東大 理学系研究科 物理学専攻 専門科目（物理学） 2023年度 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

消滅・生成演算子を用いる。座標と運動量は $$[X_k,P_l]=i\hbar\delta_{kl},\qquad [X_k,X_l]=[P_k,P_l]=0$$ を満たす。

1. 定義から $$a_k=\frac{m\omega X_k+iP_k}{\sqrt{2\hbar m\omega}}, \qquad a_l^\dagger=\frac{m\omega X_l-iP_l}{\sqrt{2\hbar m\omega}}$$ である。したがって $$[a_k,a_l^\dagger] = \frac{-im\omega[X_k,P_l]+im\omega[P_k,X_l]}{2\hbar m\omega} = \delta_{kl}.$$ また $[a_k,a_l]=[a_k^\dagger,a_l^\dagger]=0$ である。
2. 各方向について $$X_k=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(a_k+a_k^\dagger), \qquad P_k=-i\sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}}(a_k-a_k^\dagger)$$ なので $$H=\hbar\omega\sum_{k=1}^2 \left(a_k^\dagger a_k+\frac12\right).$$ 数演算子 $N_k=a_k^\dagger a_k$ を用いれば $$[H,a_k]=-\hbar\omega a_k, \qquad [H,a_k^\dagger]=\hbar\omega a_k^\dagger$$ となる。
3. 真空状態を $a_1\ket{0}=a_2\ket{0}=0$ で定めると， $$H\ket{0}=\hbar\omega\ket{0}.$$ よって基底エネルギーは $$E_0=\hbar\omega$$ である。
4. 全量子数を $n=n_1+n_2$ とおくと， $$\ket{n_1,n_2} \propto (a_1^\dagger)^{n_1}(a_2^\dagger)^{n_2}\ket{0}, \qquad E_n=\hbar\omega(n+1).$$ $n$ を固定したとき $n_1=0,1,\dots,n$ と選べるので，縮退度は $$g_n=n+1$$ である。低い順には $$\begin{array}{c|c|c} n & E_n & \text{状態} \\\hline 0 & \hbar\omega & \ket{0} \\ 1 & 2\hbar\omega & a_1^\dagger\ket{0},\ a_2^\dagger\ket{0} \\ 2 & 3\hbar\omega & (a_1^\dagger)^2\ket{0},\ a_1^\dagger a_2^\dagger\ket{0},\ (a_2^\dagger)^2\ket{0} \end{array}$$ となる。
5. 角運動量は $$L=X_1P_2-X_2P_1 = -i\hbar(a_1^\dagger a_2-a_2^\dagger a_1)$$ と書ける。これは $a_1,a_2$ の間で量子数を移すだけで，総量子数 $N=N_1+N_2$ は変えない。実際， $$[H,L]=0$$ である。
6. まず $$[L,a_1^\dagger]=i\hbar a_2^\dagger, \qquad [L,a_2^\dagger]=-i\hbar a_1^\dagger$$ が成り立つ。したがって $$A_+^\dagger=\frac{a_1^\dagger+i a_2^\dagger}{\sqrt2}, \qquad A_-^\dagger=\frac{a_1^\dagger-i a_2^\dagger}{\sqrt2}$$ と選べば $$[L,A_+^\dagger]=\hbar A_+^\dagger, \qquad [L,A_-^\dagger]=-\hbar A_-^\dagger.$$ よって $c_+=\hbar$, $c_-=-\hbar$ であり，確かに $c_+>c_-$ である。
7. $H\ket{\alpha}=E_\alpha\ket{\alpha}$, $L\ket{\alpha}=L_\alpha\ket{\alpha}$ とする。 交換関係から $$H A_\pm^\dagger\ket{\alpha} = (E_\alpha+\hbar\omega)A_\pm^\dagger\ket{\alpha},$$ また $$L A_\pm^\dagger\ket{\alpha} = (L_\alpha\pm\hbar)A_\pm^\dagger\ket{\alpha}$$ である。したがって $A_\pm^\dagger\ket{\alpha}$ も同時固有状態である。
8. 真空は $L\ket{0}=0$ を満たすので $$\ket{n,l} = C_{n,l}(A_+^\dagger)^l(A_-^\dagger)^{n-l}\ket{0}$$ に対して $$E_n=\hbar\omega(n+1), \qquad L_{n,l}=\hbar(2l-n)$$ である。 $0\le n\le3$ では，$(L,E)$ は $$\begin{array}{c|c} n & (L,E) \\\hline 0 & (0,\hbar\omega)\\ 1 & (-\hbar,2\hbar\omega),\ (\hbar,2\hbar\omega)\\ 2 & (-2\hbar,3\hbar\omega),\ (0,3\hbar\omega),\ (2\hbar,3\hbar\omega)\\ 3 & (-3\hbar,4\hbar\omega),\ (-\hbar,4\hbar\omega),\ (\hbar,4\hbar\omega),\ (3\hbar,4\hbar\omega) \end{array}$$ である。