東大 理学系研究科 物理学専攻 専門科目（物理学） 2018年度 院試 解答例・解説

反交差の見方

対角項だけなら $\lambda=0$ で準位が交差するが，非対角項 $V$ があると固有値は平方根 $\sqrt{E^2\lambda^2+V^2}$ で分裂し，最小ギャップ $2V$ を持つ。これが反交差である。

断熱条件の大きさ

$\theta$ が変わるのは $|\lambda|\lesssim V/E$ の狭い領域だけである。この領域を通過する時間が $TV/E$，最小ギャップが $V$ 程度なので，動的位相の回転回数はおおよそ $TV^2/(E\hbar)$ である。この数が十分大きいほど非断熱遷移は平均化される。

古典と量子の違い

古典気体では運動量が連続なので，低温にしても「温度を半分にしたときの相対的な状態数変化」が有限に残る。量子箱では準位間隔が有限で，十分低温では励起状態が凍結される。この差がエントロピー差の非零・零を分ける。

第一励起の選び方

箱の辺長が $L,L,2L$ なので，長い $z$ 方向の量子化エネルギーが最も細かい。したがって第一励起は $n_x,n_y$ ではなく $n_z$ を $1$ から $2$ に上げる状態である。

放射場で残す項

遠方放射では $1/r^3$ や $1/r^2$ の近接場より，$1/r$ の項が最もゆっくり減衰する。ベクトルポテンシャルの空間微分では，振幅 $1/r$ の微分より位相 $e^{ikr}$ の微分が主要項になる。

2波源は経路差と位相差

強度分布は「幾何学的な経路差 $D\sin\varphi$」と「人工的に与える位相差」の和で決まる。位相制御で最大方向を動かす式は，この和を $2\pi$ の整数倍にするだけで得られる。

同じ運動量でも速度は違う

速度選別器を使う理由は，ローレンツ力の打ち消し条件が速度だけで決まるためである。同じ $p$ なら電子はほぼ光速，ミューオンはそれより遅く，パイ中間子はさらに別の速度になる。

寿命から捕獲率を出す

物質中で観測される寿命が短いのは，自然崩壊に加えて原子核捕獲という消失経路が増えるからである。割合は率で計算するのが安全だが，最終的には $1-\tau_{\mathrm obs}/\tau_\mu$ に簡約される。

格子因子と構造因子を分ける

多数の単位格子が作る鋭いピーク位置は格子因子が決める。一方，各単位格子内で原子がどこにあるかは構造因子に入り，ピークの消滅や強度比を決める。体心格子で奇数次が消えるのは，単位格子内の2つの散乱波が逆位相になるためである。

変位測定の考え方

完全な体心配置なら奇数次ピークはゼロである。小さな変位があるとゼロだった量が $\epsilon^2$ に比例して現れるため，弱い奇数次ピークは変位に敏感な観測量になる。

制動放射の周波数依存

1回の散乱だけを見ると，衝突時間より長い時間スケールの放射は速度変化の総量だけで決まる。高い周波数では衝突中の細部を見ようとするため，位相が打ち消し合って放射が弱くなる。

天体スペクトルから何を読むか

熱的制動放射の指数カットオフは温度計になる。密度は強度の絶対値に入り，水素プラズマでは電子密度と陽子密度がほぼ同じなので，体積が分かれば総質量へ換算できる。