東大 理学系研究科 物理学専攻 専門科目（物理学） 2020年度 院試 過去問 解答例・解説（全6問）

設問1。$\sigma_z$ の固有値は $+1,-1$ であり， $\ket{\uparrow}$ は固有値 $+1$ の固有状態である。したがって $$s_z=+1\quad(\text{確率 }1),\qquad \langle s_z\rangle=\bra{\uparrow}\sigma_z\ket{\uparrow}=1$$ である。

設問2。$\sigma_x$ の固有値も $+1,-1$ である。$\ket{\uparrow}$ に対して $$\bra{\uparrow}\sigma_x\ket{\uparrow}=0$$ なので，期待値は $0$ である。実際，$\sigma_x$ の固有状態を $$\ket{+x}=\frac{\ket{\uparrow}+\ket{\downarrow}}{\sqrt2},\qquad \ket{-x}=\frac{\ket{\uparrow}-\ket{\downarrow}}{\sqrt2}$$ と書くと，どちらも確率 $1/2$ で得られる。

設問3。$\sigma(\theta)=\cos\theta\,\sigma_z+\sin\theta\,\sigma_x$ は $$\sigma(\theta)^2=I$$ を満たすので，測定値は $s_\theta=\pm 1$ である。また $$\langle s_\theta\rangle =\bra{\uparrow}\sigma(\theta)\ket{\uparrow} =\cos\theta$$ となる。よって各結果の確率は $$P(s_\theta=+1)=\frac{1+\cos\theta}{2},\qquad P(s_\theta=-1)=\frac{1-\cos\theta}{2}$$ である。

以後，二体系の状態を $$\ket{\Psi} =\frac{1}{\sqrt2} \left(\ket{\uparrow}_A\ket{\downarrow}_B -\ket{\downarrow}_A\ket{\uparrow}_B\right)$$ とする。

設問4。$\sigma_z^A,\sigma_z^B$ の同時測定であり，可能な組は $$(s_z^A,s_z^B)=(+1,-1),\quad (-1,+1)$$ で，それぞれ確率は $1/2$ である。したがって $$\langle s_z^A s_z^B\rangle=-1.$$

設問5。上の状態は $x$ 方向でも反相関をもつ。実際， $$\ket{\Psi} =\frac{1}{\sqrt2} \left(\ket{-x}_A\ket{+x}_B-\ket{+x}_A\ket{-x}_B\right)$$ と書けるため， $$(s_x^A,s_x^B)=(+1,-1),\quad (-1,+1)$$ がそれぞれ確率 $1/2$ で得られ， $$\langle s_x^A s_x^B\rangle=-1.$$

設問6。同じ角度 $\theta$ の測定では一重項の反相関により $$s_\theta^A=-s_\theta^B=\pm1$$ である。各組の確率は $1/2$ ずつであり，積の期待値は $-1$ である。

設問7。角度が $\theta,\phi$ と異なるときは $$\langle s_\theta^A s_\phi^B\rangle = \bra{\Psi} \sigma^A(\theta)\sigma^B(\phi) \ket{\Psi} =-\cos(\theta-\phi)$$ である。周辺分布はどちらも $P(s=\pm1)=1/2$ なので，同時確率は $$P(s,t)=\frac14\{1-st\cos(\theta-\phi)\}, \qquad s,t=\pm1$$ と書ける。

設問8。$\theta,\phi$ をそれぞれ $0,120^\circ,240^\circ$ から等確率で選ぶ。 同じ角度の組は3通りで，それぞれ積の期待値は $-1$ である。異なる角度の組は6通りで， $\cos(\theta-\phi)=-1/2$ だから積の期待値は $+1/2$ である。よって全体平均は $$\langle s^A s^B\rangle =\frac{1}{9}\left(3(-1)+6\cdot\frac12\right)=0.$$

設問9。決定論的に $$a_1=s_0^A,\quad a_2=s_{120^\circ}^A,\quad a_3=s_{240^\circ}^A, \qquad s_i^B=-a_i$$ があらかじめ決まっているとする。角度は独立に等確率で選ばれるので $$\langle s^A s^B\rangle_{\mathrm{det}} =\frac{1}{9}\sum_{i,j}a_i(-a_j) =-\frac{(a_1+a_2+a_3)^2}{9}.$$ したがって $$(+,+,+):\quad -1,\qquad (+,+,-):\quad -\frac19.$$ 一般に $a_i=\pm1$ の8通りでは $a_1+a_2+a_3=\pm3,\pm1$ であり，二乗は必ず正である。 よって決定論的仮説の予言は常に負である。一方，設問8の量子力学的結果は $0$ なので，両者は矛盾する。