千葉大 融合理工学府 先進理化学専攻 物理学コース 物理学 2021年度 院試 解答例・解説

方針

中心力問題は，角運動量保存により平面運動へ落とし，有効ポテンシャルで動径運動を 1 次元問題として扱う。後半の $r^2$ ポテンシャルでは $x=r^2$ が自然な変数である。

途中式の意味

$U_{\mathrm{eff}}$ の遠心項は原点への落ち込みを防ぐ正の障壁である。$cr^\lambda$ の束縛条件は，$r\to0$ と $r\to\infty$ で有効ポテンシャルがどう振る舞うかを比較して判断する。

検算

$U=cr^2$ は 2 次元等方調和振動子に対応する。動径が最小から最大へ移る間に角度が $\pi/2$ 進むので，閉じた楕円軌道になることと一致する。また $\langle U\rangle=E/2$ はビリアル定理の結果でもある。

典型ミス

$\dot{\boldsymbol{r}}^2$ を $\dot r^2$ だけにして角運動の項を落とすミスが多い。円運動の条件では $U_{\mathrm{eff}}$ を微分するのであり，$U$ だけを微分してはいけない。

試験で書くべきポイント

保存量を示す部分では，$\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}=0$ とエネルギー微分の相殺を明示する。積分公式を使う箇所では $x=r^2$ への変換と $dt$ の形を書いておくと，結果だけを書くより説得力が高い。

方針

前半は表示変換と Airy 関数の境界条件，後半は固有関数展開と伝播核で解く。重力ポテンシャルは線形なので，波束中心は Ehrenfest の定理どおり古典運動に従う。

途中式の意味

Airy 関数の引数が $x/l-E/(mgl)$ になるのは，運動エネルギー項と重力ポテンシャル項の係数をそろえるためである。ミラー境界は $x=0$ で波動関数を 0 にするので，Airy 関数の負のゼロ点がエネルギー量子化を決める。

検算

エネルギーの次元は $mgl$ で，$l$ は長さである。得られる中性子のエネルギーは pico eV 程度で，重力量子状態として知られる非常に小さいスケールと合っている。

典型ミス

運動量表示で $\hat x=-i\hbar d/dp$ と符号を逆にすると，交換関係の符号が合わない。伝播核では複素共役 $\psi_n^*(w)$ を落とすと，$t=0$ のデルタ関数が正しく出ない。

試験で書くべきポイント

概形を描く問題では，節の数，$x=0$ の境界条件，転回点より上での減衰を言葉でも説明する。最後の波束問題は完全積分ができなくても，中心と幅の物理的依存性を明示すれば部分点を取りやすい。

方針

状態密度の温度依存性は，分散関係から状態数 $N(\varepsilon)$ の冪を数えるだけで決まる。ディラック電子では線形分散かつ二次元なので，状態密度がエネルギーに比例する。

途中式の意味

熱エネルギーの積分で $\varepsilon=xkT$ と置くと，温度依存性は積分の前に出る冪だけで決まる。フェルミ分布の積分値は係数を決めるために必要で，$T^2$ という熱容量の冪は状態密度の線形性から来ている。

検算

通常の二次元放物型電子なら状態密度は定数で，低温熱容量は $T$ に比例する。一方，ディラック点では状態密度が 0 から線形に立ち上がるため，余分に $T$ が掛かって $T^2$ になる。

典型ミス

負エネルギー側をそのまま無限に積分して真空エネルギーを数えると発散する。ここでは絶対零度の充填状態を基準にし，熱で励起された電子と正孔だけを数える。スピン縮退を入れるかどうかも係数を変えるので，答案内で規約を明記する。

試験で書くべきポイント

係数まで求める設問では，面積因子 $L^2/(2\pi)^2$，円環の $2\pi k\,dk$，スピン縮退 2 を順に書く。磁化率では，励起数が $T^2$，Curie 則が $1/T$ なので全体が $T$ に比例することを言葉で確認する。

方針

前半はガウスの法則，後半は像電荷法を使う。球内の電場が位置に比例するため，点電荷の運動は調和振動になる。

途中式の意味

一様帯電球は外部から見ると中心の点電荷と同じ電場を作るが，内部では包む電荷が $r^3$ に比例するので電場は $r$ に比例する。二つの $+q/2$ のつり合いは，球からの引力と相互反発の 1 本の式で決まる。

検算

$z=\pm a/2$ の二点電荷を加えると，全電荷は 0，双極子も対称性で 0 になる。したがって遠方の先頭項が $1/r^3$ になるのは多重極展開として自然である。

典型ミス

接地平面がある最後の設問で，点電荷自身の像だけを入れると原点に定数力が残り，原点まわりの単振動にならない。帯電球の像も入れることで定数力が相殺され，1 次の復元力だけが残る。

試験で書くべきポイント

像電荷法では，どの実電荷にどの像を置いたかを明記する。最後の振動数比は角振動数の比なので，力の係数の比を取ったあと平方根を忘れない。