東大 理学系研究科 物理学専攻 専門科目（物理学） 2019年度 院試 過去問 解答例・解説（全6問）

2質点（質量 $m_1,m_2$）の相対運動を平面極座標 $(r,\varphi)$ で表し，縮約質量 $\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$，全質量 $M=m_1+m_2$ を用いる。ラグランジアンを $$\mathcal L=\frac12\mu\dot r^{\,2}+\frac12\mu r^2\dot\varphi^{\,2}+\frac{G\mu M}{r} \qquad (U=-G\mu M/r)$$ とする。

1. Euler--Lagrange 方程式より $$\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot r}-\frac{\partial\mathcal L}{\partial r}=0 \quad\Rightarrow\quad \mu\ddot r-\mu r\dot\varphi^{\,2}=-\frac{G\mu M}{r^2}.$$ また $\varphi$ は循環座標なので $$\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot\varphi}=0 \quad\Rightarrow\quad \mu r^2\dot\varphi=J=\text{const.}$$
2. エネルギーは $$E=\dot r\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot r}+\dot\varphi\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot\varphi}-\mathcal L =\frac12\mu\dot r^{\,2}+\frac12\mu r^2\dot\varphi^{\,2}-\frac{G\mu M}{r}.$$ 角運動量は上式の通り $J=\mu r^2\dot\varphi$。
3. 角運動量保存は循環座標から直ちに従う（前問）。 エネルギー保存は $\partial\mathcal L/\partial t=0$ から一般論として従うが，直接確かめるなら $$\frac{dE}{dt} =\mu\dot r\ddot r+\mu r\dot r\dot\varphi^{\,2}+\mu r^2\dot\varphi\ddot\varphi+\frac{G\mu M}{r^2}\dot r$$ に運動方程式 $\mu(\ddot r-r\dot\varphi^{\,2})=-G\mu M/r^2$ と $\frac{d}{dt}(\mu r^2\dot\varphi)=0\Rightarrow \mu r^2\ddot\varphi+2\mu r\dot r\dot\varphi=0$ を代入すれば $dE/dt=0$ が得られる。
4. 重力波放射を近似的に取り入れ，円軌道半径 $a(t)$ で近似できるとする。 エネルギーが $$E(t)=-\frac{G\mu M}{2a(t)}$$ で与えられ，重力波による放射パワー（単位時間あたりの放射エネルギー）が $$L_{\mathrm{GW}}=\frac{32G^4}{5c^5}\frac{\mu^2M^3}{a^5}$$ と与えられるとき， $$\frac{dE}{dt}=-L_{\mathrm{GW}}$$ である。左辺は $$\frac{dE}{dt} =-\frac{G\mu M}{2}\frac{d}{dt}\left(\frac1a\right) =\frac{G\mu M}{2a^2}\frac{da}{dt}$$ なので $$\frac{da}{dt} =-\frac{64}{5}\frac{G^3}{c^5}\frac{\mu M^2}{a^3}.$$
5. 円軌道のケプラー則 $$\Omega^2=\frac{GM}{a^3},\qquad P=\frac{2\pi}{\Omega}$$ より $a=(GM)^{1/3}(P/2\pi)^{2/3}$。 これを用いて $a$ 微分方程式を $P$ に書き換えると $$\frac{dP}{dt}=-A\left(\frac{P_c}{P}\right)^{5/3}$$ 型にまとめられる（$A,P_c$ は問題文の定義に従う定数）。
6. $\dot P=-A(P_c/P)^{5/3}$ を解く。両辺に $P^{5/3}$ を掛けると $$P^{5/3}\frac{dP}{dt}=-A P_c^{5/3}.$$ 左辺は $\frac{d}{dt}\bigl(\frac{3}{8}P^{8/3}\bigr)$ なので $$\frac{d}{dt}\left(\frac{3}{8}P^{8/3}\right)=-AP_c^{5/3}.$$ 初期条件 $P(0)=P_0$ で積分して $$P(t)^{8/3}=P_0^{8/3}-\frac{8}{3}AP_c^{5/3}t.$$ 合体（$P\to0$）までの時間は $$t_{\mathrm{GW}}=\frac{3}{8}\frac{P_0^{8/3}}{A P_c^{5/3}}.$$