千葉大 融合理工学府 先進理化学専攻 物理学コース 物理学 2023年度 院試 過去問 解答例・解説

円周に沿ったつり合い位置の距離を，質点 $1$ から $2$ までを $a$，$2$ から $3$ までを $b$，$3$ から $1$ までを $c$ とする。$a+b+c=L$ である。つり合いではポテンシャル $$\frac12k(a-\ell)^2+\frac12k'(b-\ell)^2+\frac12k(c-\ell)^2$$ が最小になるので $$a=c,\qquad k'(b-\ell)=k(c-\ell).$$ $r=k/k'$ とおくと $$x'_2=a=\frac{L+(r-1)\ell}{r+2}.$$ したがって $x'_2(0)=(L-\ell)/2$，$x'_2(1)=L/3$，$r\to\infty$ で $x'_2\to\ell$ であり，単調に減少する。

つり合い位置からのずれを $x_1,x_2,x_3$ とする。運動エネルギーとポテンシャルは $$T=\frac12m(\dot x_1^2+\dot x_2^2+\dot x_3^2),$$ $$V=\frac12k(x_2-x_1)^2+\frac12k'(x_3-x_2)^2 +\frac12k(x_1-x_3)^2.$$ よって $$L=T-V.$$ 運動方程式は $$\ddot{\mathbf{x}}+A\mathbf{x}=0,\qquad \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)^T$$ で， $$A= \begin{pmatrix} 2\lambda & -\lambda & -\lambda\\ -\lambda & \lambda+\lambda' & -\lambda'\\ -\lambda & -\lambda' & \lambda+\lambda' \end{pmatrix}.$$ 固有ベクトルを規格化して $$\mathbf{e}_1=\frac1{\sqrt3}(1,1,1),\quad \mathbf{e}_2=\frac1{\sqrt6}(-2,1,1),\quad \mathbf{e}_3=\frac1{\sqrt2}(0,1,-1)$$ と取ると，固有値はそれぞれ $$0,\qquad 3\lambda,\qquad \lambda+2\lambda'$$ である。したがって固有角振動数は $$0,\qquad \sqrt{3\lambda},\qquad \sqrt{\lambda+2\lambda'}.$$ 正規座標を $$X_1=\frac{x_1+x_2+x_3}{\sqrt3},\quad X_2=\frac{-2x_1+x_2+x_3}{\sqrt6},\quad X_3=\frac{x_2-x_3}{\sqrt2}$$ とすれば $$E=\frac12\sum_{i=1}^3\left(m\dot X_i^2+k_iX_i^2\right),$$ $$k_1=0,\qquad k_2=3k,\qquad k_3=k+2k'$$ である。

初期条件 $(-2x_0,2x_0,0)$，速度 $0$ の場合は $$X_1(0)=0,\quad X_2(0)=\sqrt6x_0,\quad X_3(0)=\sqrt2x_0$$ なので $$x_2(t)=x_0\cos(\sqrt{3\lambda}\,t) +x_0\cos(\sqrt{\lambda+2\lambda'}\,t).$$ 初期条件 $(x_0,x_0,x_0)$，速度 $(0,3v_0,3v_0)$ の場合は $$X_1(t)=\sqrt3x_0+2\sqrt3v_0t,\qquad X_2(t)=\frac{\sqrt6v_0}{\sqrt{3\lambda}}\sin(\sqrt{3\lambda}\,t),$$ $X_3(t)=0$ であるから $$x_2(t)=x_0+2v_0t+\frac{v_0}{\sqrt{3\lambda}}\sin(\sqrt{3\lambda}\,t).$$

$\Delta\lambda=\lambda'-\lambda$ が小さいとき， $$\sqrt{\lambda+2\lambda'}=\sqrt{3\lambda+2\Delta\lambda} \simeq \sqrt{3\lambda}\left(1+\frac{\Delta\lambda}{3\lambda}\right).$$ したがって二つの角振動数の差は $$\Delta\omega\simeq \sqrt{3\lambda}\frac{\Delta\lambda}{3\lambda}.$$ うなりの包絡線の最初の節が $t=2.5\tau_0$ にあるので $$\frac{\Delta\omega}{2}(2.5\tau_0)=\frac{\pi}{2}.$$ $\tau_0=4\pi/\sqrt{3\lambda}$ を用いると $$\frac{\Delta\lambda}{\lambda}\simeq 0.30.$$