千葉大 融合理工学府 先進理化学専攻 物理学コース 物理学 2022年度 院試 解答例・解説

方針

前半は面積分で重心と慣性モーメントを求め，後半は回転角 $\theta$ だけで系を表す 1 自由度問題に落とす。糸が巻きつく場合は，円弧に沿って糸がほどける長さが $a\,d\theta$ であることが運動エネルギーとポテンシャルの両方に効く。

途中式の意味

$d$ の積分では $r\cos\alpha$ が対称軸方向の座標で，面素は $r\,dr\,d\alpha$ である。慣性モーメントではさらに $r^2$ を掛けるので，$I$ は角度に依存せず $Ma^2/2$ になる。

検算

$\phi\to 0$ では細い扇形になり，重心は半径方向の一様な細線の重心 $2a/3$ に近づく。$\phi\to\pi$ では円板全体になり，重心は頂点である円板中心に戻るので $d\to0$ で整合する。

典型ミス

巻きつき領域で質点の速度を $a\dot\theta$ と入れ忘れると，分母が $I$ だけになり振動数が過大になる。また端点 $P$ から垂れる場合は，質点の高さが $\cos(\theta+\phi)$ を含むので，巻きつき領域の $-mga\theta$ をそのまま使ってはいけない。

試験で書くべきポイント

重心の向きが対称軸上にある理由，糸がほどける長さの符号，平衡条件を $U'(\theta_0)=0$ から出したことを明記する。最後の極限では式の分母でどの項が支配的かを一言添えると，枝の選択が伝わる。

方針

前半はビオ・サバール則を対称性で簡約し，遠方では磁気双極子として扱う。後半は同軸ケーブルを分布定数回路として連続極限に移す。

途中式の意味

二つの円電流では配置が $z\mapsto -z$ に対して対称なので，1 次の係数 $B'_z(0)$ は自動的に消える。したがって一様性を最初に悪くする項は 2 次項であり，$B''_z(0)=0$ が Helmholtz コイル条件になる。

検算

$b=a/2$ は二つのコイル間隔 $2b=a$ を意味し，標準的な Helmholtz 配置と一致する。同軸ケーブルでは $LC=\varepsilon\mu$ となり，電磁波の媒質中の速度と同じになるので次元・物理的意味ともに整合する。

典型ミス

遠方磁場で $\pi$ を残してしまう誤りが多い。双極子モーメント $I\pi a^2$ と係数 $\mu_0/(4\pi)$ の $\pi$ は相殺される。また同軸ケーブルの $C$ と $L$ はどちらも $\ln(b/a)$ を含むが，速度では相殺される。

試験で書くべきポイント

軸上磁場，双極子近似，Taylor 展開，分布定数回路の連続極限という順に書けば，途中で式が長くなっても採点者が追いやすい。特に $B''_z(0)$ の符号と係数 $12b^2-3a^2$ は明示する。

方針

散乱は波動関数の連続条件と確率流の比で処理する。デルタ関数は波動関数を不連続にするのではなく，微分を有限量だけ跳ばす点が重要である。

途中式の意味

透過率には振幅 $|t|^2$ だけでなく速度比 $K/k$ が掛かる。束縛状態では左右で指数減衰する形を置き，跳び条件だけで固有エネルギーが決まる。

検算

$W\to0$ とするとデルタ井戸つきの透過率は階段だけの結果に戻る。束縛状態は $\alpha=\beta$ で $E=0$ に接して現れるため，しきい値の解釈も自然である。

典型ミス

$E<0$ の束縛状態で右側の減衰率を $\sqrt{2m(V+E)}/\hbar$ と書く誤りがある。$E$ は負なので正しくは $\sqrt{2m(V-E)}/\hbar$ である。また $\langle x\rangle$ の符号は表面のどちら側に広がるかを反映する。

試験で書くべきポイント

波数 $k,K$，跳び条件，確率流の速度比，束縛状態の存在条件を順に明記する。数値問題では無次元量 $\alpha a,\beta a$ にして計算すると桁を落としにくい。

方針

理想気体の並進運動はガウス積分で分配関数を出し，内部自由度は 1 分子分配関数を掛け足す。熱容量は内部エネルギーを温度で微分して求める。

途中式の意味

$1/N!$ は同種粒子の過剰数え上げを除く因子で，これを入れることで自由エネルギーが示量的になる。二準位問題では縮退度 3 が Boltzmann 因子の係数になる。

検算

並進運動だけなら理想気体の状態方程式 $PV=NkT$ と $C_V=3Nk/2$ が出る。回転子型の高温極限で内部寄与が $Nk$ になるのは，二つの回転自由度が各 $k/2$ の熱容量を持つという等分配則と一致する。

典型ミス

二準位型の高温極限で内部エネルギーは $3\varepsilon/4$ に近づくが，熱容量は 0 に戻る。高温だから熱容量が常に増え続けるわけではない。また回転準位の縮退度 $(2j+1)$ を落とすと $z_{\mathrm{int}}$ の温度依存性を誤る。

試験で書くべきポイント

熱容量を答えるとき，問題の指示どおり並進寄与を足した全体の $C_V$ を書く。グラフの説明では，二準位型は低温・高温で 0，中間で山を持つことを明記すれば十分である。