東大 理学系研究科 物理学専攻 専門科目（物理学） 2019年度 院試 解答例・解説

なぜ整数固有値になるか

$[N,a]=-a$ は「固有値が 1 下がる」ことを意味する。非負性（$\|a\ket{n}\|^2\ge0$）により下方へ無限に続けられず，最下位 $\ket0$ が存在して $a\ket0=0$ となる。この構造が整数列を強制する。

$x^4$ の行列要素の取り方

摂動 2次では [数式] が必要だが，$(a+a^\dagger)^4\ket0$ を $\ket0,\ket2,\ket4$ の線形結合として作れば，必要な係数だけを抜き出せる。偶奇対称性で奇数 $k$ が消えることも計算量を大きく減らす。

この系は何に等価か

$\mathbf S_i\cdot\mathbf S_{i+1}\in\{0,1\}$ なので「隣接が一致すると $-J$ 得をする」2状態モデルであり，1次元Potts模型（$q=2$）と同型である。転送行列で全てが一気に片づく。

熱力学極限の見通し

$Z_L$ が $\lambda_+^{L-1}$ で支配されるため，1スピン当たりの自由エネルギーや内部エネルギーは $\log\lambda_+$ のみで決まる。一方，相関は $(\lambda_-/\lambda_+)^{L-1}$ で減衰し，相関長 $\xi^{-1}=-\log|\lambda_-/\lambda_+|$ が自然に出てくる。

符号の落とし穴

$\mathcal L=T-U$ で $U=-G\mu M/r$ のため $\mathcal L$ に $\,+G\mu M/r$ が現れる。ここで $\partial_r(1/r)=-1/r^2$ なので，運動方程式の右辺が $-GM/r^2$ になる点に注意する。

減衰式の作り方

与えられた $E(a)$ と $L_{\mathrm{GW}}(a)$ をそのまま $\dot E=(dE/da)\dot a$ に代入すればよい。最後に $a$ を $P$ へ変換するのはケプラー則だけで，微分方程式の形（べき指数）はほぼ自動的に決まる。

干渉計がフーリエ変換になる理由

出力強度は周波数ごとの干渉縞 $\cos(8\pi\nu l/c)$ を重ね合わせたものになる。従って $l$ を掃引して得た信号はスペクトル密度の $\cos$ 変換になり，逆変換でスペクトルを引き戻せる。

ナイキスト周波数の直感

$l$ を刻み幅 $\Delta l/4$ で離散化すると，位相因子 $e^{i2\pi\nu k\Delta l/c}$ の「周波数」は $\nu\Delta l/c$ で決まる。これが $2\pi$ 周期で同一視されるため，$\nu$ は $c/\Delta l$ ごとに折り返して見える。

減衰式は指数関数

$\Delta I\propto -I\Delta x$ 型は常に $I(x)=I_0e^{-\text{(定数)}x}$ になる。対数を取れば断面積 $\sigma$ が直接出るので，最後は $\ln(I_0/I_1)$ を忘れない。

不変量で質量を出す

$\pi^0$ の質量は実験室系での運動状態に依らない不変量 $m^2c^4=(p_1+p_2)^2$ で求めるのが最短で，光子の $p^2=0$ が計算を劇的に簡単にする。

伝送線路の最短手順

2本の一次偏微分方程式は，相互に $x$ 微分・代入するだけで波動方程式になる。波速 $v$ は常に $1/\sqrt{LC}$ で，幾何依存は $L,C$ に押し込められる。

反射係数は覚えてよい

終端での「電圧の反射係数」$\Gamma=(r-Z_0)/(r+Z_0)$ は伝送線路の基本公式で，パルスでも正弦波でも同じ。整合（$r=Z_0$）なら $\Gamma=0$ で反射が消える。