名工大 工学研究科 物理工学系 材料機能プログラム 材料機能プログラム 専門科目 2025年度 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

I 行列とパウリ行列

1. 行列式は行基本変形で上三角化するのが安全である。計算すると $$\begin{aligned} \det A_{\mathrm{a}}&=14,\\ \det A_{\mathrm{b}}&=12,\\ \det A_{\mathrm{c}}&=0. \end{aligned}$$ 例えば $A_{\mathrm{b}}$ は第4行の第4成分だけが非零なので， その余因子展開により $$\det A_{\mathrm{b}} =(-2)(-1)^{4+4} \begin{vmatrix} -1&1&2\\ 2&3&0\\ 1&0&0 \end{vmatrix} =-2(-6)=12$$ となる。
2. $$\sigma_x\sigma_y = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&-i\\ i&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix} =i\sigma_z.$$ 固有値と規格化固有ベクトルは次の通り。 $$\begin{array}{c|c|c} \text{行列} & \text{固有値} & \text{規格化固有ベクトル}\\ \hline \sigma_x & 1 & \dfrac{1}{\sqrt2}\binom{1}{1}\\ \sigma_x & -1 & \dfrac{1}{\sqrt2}\binom{1}{-1}\\[1mm] \sigma_y & 1 & \dfrac{1}{\sqrt2}\binom{1}{i}\\ \sigma_y & -1 & \dfrac{1}{\sqrt2}\binom{1}{-i}\\[1mm] \sigma_z & 1 & \binom{1}{0}\\ \sigma_z & -1 & \binom{0}{1} \end{array}$$

II 減衰振動

運動方程式を標準形に直すと $$\frac{d^2x}{dt^2}+2\gamma\frac{dx}{dt}+\omega_0^2x=0, \qquad \omega_0^2=\frac{k}{m}$$ である。

1. $x=e^{\lambda t}$ を代入すると $$\lambda^2+2\gamma\lambda+\omega_0^2=0$$ が特性方程式である。
2. 二つの根は $$\lambda=-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}$$ である。
3. 根が相異なる実数となる条件は $$\gamma>\omega_0.$$ このとき $$x(t)=C_1e^{(-\gamma+\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2})t} +C_2e^{(-\gamma-\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2})t}.$$
4. 根が相異なる複素数となる条件は $$0\le \gamma<\omega_0.$$ $\Omega=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}$ とおくと $$x(t)=e^{-\gamma t}\{C_1\cos\Omega t+C_2\sin\Omega t\}.$$
5. 重根となる条件は $$\gamma=\omega_0.$$ もう一つの解を $x_2=f(t)e^{-\gamma t}$ とおくと， 標準形へ代入して $f''(t)=0$ を得る。定数倍の解は 既知の解と同じなので，独立な解として $f(t)=t$ を取ればよい。 したがって $$x(t)=(C_1+C_2t)e^{-\gamma t}.$$

III 連成振動

与えられた運動方程式は $$m\ddot{\boldsymbol{x}}=-kA\boldsymbol{x},\qquad \boldsymbol{x}=\binom{x_1}{x_2},\qquad A=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}$$ と書ける。

1. 固有値と規格化固有ベクトルは $$\lambda_1=1,\quad \boldsymbol{v}_1=\frac1{\sqrt2}\binom{1}{1}, \qquad \lambda_2=3,\quad \boldsymbol{v}_2=\frac1{\sqrt2}\binom{1}{-1}.$$
2. 固有ベクトルを列に並べて $$V=\frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix}$$ とすれば，$V^T=V^{-1}$ であり直交対角化に用いられる。
3. 実際に $$V^TAV= \begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}$$ である。
4. $\boldsymbol{q}=V^T\boldsymbol{x}$ とおくと $$m\ddot{\boldsymbol{q}} =-k \begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix} \boldsymbol{q}.$$ $\omega_0^2=k/m$ より $$\ddot q_1+\omega_0^2q_1=0,\qquad \ddot q_2+3\omega_0^2q_2=0.$$ したがって $$q_1=C_1\cos(\omega_0t+\alpha_1),\qquad q_2=C_2\cos(\sqrt3\,\omega_0t+\alpha_2).$$
5. $\boldsymbol{x}=V\boldsymbol{q}$ だから $$\boxed{ \begin{aligned} x_1&=\frac{1}{\sqrt2} \{C_1\cos(\omega_0t+\alpha_1) +C_2\cos(\sqrt3\,\omega_0t+\alpha_2)\},\\ x_2&=\frac{1}{\sqrt2} \{C_1\cos(\omega_0t+\alpha_1) -C_2\cos(\sqrt3\,\omega_0t+\alpha_2)\}. \end{aligned}}$$