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千葉大学 院試 過去問 解答例

千葉大 融合理工学府 先進理化学専攻 物理学コース 物理学 2022年度 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

全4問。電磁気学・回路1問・熱・統計力学1問・量子力学1問。テーマタグは3件（剛体の回転運動・分配関数・静電場）。2021年度と共通のテーマは静電場。

最終更新:

収録6年度分の解答PDF：千葉大学 融合理工学府 先進理化学専攻 物理学コース 物理学（￥3,200・紙面見本あり）

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解説4問と大問1問の途中式・最終答（全4問）
解答PDFに収録
途中式と最終答（最終答つき4問）
問題本文
非収録

千葉大 物理学 2022年度 院試 過去問の出題内容（全4問）

この4問の分野は電磁気学・回路1問・熱・統計力学1問・量子力学1問・力学1問です。

大問分野主題解説の小見出し最終答
第1問力学剛体の回転途中式の意味あり
第2問電磁気学・回路電磁気途中式の意味あり
第3問量子力学量子散乱途中式の意味あり
第4問熱・統計力学統計力学途中式の意味あり

この年度の解説には検算4件・試験で書くべきポイント4件・典型ミス4件が付いています。

2022年度の出題テーマと、同じテーマを出した他大学・他年度

この年度は3問に3テーマが出ています。

テーマこの年度全体の出題実績他大学の直近出題
剛体の回転運動第1問16大学・103問
分配関数第4問16大学・88問
静電場第2問16大学・81問

前年度（2021年度）との違い

大問数
2021年度 4問 → 2022年度 4問
両年度に出たテーマ
静電場
2022年度で新しく出たテーマ
剛体の回転運動・分配関数
2021年度のページを見る

第1問 — 剛体の回転

方針

前半は面積分で重心と慣性モーメントを求め，後半は回転角 θ\theta だけで系を表す 1 自由度問題に落とす。糸が巻きつく場合は，円弧に沿って糸がほどける長さが a dθa\,d\theta であることが運動エネルギーとポテンシャルの両方に効く。

途中式の意味

dd の積分では rcos⁡αr\cos\alpha が対称軸方向の座標で，面素は r dr dαr\,dr\,d\alpha である。慣性モーメントではさらに r2r^2 を掛けるので，II は角度に依存せず Ma2/2Ma^2/2 になる。

検算

ϕ→0\phi\to 0 では細い扇形になり，重心は半径方向の一様な細線の重心 2a/32a/3 に近づく。ϕ→π\phi\to\pi では円板全体になり，重心は頂点である円板中心に戻るので d→0d\to0 で整合する。

典型ミス

巻きつき領域で質点の速度を aθ˙a\dot\theta と入れ忘れると，分母が II だけになり振動数が過大になる。また端点 PP から垂れる場合は，質点の高さが cos⁡(θ+ϕ)\cos(\theta+\phi) を含むので，巻きつき領域の −mgaθ-mga\theta をそのまま使ってはいけない。

試験で書くべきポイント

重心の向きが対称軸上にある理由，糸がほどける長さの符号，平衡条件を U′(θ0)=0U'(\theta_0)=0 から出したことを明記する。最後の極限では式の分母でどの項が支配的かを一言添えると，枝の選択が伝わる。

解答

扇形の対称軸を xx 軸にとり，頂点を原点とする極座標 (r,α)(r,\alpha) を用いる。 面密度を σ\sigma とすると M=σ∫−ϕϕ∫0ar dr dα=σϕa2 M=\sigma\int_{-\phi}^{\phi}\int_0^a r\,dr\,d\alpha =\sigma \phi a^2 である。重心は対称軸上にあり， d=OG=σM∫−ϕϕ∫0arcos⁡α r dr dα=2asin⁡ϕ3ϕ=2a3j(ϕ). d=OG =\frac{\sigma}{M}\int_{-\phi}^{\phi}\int_0^a r\cos\alpha\,r\,dr\,d\alpha =\frac{2a\sin\phi}{3\phi} =\frac{2a}{3}j(\phi). したがって d(0+)=2a/3d(0+)=2a/3，d(π−)=0d(\pi-)=0 で，0<ϕ<π0<\phi<\pi では単調に減少する。頂点を通り板に垂直な軸まわりの慣性モーメントは I=σ∫−ϕϕ∫0ar2 r dr dα=Ma22. I=\sigma\int_{-\phi}^{\phi}\int_0^a r^2\,r\,dr\,d\alpha =\frac{Ma^2}{2}.

