名大 情報学研究科 数理情報学 2024年度 院試 過去問 解答例・解説（全6問）

(1)

$v=(v_1,v_2)^t,\ w=(w_1,w_2)^t$ とする。第1変数については、任意の $u=(u_1,u_2)^t,\ v=(v_1,v_2)^t$ に対して $$(u+v)\otimes w = \begin{pmatrix} (u_1+v_1)w_1\\ (u_1+v_1)w_2\\ (u_2+v_2)w_1\\ (u_2+v_2)w_2 \end{pmatrix} = u\otimes w+v\otimes w.$$ 第2変数についても同様に $$v\otimes (w+z) = \begin{pmatrix} v_1(w_1+z_1)\\ v_1(w_2+z_2)\\ v_2(w_1+z_1)\\ v_2(w_2+z_2) \end{pmatrix} = v\otimes w+v\otimes z.$$ また、$a\in\mathbb{R}$ に対して $$(av)\otimes w = \begin{pmatrix} av_1w_1\\ av_1w_2\\ av_2w_1\\ av_2w_2 \end{pmatrix} = a(v\otimes w) = v\otimes (aw).$$ したがってクロネッカー積は双線形である。

(2)

$Av=\alpha v,\ Bw=\beta w$ とする。行列のクロネッカー積の基本性質より $$(A\otimes B)(v\otimes w)=Av\otimes Bw =\alpha v\otimes \beta w =\alpha\beta (v\otimes w).$$ 固有ベクトルは零ベクトルでないから、$v\otimes w$ も零ベクトルではない。よって $v\otimes w$ は $A\otimes B$ の固有値 $\alpha\beta$ に属する固有ベクトルである。

(3)

与えられた $4$ 次正方行列は $$M= \begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}$$ と分解できる。左の行列の固有値・固有ベクトルは $$3:\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\qquad 1:\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix},$$ 右の行列の固有値・固有ベクトルは $$4:\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\qquad 2:\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$$ である。したがって (2) から、$M$ の固有値と対応する固有ベクトルは $$\begin{array}{c|c} \text{固有値} & \text{固有ベクトルの一例}\\ \hline 12 & (1,1,1,1)^t\\ 6 & (1,-1,1,-1)^t\\ 4 & (1,1,-1,-1)^t\\ 2 & (1,-1,-1,1)^t \end{array}$$ である。これら4本の固有ベクトルは互いに直交し、一次独立なので、固有ベクトルは それぞれのスカラー倍全体で尽くされる。