千葉大 融合理工学府 先進理化学専攻 物理学コース 物理学 2026年度 院試 解答例・解説

方針

この問題は多自由度振動の標準形 $$M\ddot{\boldsymbol{x}}+C\boldsymbol{x}=0$$ に落とす問題である。質量行列は $mI$、剛性行列は弾性エネルギーの二次形式から読む。特に 1 階と地面の間だけばね定数が $2k$ であるため、$x_1^2$ の係数が大きくなる。

途中式の見方

ポテンシャルを展開すると $$V=\frac{1}{2}\boldsymbol{x}^{\mathsf T} k \begin{pmatrix} 3&-1&0\\ -1&2&-1\\ 0&-1&1 \end{pmatrix} \boldsymbol{x}$$ である。したがって $\partial V/\partial x_i$ を取れば運動方程式がそのまま得られる。符号は $$m\ddot{x}_i=-\frac{\partial V}{\partial x_i}$$ で決まるので、隣接階との差の符号を暗算で決めない方が安全である。

検算

剛性行列は対称行列で、対角成分は正、隣接する階の結合だけが負になっている。固有値 $$2-\sqrt{3},\quad 2,\quad 2+\sqrt{3}$$ はいずれも正なので、静止位置まわりの振動は安定である。また $2-\sqrt{3}\simeq 0.27$ なので、最低モードが他のモードよりかなり低いことも数値結果 $1.2\,\mathrm{Hz}$ と整合する。

典型ミス

$\omega=\sqrt{k/m}\lambda$ と置いているため、特性方程式に入るのは $\lambda$ ではなく $\lambda^2$ である。ここを取り違えると、固有角振動数をさらに平方根にする段階で誤る。また、最後の柱本数の問題では $f\propto\sqrt{k}$ であって $f\propto k$ ではない。

試験で書くべきポイント

ラグランジアン、3本の運動方程式、行列形、特性方程式、数値評価の順に書くと採点者が追いやすい。最後は $n$ が整数であることを明記し、$6.6$ を切り上げて $7$ とする。

方針

前半は同心球殻コンデンサー、後半は一様に帯電した回転球殻が作る磁場である。電場はガウスの法則で即座に決まり、磁場は表面電流密度の角度依存性が $\sin\theta$ であることから、磁気スカラーポテンシャルの $P_1(\cos\theta)$ 成分だけを残せばよい。

境界条件の意味

磁束密度の動径成分は連続なので $$B_r^{\mathrm{in}}(R_1)=B_r^{\mathrm{out}}(R_1)$$ である。一方、表面電流があると接線成分は不連続で $$\boldsymbol{e}_r\times \left(\boldsymbol{B}_{\mathrm{out}}-\boldsymbol{B}_{\mathrm{in}}\right) =\mu_0\boldsymbol{K}$$ となる。この式の符号を間違えると $\alpha_1,\beta_1$ の符号が反転し、原点の磁場の向きとも合わなくなる。

検算

原点での磁束密度は、リングを足し合わせた結果 $$B(0)=\frac{\mu_0Q\omega}{6\pi R_1}$$ である。スカラーポテンシャルから得た内部磁場も同じ値の一様磁場になるので、係数の検算になっている。

典型ミス

ポインティングベクトルを全空間に書いてしまう誤りが多い。電場は $R_1<r<R_2$ にしか存在しないので、内側の球殻内部や外側球殻の外では $\boldsymbol{S}=0$ である。また $\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}$ では $B_r$ 成分は寄与せず、$B_\theta$ 成分だけが $\boldsymbol{e}_\varphi$ 方向の流れを作る。

試験で書くべきポイント

電場、ポテンシャル、エネルギーを領域ごとに明示する。磁場では、表面電流密度、$\alpha_n,\beta_n$ の関係、$n=1$ だけが残る理由、最後の磁場の領域別表示まで書けば十分に筋の通った答案になる。

方針

前半は独立な二準位系、後半は格子気体の平均場近似である。セル数 $M=V/v$ が体積に比例するため、自由エネルギーやグランドポテンシャルを $V$ で微分すると圧力が出る。

途中式の要点

相互作用なしでは、各セルが $n=0,1$ の2状態を取るだけなので $$z_1=1+e^{-\beta\varepsilon}$$ を $M$ 乗する。平均エネルギーは $$-\partial_\beta\ln Z$$ から求めると符号ミスが少ない。

平均場近似の読み方

平均場エネルギーには $$M\frac{zJ}{2}\bar n^2$$ という定数項がある。この項は $N$ の期待値には効かないが、グランドポテンシャルには効くため、圧力の $-zJ\bar n^2/(2v)$ を落としてはいけない。

検算

自己無撞着方程式から $$0<\bar n<1$$ が自動的に満たされる。圧力の式に現れる $\ln[1/(1-\bar n)]$ は $\bar n\to 1$ で発散し、排他的な2状態セルの詰まりに対応している。

典型ミス

臨界温度を求めるときに $\partial P/\partial\bar n=0$ だけを解くと、$\bar n$ を含む式で止まってしまう。減少領域が「存在する」条件なので、$\bar n(1-\bar n)$ の最大値 $1/4$ を使うのが最後の一手である。

試験で書くべきポイント

$\Xi$、$\langle N\rangle$、自己無撞着方程式、圧力の $\bar n$ 表示、臨界条件の順に並べる。$z=6$ を最後に代入して $T_c=3J/(2k)$ と書けばよい。

方針

前半は有限深さ井戸の偶奇分解、後半は縮退摂動論である。対称ポテンシャルでは偶関数と奇関数に分けると、接続条件がそれぞれ1本の超越方程式にまとまる。

束縛状態数の考え方

$$\rho=a\sqrt{2mV_0}/\hbar$$ と置くと、井戸が深くなるにつれて偶、奇、偶、奇、... の順に束縛状態が増える。基底の偶状態は必ず存在し、最初の奇状態は $\rho>\pi/2$ で現れる。次の偶状態は $\rho>\pi$ で初めて束縛されるので、2個だけの条件は $\pi/2<\rho\le\pi$ である。

Stark 効果の見方

$z$ は奇パリティの演算子なので、同じパリティ同士の行列要素は消える。$2s$ と $2p_z$ だけが結合し、$2p_x,2p_y$ は1次ではシフトしない。ここで縮退摂動論を使わずに単なる期待値だけを見ると、$\pm3eE_0a_0$ の分裂を見落とす。

Zeeman 効果の見方

磁場摂動は $$\mu_BB_0(m_l+\sigma)$$ と読める。ただし $\sigma=+1,-1$ は $2S_z/\hbar$ の固有値である。したがって、空間部分を $L_z$ の固有関数 $\psi_\pm$ に直してからスピンを掛けるのが最短である。

検算

電場摂動はトレースがゼロなので、1次シフトの和もゼロである。磁場摂動も8状態全体でシフトを足すとゼロになり、縮退多重項全体の重心が1次で動かないことと整合する。

試験で書くべきポイント

有限井戸では $k,\kappa$ の定義と接続条件を必ず書く。水素原子では、$\psi_1,\psi_2$ をそのまま使わず $(\psi_1\pm i\psi_2)/\sqrt2$ に組み替えることを明示する。