東大 理学系研究科 物理学専攻 専門科目（物理学） 2020年度 院試 解答例・解説

一重項の使い方

この問題の中心は，一重項状態では同じ方向の測定結果が必ず反対になることにある。 $z$ 方向で書かれた状態だけを見ると $z$ 方向専用の性質に見えるが，一重項は回転に対して形を保つため， $x$ 方向や任意の角度 $\theta$ でも同じ反相関が成り立つ。

同時確率の作り方

相関だけでなく可能な結果も問われる場合は，周辺分布が $1/2,1/2$ であることを書くと安全である。 二つの符号 $s,t=\pm1$ の同時確率は $$P(s,t)=\frac14(1+st\,C)$$ と置ける。ここで $C=\langle st\rangle$ である。本問では $C=-\cos(\theta-\phi)$ なので， 解答中の式が得られる。

Mermin型の矛盾

決定論的な仮定では，実際に測っていない角度の値まで各試行で決まっていると考える。 このとき同じ角度での反相関から，$B$ 側の三つの値は $A$ 側の三つの値の反符号でなければならない。 すると平均は $-(a_1+a_2+a_3)^2/9$ という形になり，$0$ になれない。この「負にしかならない」という点が， 量子力学的平均 $0$ との決定的な違いである。

古典気体で落としやすい点

$1/N!$ は単なる係数ではなく，熱力学極限で自由エネルギーを示量的にするために必要である。 この因子を落とすと，圧力のような一部の式は正しく見えても，エントロピーや混合の議論で矛盾が出る。

高温フェルミ気体は古典気体へ戻る

非縮退条件は $e^{\beta\mu}\ll1$ と同値である。この条件下ではフェルミ分布の分母の $+1$ が無視でき， Maxwell--Boltzmann 分布に戻る。設問7の積分は，状態密度を使っても直接 $k$ 空間で積分しても同じ結果になる。

低温のグラフの意味

フェルミ気体は $T=0$ でも粒子がフェルミ面まで詰まっているが，エントロピーは状態数の不確定性を表す量なので ゼロから始まる。低温で熱的に励起できるのはフェルミ面近くの幅 $\sim k_BT$ の粒子だけであり， そのため $C_V\propto T$，したがって $S\propto T$ になる。

TEMモードの構造

同軸ケーブルのTEM波は，静電場・静磁場の断面分布をそのまま進行波にした形になる。 そのため電場は半径方向に $1/r$，磁場は方位角方向に $1/r$ で減衰する。この $1/r$ は Maxwell方程式の発散条件から直接出る。

特性インピーダンス

$Z_0$ は電圧と電流の比であり，場の大きさ $E_0$ や位置 $z,t$ には依存しない。 同軸ケーブルでは幾何因子 $\log(b/a)$ と媒質因子 $\sqrt{\mu/\varepsilon}$ だけで決まる。

パルスが崩れない条件

波束が崩れないのは，$\omega(k)$ を波束の幅の範囲で一次関数とみなせるときである。 二次以上の項が効くと，$k$ ごとに群速度が異なり，包絡線が広がる。この問題では一次近似を明示しているので， 包絡線は $z-At$ によって平行移動するだけである。

熱回路として見る

この問題は電気回路の一次RC応答と完全に対応している。温度差 $\Delta T$ が電圧，熱容量 $C$ が容量， 熱抵抗 $R_k$ が抵抗に対応する。時定数が $CR_k$ になるのはこの対応からすぐに読める。

図から読む量

パルス法では，飽和温度上昇から $R_k$，立ち上がりまたは減衰の時定数から $C R_k$ を読む。 本問の図は1桁精度でよいので，細かな読み取りよりも「温度上昇量」と「半減時間」を押さえることが重要である。

交流法の利点

交流法では，定常的な温度揺らぎの振幅と位相を見る。直流ドリフトや環境温度のゆっくりした変動を避けやすく， 小さい熱容量を測るときに有利である。ただし入力が電圧で与えられるため，熱入力の振動周波数は電圧の2倍になる。

雑音も増幅される

OPアンプの利得 $G$ は信号にも抵抗雑音にも同じように掛かる。そのため，この単純なモデルでは 出力で信号雑音比を作ると $G$ は消える。利得を上げれば信号電圧は大きくなるが，抵抗由来の雑音も同じ比率で大きくなる。

並列共振回路の役割

共振時には $L$ と $C$ の虚数アドミタンスが打ち消し合い，回路のインピーダンスは最大値 $R$ になる。 光電流の変調成分を電圧に変換するには $V=IZ$ が効くので，検出したい角周波数を $\omega_0$ に合わせると感度が高くなる。

二乗平均と振幅の区別

最後の設問は「振幅 $I_1$」を問う一方で，信号と雑音の比較は二乗平均で行う。 正弦波の二乗平均には $1/2$ が入るため，ここを落とすと答えが $\sqrt2$ だけずれる。

しきい値計算の鉄則

しきい値では，重心系で最終粒子の相対運動が消える。固定標的問題では実験室系で考えると複雑だが， 不変量 $s$ を使えば一行で重心系の条件に移せる。

保存則の見方

起こらない反応の判定では，エネルギー以前に電荷，バリオン数，レプトン数などの保存則を確認する。 本問の a) は電荷，b) はバリオン数を見れば直ちに排除できる。

粒子識別で重要な時間スケール

同じ運動量でも重い粒子ほど速度が小さいため，飛行時間差が生じる。ただし本問の差は約 $2\,\mathrm{ns}$ と短い。 したがって信号幅が数十 ns 以上ある検出器では分離が難しく，速い応答をもつ検出器を選ぶ必要がある。