東大 理学系研究科 物理学専攻 専門科目（物理学） 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

以下では，$[X,Y]=XY-YX$ とし，位置・運動量演算子を $x,p$ と書く。

1. $$f(\lambda)=e^{\lambda Y}Xe^{-\lambda Y}$$ とおくと， $$\frac{df}{d\lambda} = e^{\lambda Y}[Y,X]e^{-\lambda Y}$$ である。同じ計算を右辺に繰り返し用いると， $$\left.\frac{d^n f}{d\lambda^n}\right|_{\lambda=0} = \underbrace{[Y,[Y,\cdots [Y,X]\cdots]]}_{n\text{ 個の }Y}$$ となる。したがって $f(\lambda)$ のテイラー展開から $$e^YXe^{-Y} = X+[Y,X]+\frac{1}{2!}[Y,[Y,X]] +\frac{1}{3!}[Y,[Y,[Y,X]]]+\cdots$$ が従う。
2. $T=\exp(-iap/\hbar)$ とおく。前問の公式で $Y=-iap/\hbar$, $X=x$ とすると， $$[Y,x] = -\frac{ia}{\hbar}[p,x] = -\frac{ia}{\hbar}(-i\hbar) = -a$$ であり，これ以上の交換子は消える。よって $$TxT^{-1}=x-a.$$ また $[Y,p]=0$ なので $$TpT^{-1}=p$$ である。
3. $V(x)$ は周期 $a$ をもつので， $$TV(x)T^{-1}=V(x-a)=V(x)$$ である。さらに $TpT^{-1}=p$ より， $$THT^{-1} = \frac{p^2}{2m}+V(x) = H$$ となる。したがって $[T,H]=0$ であり，$T$ と $H$ は同時対角化できる。 系の長さは $Na$ で，周期境界条件を課しているため，$a$ だけの並進を $N$ 回行うと恒等変換になる。よって $T$ の固有値を $\lambda$ とすれば $$\lambda^N=1.$$ したがって $$\lambda=e^{-ik},\qquad k=\frac{2\pi j}{N}\quad (j\in \mathbb Z)$$ と書ける。
4. $\phi(y)=\psi(ay)$ とおくと $$\frac{d}{dx}=\frac{1}{a}\frac{d}{dy}, \qquad \delta(x-na)=\frac{1}{a}\delta(y-n)$$ である。シュレーディンガー方程式を $$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + V_0\sum_{n=0}^{N-1}\delta(x-na)\psi = E\psi$$ と書き，両辺に $2ma^2/\hbar^2$ をかけると $$-\frac{d^2\phi}{dy^2} + v\sum_{n=0}^{N-1}\delta(y-n)\phi(y) = \alpha^2\phi(y)$$ を得る。ただし $$v=\frac{2maV_0}{\hbar^2},\qquad \alpha^2=\frac{2mEa^2}{\hbar^2}.$$
5. $0<y<1$ ではポテンシャルがないので， $$\phi(y)=Ae^{i\alpha y}+Be^{-i\alpha y}$$ と書ける。$T$ の固有値を $e^{-ik}$ としたので，左側の極限値は $$\phi(0^-)=e^{-ik}\phi(1^-),\qquad \phi'(0^-)=e^{-ik}\phi'(1^-)$$ である。連続条件から $$A+B = e^{-ik}\left(Ae^{i\alpha}+Be^{-i\alpha}\right).$$ また式を $y=0$ の前後で積分すると $$\phi'(0^+)-\phi'(0^-)=v\phi(0)$$ である。したがって $$A-B = e^{-ik}\left(Ae^{i\alpha}-Be^{-i\alpha}\right) + \frac{v}{i\alpha}(A+B).$$ よって空欄は $$(a)=Ae^{i\alpha}+Be^{-i\alpha},\qquad (b)=Ae^{i\alpha}-Be^{-i\alpha},\qquad (c)=\frac{A+B}{i\alpha}$$ である。
6. 前問の2式を $A,B$ に関する同次連立方程式とみなし，非自明解の条件を課す。 整理すると $$\begin{vmatrix} 1-e^{-ik}e^{i\alpha} & 1-e^{-ik}e^{-i\alpha}\\ 1-e^{-ik}e^{i\alpha}-v/(i\alpha) & -1+e^{-ik}e^{-i\alpha}-v/(i\alpha) \end{vmatrix} =0.$$ この式を展開して三角関数で整理すれば $$\cos k = \cos\alpha+\frac{v}{2\alpha}\sin\alpha$$ を得る。
7. $v=0$ では $$\alpha=k+2\pi l$$ が許される。特に $k=\pi$ では $$\alpha_0=\pi(2l+1)$$ が境界点になる。小さい $v$ に対し $$\alpha=\alpha_0+\delta$$ とおく。与えられた近似を用いると，分散式は $$-1 = -1+\frac{\delta^2}{2} - \frac{v}{2\alpha_0}\delta$$ となる。したがって $$\delta=0,\qquad \delta=\frac{v}{\alpha_0}$$ の2つの解が現れる。エネルギーは $$E=\frac{\hbar^2\alpha^2}{2ma^2}$$ なので，2つの枝の間のエネルギー差は一次の $v$ までで $$\Delta E = \frac{\hbar^2}{2ma^2}\,2\alpha_0\frac{v}{\alpha_0} = \frac{\hbar^2 v}{ma^2}.$$ すなわち，周期ポテンシャルを入れると $k=\pi$ の縮退が解け，バンドギャップが開く。