名工大 工学研究科 物理工学系 材料機能プログラム 材料機能プログラム 専門科目 2025年度 院試 解答例・解説

方針

第1問は，線形代数と定係数微分方程式を混ぜた標準問題である。 行列式は余因子展開と行基本変形を併用する。振動問題は，指数関数解を 仮定して特性方程式に落とすのが最短である。連成振動は，ばねの式から 係数行列 $A$ を正しく作ることが勝負になる。

検算

減衰振動では $\gamma=0$ とおくと $$x(t)=C_1\cos\omega_0t+C_2\sin\omega_0t$$ に戻るので，不足減衰の式は正しい。連成振動では，同相運動 $(x_1=x_2)$ では中央のばねが伸びず，角振動数が $\omega_0$ になる。 逆相運動 $(x_1=-x_2)$ では中央のばねも効くので $\sqrt3\,\omega_0$ になる。これは固有値 $1,3$ と一致する。

典型ミス

減衰項が $-2m\gamma\dot{x}$ なので，標準形の係数は $2\gamma$ である。ここを $\gamma$ としてしまうと， すべての条件が $\gamma/2$ だけずれる。また連成振動では $m\ddot{\boldsymbol{x}}=-kA\boldsymbol{x}$ の符号を忘れると， 対角化後の振動方程式の符号が反対になる。

試験で書くべきポイント

固有ベクトルは規格化を明記する。複素根の場合は，根だけで終わらせず， 実数解として $e^{-\gamma t}\cos\Omega t$， $e^{-\gamma t}\sin\Omega t$ の形まで戻す。連成振動では $\boldsymbol{q}=V^T\boldsymbol{x}$ と $\boldsymbol{x}=V\boldsymbol{q}$ のどちらを使っているかを明示しておくと，最後の $x_1,x_2$ の符号を 取り違えにくい。

方針

前半はドルーデ模型で，抵抗力を含む一次微分方程式を解き，ドリフト速度から 電流密度を作る。後半は一次元量子散乱で，領域ごとの一般解を書き， 境界で $\psi$ と $d\psi/dx$ を連続にする。ポテンシャルが有限段差なので， 波動関数そのものだけでなく導関数の連続条件が必要である。

検算

$E>V$ で $V\to0$ とすると $k_2\to k_1$ なので $$R\to0,\qquad T\to1$$ となる。逆に $E\to V+0$ では $k_2\to0$ なので $$R\to1,\qquad T\to0$$ となり，物理的な極限と一致する。$E<V$ では $\left|B/A\right|=1$ で全反射になるが，右側に 指数減衰する波が残る点が古典力学との違いである。

典型ミス

透過率は単なる $|C/A|^2$ ではない。左右で波数が異なるため， 確率流束の比として $k_2/k_1$ を掛ける必要がある。また， $E<V$ の右側で $e^{k_3x}$ を残すと無限遠で発散するため， 物理的な解にならない。

試験で書くべきポイント

ドルーデ模型では，電子の速度は電場と逆向きだが，電流密度は 電荷 $-e$ を掛けるため電場と同じ向きになる。この符号の説明を 一言入れると答案が安定する。量子散乱では，$k_1,k_2,k_3$ の定義， 境界条件，確率流束による $R,T$ の定義を順に書く。

方針

電位--pH 図では，線の傾きが H$^+$ を含むかどうかを教えてくれる。 水素線と酸素線はいずれも pH に対して負の傾きを持つ。銅の $\mathrm{Cu}^{2+}/\mathrm{Cu}$ 境界は H$^+$ を含まないので， pH に依存しない水平線になる。

検算

水素線で $a_{\mathrm{H^+}}$ が小さくなる，すなわち pH が大きくなると $E'$ は低くなる。これは Pourbaix 図の下側破線が右下がりであることと 一致する。また $\mathrm{Cu}^{2+}/\mathrm{Cu}$ の Nernst 式では， $\mathrm{Cu}^{2+}$ 濃度を下げると金属 Cu が安定化し，境界電位は 低下する。

典型ミス

不活態と免疫域を混同しやすい。酸化物皮膜で守られているのが不活態， 金属単体が熱力学的に安定で溶解しにくいのが免疫域である。また Tafel 反応は二つの吸着水素を使うため，速度は $\theta C_{\mathrm{ad}}^s$ の二乗に比例する。

試験で書くべきポイント

Nernst 式では反応商を先に書くと符号ミスを防げる。水素発生反応の 電流符号は流儀に依存するため，答案では「電流の大きさ」か 「アノード正の符号付き電流」かを一言で宣言しておくとよい。

方針

結晶面は切片の逆数を取る。立方晶ではそのまま $(hkl)$，六方晶では $(hkil)$ かつ $h+k+i=0$ を満たすように読む。すべりは Schmid 因子の比較，状態図はレバー則，CCT 線図は冷却曲線がどの変態線を 横切るかで判断する。

検算

$d_{111}=0.209\,\mathrm{nm}$ は格子定数 $0.361\,\mathrm{nm}$ より 小さく，稠密面の間隔として妥当である。レバー則では 初析フェライト分率とパーライト分率の和が $$0.427+0.573=1.000$$ となる。パーライト内部の $\alpha$ と $\mathrm{Fe_3C}$ についても $$0.888+0.112=1.000$$ であり，質量分率として整合している。

典型ミス

Schmid 因子では，すべり面法線と引張軸の角度だけでなく， すべり方向と引張軸の角度も必要である。片方だけで判断すると 候補系を誤る。また，亜共析鋼の $A_1$ 直下のパーライト分率は， 共析直前に残っていたオーステナイト分率である。パーライト中の フェライト分率とは別のレバー則なので混同しない。

試験で書くべきポイント

数値問題では，どの組成値を使ったかを明記する。ここでは $C_\alpha=0.02\,\mathrm{mass\%}$， $C_E=0.77\,\mathrm{mass\%}$， $C_{\mathrm{Fe_3C}}=6.69\,\mathrm{mass\%}$ を用いた。 CCT 線図では，冷却曲線が開始線だけを横切るのか，終了線まで横切るのかを 言葉で説明すると，組織判定の根拠が伝わる。