千葉大 融合理工学府 先進理化学専攻 物理学コース 物理学 2023年度 院試 解答例・解説

方針

つり合い位置の問題と，つり合いからの微小振動の問題を分ける。微小振動では，ばねの自然長や円周長は消え，ずれの差だけがポテンシャルに残る。

ゼロモード

$(1,1,1)$ は全質点を同じだけ円周方向へ動かす剛体移動で，ばねの長さを変えない。したがって固有角振動数 $0$ が必ず現れる。この確認は行列 $A$ の各行和が $0$ であることでも分かる。

正規座標の選び方

質点 $2$ と $3$ が対称なので，$x_2-x_3$ は一つの独立モードになる。残る非自明モードは $x_2=x_3$ で質点 $1$ が反対向きに動く形である。対称性から先に固有ベクトルを読めば，三次方程式を解かずに済む。

うなりの読み取り

二つの近い角振動数の和は高速振動を，差は包絡線を作る。包絡線の節を読むときは $\cos(\Delta\omega t/2)=0$ を使う。$2.5\tau_0$ をその最初の節として読むのが図の意図である。

方針

前半は Maxwell 方程式から横波性と分散関係を出す標準問題である。後半は自由電子の駆動応答から分極を計算し，誘電率の周波数依存性を得る。

磁場の向き

進行方向が $+z$，電場が $+x$ なら，$\mathbf{E}\times\mathbf{B}$ が $+z$ を向く必要がある。したがって磁場は $+y$ 方向である。大きさは真空中平面波の関係 $B=E/c$ でも検算できる。

電子変位の符号

電子は負電荷なので，分極 $P=-Nex$ は電場と逆向きになる。そのため誘電率は $\epsilon_0$ より小さくなり，低周波側で負になる。この符号を逆にするとプラズマ遮蔽が説明できない。

数値評価

全反射条件は $\omega_p>2\pi f$ である。角振動数と通常の振動数を混同して $2\pi$ を落とすと，必要電子密度が約 $40$ 倍ずれる。

方針

古典分配関数では $q$ 積分と $p$ 積分が分離する。非調和項は小さいので，ボルツマン因子を一次まで展開し，調和振動子のガウス平均で補正を計算する。

エネルギー等分配との関係

調和振動子の $U=N/\beta=Nk_BT$ は，運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの二つの二次項がそれぞれ $k_BT/2$ を持つことと一致する。

非調和補正の符号

今回の四次項は正なので，大きな $|q|$ の配置を抑える。したがって $\langle q^2\rangle$ は調和振動子より小さくなる。得られた補正が負であることは重要な検算である。

典型ミス

$z$ の補正を出すとき，分母の規格化補正を忘れると $\langle q^2\rangle$ の係数がずれる。期待値の一次補正は $\langle A\rangle=\langle A\rangle_0-\beta\epsilon(\langle AH_1\rangle_0-\langle A\rangle_0\langle H_1\rangle_0)$ の形で書くと安全である。

方針

前半は生成消滅演算子の代数を順に確認する。後半は磁場中の二次元運動を，正準共役な $Q,P$ を使って一次元調和振動子に写す。

非負性の要点

$\hat N=\hat a^\dagger\hat a$ の期待値はノルム二乗である。この一行が，固有値が負にならないことの核心である。ここを書かずに「数演算子だから非負」とだけ述べると，設問の要求に答えたことになりにくい。

基底状態の導出

$\hat a\phi_0=0$ は一次微分方程式であり，正規化可能な解はガウス関数だけである。指数の符号が逆になると無限遠で発散するため，物理的状態ではない。

ランダウ準位の注意

エネルギーは $|qB|$ に依存する。電荷や磁場の符号は回転方向を変えるが，準位間隔は正のサイクロトロン角振動数で決まる。