糸が円弧に巻きついて鉛直に垂れる場合，質点の鉛直変位は剛体の回転角の変化に対して aθa\theta だけ変わる。符号は，θ\theta が増えると質点が下がる向きを正にとる。よって T=12(I+ma2)θ˙2,U(θ)=Mgd(1−cos⁡θ)−mgaθ. T=\frac12\left(I+ma^2\right)\dot\theta^2, \qquad U(\theta)=Mgd(1-\cos\theta)-mga\theta . 運動方程式は (I+ma2)θ¨+Mgdsin⁡θ−mga=0. (I+ma^2)\ddot\theta+Mgd\sin\theta-mga=0 . 内点の平衡角 θ0\theta_0 は sin⁡θ0=maMd \sin\theta_0=\frac{ma}{Md} で与えられる。これが 0<θ0<ϕ−π/20<\theta_0<\phi-\pi/2 にある条件は 0<maMd<sin⁡(ϕ−π2)=−cos⁡ϕ 0<\frac{ma}{Md}<\sin\left(\phi-\frac{\pi}{2}\right) =-\cos\phi であるから，d=2asin⁡ϕ/(3ϕ)d=2a\sin\phi/(3\phi) を代入して 0<m<−Msin⁡2ϕ3ϕ(π2<ϕ<π). 0<m<-\frac{M\sin 2\phi}{3\phi} \qquad \left(\frac{\pi}{2}<\phi<\pi\right). この平衡点まわりの微小振動では U′′(θ0)=Mgdcos⁡θ0 U''(\theta_0)=Mgd\cos\theta_0 なので，質点の鉛直方向の微小振動の角振動数は ω=Mgdcos⁡θ0I+ma2. \omega=\sqrt{\frac{Mgd\cos\theta_0}{I+ma^2}} .

糸が端点 PP から鉛直に垂れる領域では，PP の鉛直座標の θ\theta 依存性だけが質点のポテンシャルに入る。定数を U(0)=0U(0)=0 に選ぶと U(θ)=Mgd(1−cos⁡θ)+mga{cos⁡ϕ−cos⁡(θ+ϕ)}. U(\theta)=Mgd(1-\cos\theta)+mga\{\cos\phi-\cos(\theta+\phi)\}. したがって平衡条件は Mdsin⁡θ0+masin⁡(θ0+ϕ)=0 Md\sin\theta_0+ma\sin(\theta_0+\phi)=0 であり， tan⁡θ0=−masin⁡ϕMd+macos⁡ϕ=−msin⁡ϕ(2Msin⁡ϕ)/(3ϕ)+mcos⁡ϕ \tan\theta_0= -\frac{ma\sin\phi}{Md+ma\cos\phi} = -\frac{m\sin\phi}{(2M\sin\phi)/(3\phi)+m\cos\phi} のうち，考えている角度範囲に入る枝を選ぶ。特に m≪Mm\ll M では θ0→0\theta_0\to 0，また m≫Mm\gg M で 0<ϕ<π/20<\phi<\pi/2 なら θ0→−ϕ\theta_0\to -\phi である。

最終答

重心距離は d=2asin⁡ϕ/(3ϕ)d=2a\sin\phi/(3\phi)，慣性モーメントは I=Ma2/2I=Ma^2/2。巻きつき領域では T=12(I+ma2)θ˙2T=\frac12(I+ma^2)\dot\theta^2， U=Mgd(1−cos⁡θ)−mgaθU=Mgd(1-\cos\theta)-mga\theta， (I+ma2)θ¨+Mgdsin⁡θ−mga=0(I+ma^2)\ddot\theta+Mgd\sin\theta-mga=0。 内点平衡は sin⁡θ0=ma/(Md)\sin\theta_0=ma/(Md)， 0<m<−Msin⁡2ϕ/(3ϕ)0<m<-M\sin2\phi/(3\phi)， ω=Mgdcos⁡θ0/(I+ma2)\omega=\sqrt{Mgd\cos\theta_0/(I+ma^2)}。 端点から垂れる領域では U=Mgd(1−cos⁡θ)+mga{cos⁡ϕ−cos⁡(θ+ϕ)}U=Mgd(1-\cos\theta)+mga\{\cos\phi-\cos(\theta+\phi)\}， tan⁡θ0=−masin⁡ϕ/(Md+macos⁡ϕ)\tan\theta_0=-ma\sin\phi/(Md+ma\cos\phi)。

