農工大 工学府 知能情報システム工学専攻 専門科目 2026年度 院試 解答例・解説

符号付き面積の意味

2 次元ベクトル $(u_x,u_y)$, $(v_x,v_y)$ の外積成分 $u_xv_y-u_yv_x$ は、前者から後者へ反時計回りに回ると正、時計回りに回ると負になる。 この符号がそのまま頂点の並びの向きを表す。面積だけでなく向きも同時に得られる点が、 この問題の判定を短くする核心である。

三角形内部判定

$P_m$ が三角形の内部にあれば、$T(m,a,b)$, $T(m,b,c)$, $T(m,c,a)$ は同じ向きに 並ぶ。外部に出ると、少なくとも 1 つは反対向きになる。ここで $T(a,b,c)$ 自身の向きを 先に調べる必要はなく、3 つの符号が同じかだけを見ればよい。

凸多角形の場合

反時計回りの凸多角形では、各辺を順に進むと内部は常に左側にある。したがって $S(p_i,p_{i+1},m)$ がすべて非負であることが内部条件になる。凸でない多角形ではこの 条件だけでは不十分なので、問題文の「凸」と「反時計回り」の指定を使うことが重要である。

NOR と同じ考え方

$\downarrow$ は集合版の NOR であり、$X\downarrow X=X^c$ である。したがって $A\cup B$ を一度補集合にしてから、同じ集合どうしで $\downarrow$ を取れば元に戻る。 補集合記号を直接使えない指定では、この「二重否定」を構成するのが定石である。

包除原理の符号

和集合では、単独の要素数を足すと重なりを数え過ぎるため、2 集合共通部分を引き、 3 集合共通部分を足し戻す。4 集合ではさらに 4 集合共通部分を引く。符号は 「$1$ 個足す、$2$ 個引く、$3$ 個足す、$4$ 個引く」と交互になる。

べき集合の要素

$\mathcal{P}(B)$ の要素は「$B$ の部分集合」であって、$B$ の要素そのものではない。 特に $\{\{a\}\}$ は、要素 $\{a\}$ だけを含む 1 要素集合である。中括弧の階層を 落とすと別の集合になるため、ここが最も間違えやすい。

アドミタンスで考える

並列回路では電圧が共通で電流が足し合わされるため、最初にインピーダンスを合成するより アドミタンスを足す方が短い。抵抗枝は実数、コイルとコンデンサは虚数成分を与えるので、 共振条件は虚数成分が打ち消し合う条件として読める。

共振時の枝電流

共振時でもコイル枝とコンデンサ枝の電流が消えるわけではない。両者は大きさが等しく位相が 反対なので、外部から見た無効電流だけが相殺される。したがって電流源から見える電流は 抵抗枝の $I_R$ であり、内部では $QI$ の循環的な電流が流れる。

符号の確認

$1/j=-j$ なのでコイル電流は $-jQI$、コンデンサ電流は $jQI$ になる。ここで符号を 逆にすると「瞬時値の向きが逆」という結論は同じでも、フェーザ表示の答案としては減点され やすい。

平行平板の基準電位

正極側を $x=0$、負極側を $x=d$ と見ると、負極を基準にした電位は $x=0$ で $V$、 $x=d$ で $0$ になる。したがって電位は一次関数で下がり、$\phi(x)=V(d-x)/d$ と 書ける。電界の大きさだけを問われているため、向きの符号は不要である。

試験電荷の扱い

試験電荷は周囲の電界を乱さないほど小さいとされているので、先に求めた平板だけの電位に $q$ を掛ければよい。点 $A$ が正極側にあるため、$U=qV$ となる。

直線電荷の電位差

無限直線電荷の電界は $1/r$ に比例する。電位差は電界の線積分の負号で決まるため、 基準点より遠い位置では電位が低くなる。答えの $\log(d/r)$ は、$r=d$ のとき $0$ になることでも確認できる。

固定小数点の読み方

この形式では最小刻みが $0.125$ である。符号なしでは 0000 から 1111 までが $0$ から $1.875$ に対応する。一方、符号付きでは MSB の重みが $-1$ になるため、 1000 が $-1.0$、1111 が $-0.125$ になる。

CA と OV の違い

CA は符号なし演算の桁上がりまたは減算時の借りを示す。一方、OV は符号付き演算で 表現範囲を超えたかを示す。したがって、同じ 4 ビット結果でも符号なしとして読むか 符号付きとして読むかで、正誤の判断が変わる。

キャッシュ容量の数え方

32 ビットアドレスは「タグ、インデックス、オフセット」に分かれる。図の比較対象が 12 ビットなのでタグ幅は 12 ビット、ブロック内位置は 5 ビットで固定される。残りの 15 ビットがセット番号で、4 個の比較回路は同じセット内の 4 ウェイを表す。容量計算では タグや制御ビットではなく、データブロックの容量だけを数える。

XOR を含む式の扱い

XOR はそのまま展開すると項が増えやすい。小問のように変数が 4 個なら、真理値表または カルノー図で 1 になるセルを先に確定し、don't care がない通常の最小化として処理する方が 確実である。$\overline{ab}$ の否定線が $ab$ のみに掛かる点を読み違えないことも重要で ある。

don't care の利用

$g$ では多くの入力が未指定である。未指定入力を都合よく 0 または 1 に選べるため、 $a,d$ に依存しない $b,c$ だけの式にまとめられる。必ず 1 の点と必ず 0 の点を両方確認し、 指定された 0 を覆う積項を作らないようにする。

JK-FF の励起表

JK-FF は現在値と次値から入力を逆算する。$0\to0$ では $J=0$、$0\to1$ では $J=1$、 $1\to0$ では $K=1$、$1\to1$ では $K=0$ が必要で、相手側の入力は don't care になる。 未使用状態 $11$ も don't care として最小化に使うことで、$K_1=1$ まで簡単になる。