名大 情報学研究科 数理情報学 2026年度 院試 解答例・解説

上三角行列では固有値は対角成分から直ちに読めるが、固有空間は非対角成分によって 次元が変わる。ここで $b=0$ かどうかが分岐点であり、さらに $b=0$ のときは $c$ が 残るかどうかで固有空間が変わる。

逆行列とべき乗は、$W$ を「単位行列 $+$ 冪零行列」と見るのが最短である。冪零性を 使えば逆行列は有限の等比級数、べき乗は有限の二項展開になる。最後の一般論も同じ 発想で、正則上三角行列を対角部分と狭義上三角部分に分ければ有限和で逆行列を表せる。

無限級数は、調和数が残ってしまう形に見えても、係数和が $0$ になるように部分分数分解 すると端の項だけが残る。数列平均の極限は Cesaro 平均の基本事実であり、有限個の 初期項の影響が $1/n$ で消えることを示せば十分である。

陰関数定理では、解きたい変数で偏微分した値が非零であることを最初に確認する。定積分 は分母を $\sin(x+\pi/4)$ に直すと、定数項と $\cot$ の積分に分かれる。

Euler 関数の和は「分母を約分したときの分母」や「$\gcd(r,n)$ の値」で分類すると自然に 現れる。Mobius 関数の和は、素因数を選ぶか選ばないかの二項展開である。最後の乗法性は 中国剰余定理を単元に制限するのが最も簡潔で、互いに素であるという仮定がそこで使われる。

$h_a$ のような2値関数では、「値が $1$ になる集合」の逆像を追うと議論が整理できる。 連続写像で表せるなら、開集合や閉集合の逆像として得られる性質を満たさなければならない。 (3)と(4)はそれぞれ開集合・閉集合の逆像を使った不可能性の証明である。

(5)では、$[0,1)$ よりも少し複雑な2値関数を作る必要がある。$\mathbb{Q}\cap[2,3]$ を 加えることで、値が $1$ になる集合を局所閉でない集合にしている。一方で、合成に使う 連続関数の値域を $2$ 未満に抑えることで、追加した部分を避けたまま $[0,1)$ だけを 引き戻せる。

期待値が実数になる条件は、観測量が Hermite 行列であるという量子力学の基本条件そのもの である。指数行列は $X^2=I$ を使えば三角関数に分かれる。

二体系の積状態判定では、係数を $2\times2$ 行列に並べて階数を見るのが速い。階数が $1$ ならテンソル積に分解でき、階数が $2$ なら分解できないためエンタングルである。 この問題では行列式が $-ab$ なので、判定は $a,b$ がともに非零かどうかに尽きる。

最長路問題は一般の有向グラフでは難しいが、DAG ではトポロジカル順序があるため、 各頂点に入る辺からの最大値を一度ずつ見ればよい。これは最短路の緩和と同じ形だが、 閉路がないので「後から戻って更新される」ことが起こらない。

本数を数える拡張では、距離の最大値を更新する場合と、同じ最大値に並ぶ場合を分ける。 上書きと加算を混同すると、最長でないパスの本数まで混ざるため注意が必要である。