千葉大 融合理工学府 先進理化学専攻 物理学コース 物理学 2021年度 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

中心力では力が常に $\boldsymbol{r}$ に平行なので $$\dot{\boldsymbol{\ell}} =\frac{d}{dt}(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}) =\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}=0 .$$ また $$E=\frac{m}{2}\dot{\boldsymbol{r}}^2+U(r)$$ について $$\frac{dE}{dt} =m\dot{\boldsymbol{r}}\cdot\ddot{\boldsymbol{r}} +U'(r)\dot r =\dot{\boldsymbol{r}}\cdot\{-U'(r)\hat{\boldsymbol{r}}\}+U'(r)\dot r=0 .$$ 角運動量を $z$ 軸にとると運動は $xy$ 平面内で， $$K=\frac{m}{2}(\dot r^2+r^2\dot\theta^2), \qquad \ell_z=mr^2\dot\theta .$$ したがって $$E=\frac{m}{2}\dot r^2+U_{\mathrm{eff}}(r), \qquad U_{\mathrm{eff}}(r)=U(r)+\frac{\ell_z^2}{2mr^2},$$ $$m\ddot r=-\frac{dU_{\mathrm{eff}}}{dr} =-U'(r)+\frac{\ell_z^2}{mr^3}.$$

$U(r)=cr^\lambda$，$\lambda>-2$ を考える。$\lambda>0$ では無限遠で閉じ込めるために $c>0$ が必要である。$-2<\lambda<0$ では無限遠で $U\to0$，原点では遠心項が正に発散するため，引力井戸を作る条件は $c<0$ である。

円運動では $U'_{\mathrm{eff}}(r_0)=0$ より $$c\lambda r_0^{\lambda-1} =\frac{\ell_z^2}{m r_0^3}, \qquad r_0=\left(\frac{\ell_z^2}{mc\lambda}\right)^{1/(\lambda+2)} .$$ このとき $$E_0=\frac{\ell_z^2}{2mr_0^2}+cr_0^\lambda =\left(1+\frac{\lambda}{2}\right)c r_0^\lambda, \qquad \frac{U(r_0)}{E_0}=\frac{2}{\lambda+2}.$$

以後 $\lambda=2$ とし，$U=cr^2$，束縛運動なので $c>0$ とする。$x=r^2$ とおくと turning point は $$c x^2-E x+\frac{\ell_z^2}{2m}=0$$ の 2 根であり， $$r_\pm^2=x_\pm =\frac{E\pm\sqrt{E^2-2c\ell_z^2/m}}{2c}.$$ 動径運動から $$dt=\sqrt{\frac{m}{8c}}\, \frac{dx}{\sqrt{(x_+-x)(x-x_-)}}$$ を得るので $$t_+-t_-=\pi\sqrt{\frac{m}{8c}}.$$ また $$\Delta\theta =\int_{t_-}^{t_+}\frac{\ell_z}{mr^2}\,dt =\frac{\ell_z}{m}\sqrt{\frac{m}{8c}} \int_{x_-}^{x_+} \frac{dx}{x\sqrt{(x_+-x)(x-x_-)}} =\frac{\pi}{2}\operatorname{sgn}\ell_z .$$ 最後に $$\langle U\rangle =\frac{1}{t_+-t_-} \int_{t_-}^{t_+}cx\,dt =c\frac{x_++x_-}{2} =\frac{E}{2}.$$