東大 理学系研究科 物理学専攻 専門科目（物理学） 2024年度 院試 解答例・解説

方針

反転調和振動子では，通常の調和振動子と違って片方の線形結合が指数的に増大し，もう片方が指数的に減衰する。 量子論ではこの伸長・圧縮がスクイーズド状態として現れる。

古典極限との対応

座標表示の波動関数が $$\psi(q)\sim e^{iS(q)/\hbar}$$ の形を持つとき，位相 $S(q)$ は古典作用に対応する。 ここでは長時間後に実幅が消え，位相だけが $$S(q)=q^2/2$$ へ近づく。これは古典軌道が $p=\partial S/\partial q=q$ に近づくことと同じ内容である。

スクイーズド状態の読み方

$r$ はスクイーズの強さ，$\phi$ はスクイーズされる方向を指定する。 今回の時間発展では $r=t$ と増大し，$\phi=-\pi/4$ に固定される。 その結果，位相空間で片方向に伸び，直交方向に縮むガウス状態が得られる。

方針

前半は単原子理想気体の標準計算で，後半は1サイトに高々1個だけ吸着するラングミュア吸着である。 同じ化学ポテンシャル $\mu$ を気体側と吸着サイト側で共有することが，両者をつなぐ要点である。

示量性と $N!$

分子の非識別性による $1/N!$ を入れないと，自由エネルギーに $N\ln V$ 型の不自然な項が残り，示量性が崩れる。 ここで $F(T,\lambda V,\lambda N)=\lambda F(T,V,N)$ が成り立つことは，熱力学量として正しい形になっている確認である。

吸着率の形

$$\theta=\frac{bp}{1+bp}$$ は，低圧では $\theta\simeq bp$ と圧力に比例し，高圧では $\theta\to1$ と飽和する。 吸着サイト数が有限で，各サイトに1個しか入れないという仮定が，この飽和を生む。

方針

前半は束縛電荷の強制振動によるレイリー散乱，後半は電場勾配による誘起双極子の力である。 どちらも，電場が粒子に双極子振動を作るという同じ出発点から理解できる。

レイリー散乱の色依存性

$\omega\ll\omega_0$ では，変位振幅はほぼ一定で，加速度だけが $\omega^2$ に比例する。 放射強度は加速度の二乗に比例するため，散乱は $\omega^4$ に比例する。 このため短波長の青い光は，長波長の赤い光より強く散乱される。

光ピンセットの力

誘起双極子では $p=\alpha E$ であり，力はおおまかに $$F\sim p\,\nabla E\sim \alpha E\nabla E$$ で決まる。 つまり電場そのものではなく，強度の勾配が粒子を動かす。 ガウス型ビームでは強度が中心で最大なので，粒子は中心へ引き込まれる。

方針

前半はコーシー分布型関数のフーリエ変換，後半は $z+z^{-1}$ だけで決まる3次行列の固有値問題である。 フーリエ変換では，極の位置と半円を閉じる向きが最重要である。

フーリエ変換の規約

ここでは $$\hat f(\omega)=\int e^{-i\omega x}f(x)\,dx$$ という規約なので，逆変換には $1/(2\pi)$ が入る。 この規約では $$\widehat{\delta}=1,\qquad \widehat{g_\alpha}=e^{-\alpha|\omega|}$$ となる。最後に $\hat f=1+e^{-|\omega|}$ から $f=\delta+g_1$ と戻すところで，規約を混同しないことが重要である。

行列問題の見通し

特性多項式が $$(\lambda-(z+z^{-1}))(\lambda^2-1)$$ に因数分解するため，固有値の議論はほぼ $z+z^{-1}$ の性質に帰着する。 重複が起きても固有ベクトルが十分あるとは限らない。 今回の $z=e^{i\pi/3}$ では重複固有値の固有空間が1次元しかなく，対角化できない。