7は係数を求める問題ではなく，時間依存の次数を問うている。 傾きは重力トルクで $\theta\propto t^2$，管内のすべりは $\ddot x\propto\theta$ なので $x\propto t^4$ となる。 磁場が水平面内の回転を生む力は $\dot x$ に比例するため，角加速度は $t^3$ に比例し，最終的に $\phi\propto t^5$ となる。

方針

第1部は nilpotent 行列の基本性質，第2部は1階準線形偏微分方程式の特性曲線法である。 どちらも「反復するとどこで止まるか」を見ると見通しがよい。

nilpotent 行列の見方

この $A$ は成分を1つ下に送るシフト行列である。 したがって $A^k$ は $k$ 個下の対角成分だけを持ち，$k=N$ で必ず零行列になる。 逆行列 $(I-A)^{-1}$ が有限和で終わるのはこのためであり，無限級数を収束性で議論する必要はない。

対角化不能の理由

零でない nilpotent 行列は対角化できない。 理由は単純で，固有値がすべて $0$ だからである。 対角化可能なら対角行列は零行列になり，元の行列も零行列でなければならない。 今回 $a\ne0$ なので，これは矛盾する。

特性曲線法の意味

偏微分方程式 $$au_x+bu_y=c$$ は，曲面 $u=u(x,y)$ の接平面がベクトル $(a,b,c)$ を含む，という幾何的条件である。 したがって，このベクトル場に沿って曲線を伸ばすと，その曲線は解曲面の上を走る。 これが特性曲線法の幾何的な意味である。

発散の機構

最後の小問では，解そのもの $u=h(\xi)$ は特性曲線上で一定である。 しかし写像 $$\xi\mapsto x=\xi+yh(\xi)$$ のヤコビアン $1+yh'(\xi)$ が0になると，異なる特性曲線が交差し，単一値の滑らかな解として表せなくなる。 その破綻が $u_x$ の発散として現れる。