東大 理学系研究科 物理学専攻 専門科目（物理学） 2023年度 院試 解答例・解説

交換関係から全体を作る

この問題では波動関数を直接解く必要はない。 消滅・生成演算子を導入した時点で，ハミルトニアン，エネルギー間隔，縮退度は数演算子の問題になる。 2次元であるため零点エネルギーが $\hbar\omega/2$ の2個分になり， 基底エネルギーが $\hbar\omega$ になる点を落としやすい。

角運動量の対角化

$a_1^\dagger,a_2^\dagger$ は直交座標方向の励起を作る演算子である。 一方，角運動量を対角化するには，回転に対して位相だけを受ける円偏光型の組合せ $$A_\pm^\dagger=\frac{a_1^\dagger\pm i a_2^\dagger}{\sqrt2}$$ を使うのが自然である。 この変換により，エネルギーは励起数 $n$ だけで決まり，角運動量は 右回りと左回りの励起数の差で決まる。

状態の並び

低いエネルギー準位を図示すると，横方向には角運動量が等間隔に並ぶ。

同じ $n$ の中で $L/\hbar=-n,-n+2,\dots,n$ と2刻みになるのは， $A_+^\dagger$ が $+\hbar$，$A_-^\dagger$ が $-\hbar$ を加えるからである。

状態密度の考え方

この問題の中心は，線形分散 $\varepsilon=\hbar v k$ から3次元の状態密度 $D(\varepsilon)\propto\varepsilon^2$ が出ることである。 通常の自由電子のような $k^2$ 分散ではなく，$k$-空間の球の体積を エネルギーに変換するだけでよい。

負のエネルギー枝の扱い

$\mu=0$ では正負の枝が対称に現れる。 そのため $\log\Xi$ には $$\log(1+e^{-\beta\varepsilon}) + \log(1+e^{\beta\varepsilon})$$ が入る。 第1項だけにすると，正のエネルギー枝だけを数えたことになり，内部エネルギーの 基準エネルギーと温度依存性を正しく得られない。

低温比熱の意味

得られた $T^3$ 則は，フォノンのデバイ比熱と同じ温度依存をもつ。 ただし起源は格子振動ではなく，点状のフェルミ面のまわりで電子の状態密度が $\varepsilon^2$ に比例して小さくなることにある。 低温でどの程度の状態が熱励起に参加できるかを考えると，通常金属との違いが見えやすい。

多重極展開の順序

遠方場では，電荷の総和，双極子モーメント，四重極子モーメントの順に 最初にゼロでない量が支配的になる。 双極子ではポテンシャルが $r^{-2}$，電場が $r^{-3}$ で減衰する。 今回の四重極子では $q=\boldsymbol p=0$ なので，次の $r^{-3}$ のポテンシャルが主役になる。

符号の確認

双極子モーメントは負電荷から正電荷へ向かう向きに取る。 図の双極子では $\boldsymbol p=ed\,\boldsymbol e_y$ である。 この符号を逆にすると，ポテンシャル，電場，エネルギー最小の角度がすべて反転する。 最終的に $(0,a,0)$ 上では原点の双極子が $+y$ 方向の電場を作るので， 上側の双極子も $+y$ 方向を向くとエネルギーが最小になる。

四重極子間相互作用

四重極子同士のエネルギーでは，電場そのものではなく電場勾配が効く。 テンソルの主軸方向を取り違えると係数だけでなく符号も変わる。 $y$ 軸向き四重極子では $$Q=\operatorname{diag}(A,-2A,A)$$ であり，$x$ 軸向きに回すと $$Q=\operatorname{diag}(-2A,A,A)$$ になる。この入れ替えにより，最後のエネルギー比較で $x$ 軸向き配置の方が安定になる。

単位円への変換

$z=e^{i\theta}$ と置く問題では， $$\cos\theta=\frac12(z+z^{-1}), \qquad d\theta=\frac{dz}{iz}$$ を必ず同時に使う。 $d\theta$ の $1/z$ を落とすと，極の次数と留数がずれてしまう。 積分経路は単位円を反時計回りに回るため，留数定理の符号は通常通り $2\pi i$ である。

どの極が内側にあるか

2次式の根はどちらも負の実数である。 そのうち $$z_+=-\frac{a-\sqrt{a^2-b^2}}{b}$$ だけが単位円の内側に入る。 さらに $\cos(n\theta)$ から $z^{-n}$ が出るため，$z=0$ の極も忘れてはいけない。

行列指数の見方

行列 $A$ は第1・第4成分の2次元ブロックと，第2成分，第3成分に分解して見ればよい。 第1・第4成分のブロックは実回転行列 $$B=\frac{1}{\sqrt2}I+\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$$ である。 ただし求めるのは $e^{itB}$ なので，通常の三角関数だけでなく双曲線関数が現れる。 固有値が複素数であることを反映している。