名大 情報学研究科 数理情報学 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（全6問）

(1)

与えられた行列を $$M_{a,b,c}=aI+N,\qquad N= \begin{pmatrix} 0&b&c\\ 0&0&b\\ 0&0&0 \end{pmatrix}$$ と書く。上三角行列なので固有値は対角成分から読み取れ、固有値は $a$ のみである。 固有空間は $Nx=0$ を解けばよい。$x={}^t(x_1,x_2,x_3)$ とすると $$bx_2+cx_3=0,\qquad bx_3=0$$ である。したがって $$E_a= \begin{cases} \operatorname{span}\{(1,0,0)^t\}, & b\ne 0,\\[2mm] \operatorname{span}\{(1,0,0)^t,(0,1,0)^t\}, & b=0,\ c\ne 0,\\[2mm] \mathbb{R}^3, & b=0,\ c=0. \end{cases}$$

(2)

$W=I+N$ とおくと $$N= \begin{pmatrix} 0&2&3\\ 0&0&2\\ 0&0&0 \end{pmatrix}, \qquad N^2= \begin{pmatrix} 0&0&4\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}, \qquad N^3=O.$$ よって $$W^{-1}=(I+N)^{-1}=I-N+N^2 = \begin{pmatrix} 1&-2&1\\ 0&1&-2\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$$

(3)

$B=(b_{ij})$ を対角成分がすべて $0$ の上三角行列とする。このとき $b_{ij}\ne 0$ となりうるのは $i<j$ の場合だけである。 $(B^r)_{ij}$ は $$b_{ii_1}b_{i_1i_2}\cdots b_{i_{r-1}j}$$ の和で表されるが、非零になりうる積では添字が $$i<i_1<i_2<\cdots<i_{r-1}<j$$ と厳密に増加しなければならない。$r=k$ のとき、$k+1$ 個の添字を $1,\ldots,k$ の中で厳密に増加させることはできない。したがって $B^k=O$ である。

(4)

二項定理と $N^3=O$ より、$n\ge 0$ について $$W^n=(I+N)^n=I+nN+\binom{n}{2}N^2.$$ したがって $$W^n= \begin{pmatrix} 1&2n&3n+4\binom{n}{2}\\ 0&1&2n\\ 0&0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&2n&2n^2+n\\ 0&1&2n\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$$

(5)

正則な上三角行列 $A$ は、対角成分がすべて非零である。$D$ を $A$ の対角成分だけを 残した対角行列、$U=A-D$ とすると、$U$ は狭義上三角行列であり $$A=D(I+D^{-1}U)$$ と書ける。$D^{-1}U$ も狭義上三角行列なので、(3)より $(D^{-1}U)^k=O$ である。よって $$A^{-1} = \left(I-D^{-1}U+(D^{-1}U)^2-\cdots+(-1)^{k-1}(D^{-1}U)^{k-1}\right)D^{-1}.$$ 右辺は上三角行列の積と和であるから、$A^{-1}$ も上三角行列である。