千葉大 融合理工学府 先進理化学専攻 物理学コース 物理学 2024年度 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

重力だけの場合は，鉛直下向きからの角を $\phi$，最下点を位置エネルギーの基準に取ると $$T=\frac12 ml^2\dot{\phi}^2,\qquad U_g=mgl(1-\cos\phi)$$ である。したがって $$L=\frac12 ml^2\dot{\phi}^2-mgl(1-\cos\phi)$$ であり，オイラー・ラグランジュ方程式から $$\ddot{\phi}+\frac{g}{l}\sin\phi=0$$ を得る。微小振動では $\sin\phi\simeq\phi$ なので $$\omega_0=\sqrt{\frac{g}{l}}$$ である。

水平方向の一様電場を加える。電場の正方向を $\phi>0$ 側に取り， $x=l\sin\phi$ とすると，電気的ポテンシャルは $$U_e=-qE_0l\sin\phi\cos\Omega t$$ である。よって $$\ddot{\phi}+\omega_0^2\sin\phi =a\cos\phi\cos\Omega t,\qquad a=\frac{qE_0}{ml}.$$ 微小振動では $$\ddot{\phi}+\omega_0^2\phi=a\cos\Omega t$$ となり，$\Omega\ne\omega_0$，$\phi(0)=\phi_0,\dot{\phi}(0)=0$ から $$\phi(t)=\left(\phi_0-\frac{a}{\omega_0^2-\Omega^2}\right)\cos\omega_0t +\frac{a}{\omega_0^2-\Omega^2}\cos\Omega t .$$

高周波駆動では $\phi=\Phi+\eta$，$\eta=\eta_0\cos\Omega t$ とおく。短時間では $\Phi$ を定数，$\ddot{\Phi}$ を無視して，高周波成分を比べると $$-\eta_0\Omega^2\cos\Omega t=a\cos\Phi\cos\Omega t$$ より $$\eta_0=-\frac{a}{\Omega^2}\cos\Phi .$$ 次に $\eta$ の一次まで $$\sin(\Phi+\eta)\simeq\sin\Phi+\eta\cos\Phi,\qquad \cos(\Phi+\eta)\simeq\cos\Phi-\eta\sin\Phi$$ とし，時間平均を取る。$\overline{\eta}=0$， $\overline{\eta\cos\Omega t}=\eta_0/2$ なので $$\ddot{\Phi}=-\omega_0^2\sin\Phi +\frac{a^2}{2\Omega^2}\sin\Phi\cos\Phi .$$ これは $\ddot{\Phi}=-\partial U_{\mathrm{eff}}/\partial\Phi$ と書け， $$U_{\mathrm{eff}}(\Phi)=-\omega_0^2\cos\Phi -\frac{a^2}{4\Omega^2}\sin^2\Phi+\text{const.}$$ である。

$\Phi=0$ まわりの安定性は $$U_{\mathrm{eff}}''(0)=\omega_0^2-\frac{a^2}{2\Omega^2}$$ で決まる。したがって閾値は $$E_c=\frac{\sqrt{2}\,ml\omega_0\Omega}{q}.$$ $E_0>E_c$ では，$\sin\Phi\ne0$ の安定点が $$\cos\Phi_*=\frac{2\omega_0^2\Omega^2}{a^2} =\left(\frac{E_c}{E_0}\right)^2$$ を満たす。範囲 $-\pi/2<\Phi<\pi/2$ では $$\Phi_*=\pm\arccos\left[\left(\frac{E_c}{E_0}\right)^2\right]$$ である。$E_0<E_c$ では $U_{\mathrm{eff}}$ は $\Phi=0$ に単一の谷を持ち， $E_0>E_c$ では $\Phi=0$ が山になり，左右対称の二つの谷が $\pm\Phi_*$ に現れる。