千葉大 融合理工学府 先進理化学専攻 物理学コース 物理学 2025年度 院試 解答例・解説

方針

前半は静止系から見た運動エネルギーを使って、回転による $\omega^2r$ の効果を自然に取り込む。後半は管からの抗力を拘束力として取り出すため、管に垂直な座標 $y$ を残してから $y=0$ を課す。

有効ポテンシャル

半径方向の運動方程式は $$\ddot r=-(\Omega^2-\omega^2)r+\Omega^2\ell$$ である。$\omega<\Omega$ では復元力が残るため振動するが、$\omega>\Omega$ では遠心効果がばねの復元力を上回り、不安定になる。$\omega=\Omega$ は境界で、一定加速度運動になる。

抗力の意味

$\lambda=2m\omega\dot x$ は回転座標系でいうコリオリ力を打ち消す拘束力に対応する。$x$ 方向の式だけを先に立てると抗力が消えてしまうため、必ず $y$ 方向の自由度を一度導入する。

磁場による打ち消し

$+z$ 方向の磁場中では、半径方向速度 $\dot x$ に対して管に垂直なローレンツ力が働く。これを $\lambda$ と逆向きに等しくすれば管は力を及ぼさなくてよい。答えは速度 $\dot x$ に依存せず $$B=2m\Omega/q$$ となる。

典型ミス

$U=m\Omega^2(r-\ell)^2/2$ の $\Omega$ はばね定数の代わりであり、円板の角速度 $\omega$ と混同しない。特に $\omega=\Omega$ の場合でもポテンシャルが消えるわけではなく、遠心項とばねの $r$ に比例する項が相殺するだけである。

試験で書くべきポイント

3つの場合分けでは、解の式だけでなく「安定振動」「不安定」「等加速度」という言葉を添えると物理的理解が伝わる。抗力の問題では、未定乗数の式とローレンツ力の向きまで書く。

方針

前半は独立な二準位スピンの常磁性、後半はフェルミ面近傍だけが磁化に寄与する Pauli 常磁性である。どちらも磁化の定義が問題文では $M=N\langle S_z\rangle$ または $(N_+-N_-)/2$ で与えられているため、その定義に合わせて係数を扱う。

局在スピンの検算

$H>0$ では低温でほぼ全てのスピンがアップ状態になり、 $$M\to N/2$$ に飽和する。飽和後は磁場を少し変えても磁化がほとんど変わらないので、固定磁場での低温帯磁率がゼロに向かうのは自然である。

状態密度の数え方

スピン自由度なしなので、波数空間の状態数は $$\frac{V}{(2\pi)^3}4\pi k^2dk$$ だけでよい。ここで余計なスピン因子 2 を掛けると、後半の $D_\pm$ で二重に数えることになる。

自由電子ガスの磁化

低磁場での粒子数差は、フェルミ分布を左右に少しずらした差である。部分積分により $$-\int f'D=\int fD'$$ と書けるので、問題文が許している $D'(\varepsilon)$ を使った表現に自然につながる。

典型ミス

局在スピン系の低温・固定磁場での $\chi$ と、ゼロ磁場極限での $\chi(0)$ を混同しやすい。最後の比較は $H\to0$ の帯磁率なので、局在スピンは Curie 型の $1/T$、自由電子ガスは Pauli 型のほぼ定数である。

試験で書くべきポイント

分配関数、磁化、帯磁率の順で前半を終え、後半では $\Xi_{\boldsymbol{k}}$、フェルミ分布、状態密度、低磁場展開を順に書く。最後に温度依存性の違いを文章で明確に述べる。

方針

前半は通常のサイクロトロン運動で、半周期が速さに依存しないことを示す。後半は弱収束の問題で、磁場の半径勾配が鉛直方向と動径方向の安定性に反対向きの制限を与えることを見る。

半周期が一定になる理由

$$r=\frac{mv}{qB_z}$$ なので、速い粒子ほど大きな半径を回る。半円の長さ $\pi r$ も速さに比例して大きくなるため、通過時間 $$T=\pi r/v$$ は速さに依存しない。

磁場勾配の符号

$\mu<0$ は $B_z$ が外側ほど弱くなる場合である。このとき中央面の上では $B_r<0$ となり、時計回りに走る陽子には中央面へ戻す力が働く。符号は運動方向と $\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}$ の向きで確認する。

動径安定性

動径方向では、半径が少し大きくなると角速度が角運動量保存により下がる一方、磁場も $\mu$ に応じて変化する。1次まで展開すると復元係数が $(1+\mu)\omega^2$ になるので、$\mu<-1$ では動径方向に不安定となる。

典型ミス

標準的な加速器の記号では field index を $n=-(r/B)dB/dr$ と置くことが多い。この問題の $\mu$ はその反対符号であるため、既知公式を使う場合は $\mu=-n$ に直す必要がある。

試験で書くべきポイント

数値問題では MeV から J への変換、半径条件から $B_z$ を出す式を必ず書く。安定条件では、鉛直方向から $\mu<0$、動径方向から $\mu>-1$、最後に共通範囲 $-1<\mu<0$ とまとめる。

方針

前半はガウス試行関数による変分法で、実は正確な基底状態を再現する。後半は生成消滅演算子と、低次の摂動論を使う問題である。

変分法の検算

$$E(A)=\frac14\left(A+\frac1A\right)$$ は相加相乗平均より $E(A)\ge1/2$ を直ちに満たす。最小が $A=1$ で、調和振動子の正確な基底エネルギー $1/2$ と一致する。

励起状態の形

$u_n$ は $n$ 個の節をもつ。概形を描くときは、$u_0$ が正の偶関数、$u_1$ が原点で符号反転する奇関数、$u_2$ が左右2点でゼロになる偶関数であることを押さえればよい。

線形摂動の変分計算

$\lambda x$ は偶関数と奇関数を結合するので、$u_0+\beta u_1$ という試行関数が自然である。2次までの展開では $$E(\beta)=\frac12+\sqrt2\lambda\beta+\beta^2$$ となり、平方完成して $$E=\frac12+\left(\beta+\frac{\lambda}{\sqrt2}\right)^2-\frac{\lambda^2}{2}$$ と見れば最小値がすぐ分かる。

四次摂動の検算

基底状態の幅は $$\langle x^2\rangle_0=\frac{\hbar}{2m\omega}$$ である。ガウス分布では $\langle x^4\rangle=3\langle x^2\rangle^2$ なので、四次摂動の1次補正は正になる。これは $\lambda>0$ のポテンシャルが閉じ込めを強くすることと整合する。

典型ミス

$f_A$ は規格化されていないので、必ず $\langle f_A|f_A\rangle$ で割る必要がある。また $\phi_\beta$ も規格化されていないため、分母 $1+\beta^2$ を落とすと $\lambda^2$ の係数が誤る。

試験で書くべきポイント

ガウス積分、$E(A)$ の最小化、生成演算子での $u_1,u_2$、変分パラメータ $\beta$ の最小化、最後に一般単位での $\lambda x^4$ の1次補正、という順に書くと見通しがよい。