東大 理学系研究科 物理学専攻 専門科目（物理学） 2018年度 院試 過去問 解答例・解説（全6問）

基底を $\lvert 1\rangle,\lvert 2\rangle$ とし，まず $$H= \begin{pmatrix} E_1 & V\\ V & E_2 \end{pmatrix},\qquad V>0$$ を扱う。

1. $\lvert 2\rangle=(0,1)^{\mathsf T}$ なので $$H-E_1I= \begin{pmatrix} 0 & V\\ V & E_2-E_1 \end{pmatrix}.$$ よって $$\langle 2\rvert(H-E_1I)\lvert 2\rangle=E_2-E_1.$$ また $$(H-E_1I)^2= \begin{pmatrix} V^2 & V(E_2-E_1)\\ V(E_2-E_1) & V^2+(E_2-E_1)^2 \end{pmatrix}$$ であるから $$\langle 2\rvert(H-E_1I)^2\lvert 2\rangle=V^2+(E_2-E_1)^2.$$
2. 固有方程式は $$(E_1-E)(E_2-E)-V^2=0$$ である。したがって $$E_\pm=\frac{E_1+E_2}{2}\pm \frac12\sqrt{(E_1-E_2)^2+4V^2}, \qquad E_-<E_+.$$ 固有状態を $$\lvert\psi_\pm\rangle=a_\pm\lvert 1\rangle+b_\pm\lvert 2\rangle$$ とおくと，$(E_1-E_\pm)a_\pm+Vb_\pm=0$ より $$\frac{b_\pm}{a_\pm} =\frac{E_\pm-E_1}{V} =\frac{E_2-E_1\pm\sqrt{(E_1-E_2)^2+4V^2}}{2V}.$$
3. $H$ は実対称行列であり，異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する。実際， $H\lvert\psi_+\rangle=E_+\lvert\psi_+\rangle$, $H\lvert\psi_-\rangle=E_-\lvert\psi_-\rangle$ から $$E_+\langle\psi_-\vert\psi_+\rangle = \langle\psi_-\rvert H\lvert\psi_+\rangle = E_-\langle\psi_-\vert\psi_+\rangle.$$ $E_+\ne E_-$ なので $\langle\psi_-\vert\psi_+\rangle=0$ である。

次に $$H(\lambda)= \begin{pmatrix} E\lambda & V\\ V & -E\lambda \end{pmatrix} =E\lambda\sigma_z+V\sigma_x,\qquad 0<V\ll E$$ を考える。この形は，対角項が $\lambda=0$ で交差する2準位問題の標準形である。

1. 固有値は $$B_\pm(\lambda)=\pm R(\lambda),\qquad R(\lambda)=\sqrt{E^2\lambda^2+V^2}.$$ したがってエネルギー間隔は $$B_+(\lambda)-B_-(\lambda)=2\sqrt{E^2\lambda^2+V^2}\ge 2V.$$ 非対角項 $V$ により，もとの交差は最小間隔 $2V$ の反交差に置き換わる。
2. 下側固有状態を $$\lvert\psi_+(\lambda)\rangle =\cos\theta(\lambda)\lvert1\rangle+\sin\theta(\lambda)\lvert2\rangle,$$ 直交する上側固有状態を $$\lvert\psi_-(\lambda)\rangle =-\sin\theta(\lambda)\lvert1\rangle+\cos\theta(\lambda)\lvert2\rangle$$ と書く。時間依存 $\lambda=t/T$ のもとで $$\lvert\psi(t)\rangle=c_+(t)\lvert\psi_+(t/T)\rangle +c_-(t)\lvert\psi_-(t/T)\rangle$$ と展開する。実基底を選べば $$\langle\psi_+\vert\dot\psi_+\rangle = \langle\psi_-\vert\dot\psi_-\rangle=0,\qquad \langle\psi_+\vert\dot\psi_-\rangle=-\dot\theta.$$ これをシュレーディンガー方程式へ代入して $$\begin{aligned} i\hbar\dot c_+&=B_+c_+ + i\hbar\dot\theta\,c_-,\\ i\hbar\dot c_-&=B_-c_- - i\hbar\dot\theta\,c_+. \end{aligned}$$ ただし $\dot\theta=T^{-1}d\theta/d\lambda$ である。 力学位相を取り除くため $$C_\pm(t)=c_\pm(t) \exp\!\left(\frac{i}{\hbar}\int_{-T}^{t}B_\pm(t'/T)\,dt'\right)$$ を導入すると $$\begin{aligned} \dot C_+&=\dot\theta\,C_-\, \exp\!\left\{\frac{i}{\hbar}\int_{-T}^{t}\bigl(B_+-B_-\bigr)\,dt'\right\},\\ \dot C_-&=-\dot\theta\,C_+\, \exp\!\left\{-\frac{i}{\hbar}\int_{-T}^{t}\bigl(B_+-B_-\bigr)\,dt'\right\}. \end{aligned}$$
3. 反交差近傍で $\theta$ が大きく変化する幅は $$|\lambda|\lesssim \frac{V}{E}$$ であり，その時間幅は $\Delta t\sim TV/E$ である。一方，この領域でも固有値間隔は $$B_+-B_-\gtrsim 2V$$ である。非断熱遷移振幅は概略 $$C_-(T)\sim \int_{-T}^{T}\dot\theta(t) \exp\!\left\{-\frac{i}{\hbar}\int^t(B_+-B_-)\,dt'\right\}dt$$ の形を持つ。位相は時間スケール $\hbar/V$ で速く回り，振幅因子 $\dot\theta$ は $\Delta t\sim TV/E$ でゆっくり変わる。条件 $$\frac{TV^2}{E\hbar}\gg 1$$ のもとでは，指数因子の振動により積分が相殺され，非断熱成分は小さい。 したがって初期に下側断熱状態にあった系は，$t=+T$ でもほぼ同じ断熱枝に残る。