第2問 — 電磁気

方針

前半はビオ・サバール則を対称性で簡約し，遠方では磁気双極子として扱う。後半は同軸ケーブルを分布定数回路として連続極限に移す。

途中式の意味

二つの円電流では配置が z↦−zz\mapsto -z に対して対称なので，1 次の係数 Bz′(0)B'_z(0) は自動的に消える。したがって一様性を最初に悪くする項は 2 次項であり，Bz′′(0)=0B''_z(0)=0 が Helmholtz コイル条件になる。

検算

b=a/2b=a/2 は二つのコイル間隔 2b=a2b=a を意味し，標準的な Helmholtz 配置と一致する。同軸ケーブルでは LC=εμLC=\varepsilon\mu となり，電磁波の媒質中の速度と同じになるので次元・物理的意味ともに整合する。

典型ミス

遠方磁場で π\pi を残してしまう誤りが多い。双極子モーメント Iπa2I\pi a^2 と係数 μ0/(4π)\mu_0/(4\pi) の π\pi は相殺される。また同軸ケーブルの CC と LL はどちらも ln⁡(b/a)\ln(b/a) を含むが，速度では相殺される。

試験で書くべきポイント

軸上磁場，双極子近似，Taylor 展開，分布定数回路の連続極限という順に書けば，途中で式が長くなっても採点者が追いやすい。特に Bz′′(0)B''_z(0) の符号と係数 12b2−3a212b^2-3a^2 は明示する。

電磁気の途中式・最終答をPDFで見る

第3問 — 量子散乱

方針

散乱は波動関数の連続条件と確率流の比で処理する。デルタ関数は波動関数を不連続にするのではなく，微分を有限量だけ跳ばす点が重要である。

途中式の意味

透過率には振幅 ∣t∣2|t|^2 だけでなく速度比 K/kK/k が掛かる。束縛状態では左右で指数減衰する形を置き，跳び条件だけで固有エネルギーが決まる。

検算

W→0W\to0 とするとデルタ井戸つきの透過率は階段だけの結果に戻る。束縛状態は α=β\alpha=\beta で E=0E=0 に接して現れるため，しきい値の解釈も自然である。

典型ミス

E<0E<0 の束縛状態で右側の減衰率を 2m(V+E)/ℏ\sqrt{2m(V+E)}/\hbar と書く誤りがある。EE は負なので正しくは 2m(V−E)/ℏ\sqrt{2m(V-E)}/\hbar である。また ⟨x⟩\langle x\rangle の符号は表面のどちら側に広がるかを反映する。

試験で書くべきポイント

波数 k,Kk,K，跳び条件，確率流の速度比，束縛状態の存在条件を順に明記する。数値問題では無次元量 αa,βa\alpha a,\beta a にして計算すると桁を落としにくい。

量子散乱の途中式・最終答をPDFで見る

第4問 — 統計力学

方針

理想気体の並進運動はガウス積分で分配関数を出し，内部自由度は 1 分子分配関数を掛け足す。熱容量は内部エネルギーを温度で微分して求める。

途中式の意味

1/N!1/N! は同種粒子の過剰数え上げを除く因子で，これを入れることで自由エネルギーが示量的になる。二準位問題では縮退度 3 が Boltzmann 因子の係数になる。

検算

並進運動だけなら理想気体の状態方程式 PV=NkTPV=NkT と CV=3Nk/2C_V=3Nk/2 が出る。回転子型の高温極限で内部寄与が NkNk になるのは，二つの回転自由度が各 k/2k/2 の熱容量を持つという等分配則と一致する。

典型ミス

二準位型の高温極限で内部エネルギーは 3ε/43\varepsilon/4 に近づくが，熱容量は 0 に戻る。高温だから熱容量が常に増え続けるわけではない。また回転準位の縮退度 (2j+1)(2j+1) を落とすと zintz_{\mathrm{int}} の温度依存性を誤る。

試験で書くべきポイント

熱容量を答えるとき，問題の指示どおり並進寄与を足した全体の CVC_V を書く。グラフの説明では，二準位型は低温・高温で 0，中間で山を持つことを明記すれば十分である。

統計力学の途中式・最終答をPDFで見る

千葉大 物理学 院試 過去問の収録6年度