九大 工学府 機械工学専攻・水素エネルギーシステム専攻 機械工学 2026年度 院試 解答例・解説

方針

特異値分解では、左特異ベクトルは $AA^{\mathsf T}$ の固有ベクトル、右特異ベクトルは $A^{\mathsf T}A$ の固有ベクトルとして求められる。ただしこの問題では $2\times2$ の $AA^{\mathsf T}$ を先に対角化し、 $$v_i=\frac1{\sigma_i}A^{\mathsf T}u_i$$ で右特異ベクトルを作るのが最短である。

符号の自由度

固有ベクトル・特異ベクトルは同時に符号を反転しても同じ分解を与える。例えば $u_1,v_1$ をともに $-1$ 倍しても正解である。ただし $u_i$ だけ、または $v_i$ だけを反転すると $A=U\Sigma V^{\mathsf T}$ の符号が合わなくなる。

確認

実際に $$Av_1=\sqrt3\,u_1,\qquad Av_2=u_2$$ が成り立つ。これを最後に確認しておくと、正規化の係数ミスを発見しやすい。

(1) の注意

右辺が $\sin3x$ なので、特解は三角関数だけで置けばよい。斉次解には $e^x\cos3x,e^x\sin3x$ が現れるが、右辺には $e^x$ が掛かっていないため共振は起きない。

(2) の見抜き方

分母を払ったあと、$M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0$ の形にして $\partial M/\partial y$ と $\partial N/\partial x$ を比べる。ここが一致するので、積分因子を探す必要はない。

(3) の構造

$x\,dx+y\,dy$ は半径方向、$y\,dx-x\,dy$ は角度方向の微分である。この2つが同時に現れたら、極座標で $$x\,dx+y\,dy=r\,dr,\qquad y\,dx-x\,dy=-r^2\,d\theta$$ を使うと分離形になる。符号を逆にすると最終式の $\cos2\theta$ の符号が反転するため注意する。

極限の確認

$(1+\alpha/n)^n\to e^\alpha$ にそのまま似ているが、指数が $x-1$ ではなく $x$ である。対数を取れば $$\frac{x}{x-1}\cdot2\to2$$ となり、ずれが極限に影響しないことを確認できる。

ガウス積分の規格化

$(2)$ は確率密度の規格化を確認する形である。係数 $1/\pi$ と指数の分母 $\pi$ が打ち消し合い、全体の積分が $1$ になる。

楕円体積分の定石

楕円体では軸方向ごとに単位球へ戻す変数変換が最も安全である。さらに $X^2,Y^2,Z^2$ の積分は対称性で同じなので、球座標で1つずつ積分する必要はない。

初期値の入れ忘れ

ラプラス変換で最も失点しやすいのは、二階微分の変換で $$\mathcal L\{y''\}=s^2Y-sy(0)-y'(0)$$ とする点である。この問題では $y(0)=0$ だが $y'(0)=1$ なので、左辺は $s^2Y-1$ になる。

計算の簡約

$X,Y$ を解く途中で一見三次式が出るが、右辺にも同じ二次因子 $s^2-s-3$ が現れて打ち消される。通分を丁寧に行うと $$X(s)=-\frac1{(s-1)^2(s-2)}$$ まで落ちるため、逆変換は基本形だけで済む。

解の検算

得られた解は $$x(0)=0,\quad y(0)=0,\quad y'(0)=1$$ を満たす。また $$x'(t)=(t+2)e^t-2e^{2t}=2x(t)-y(t)$$ であり、初期値問題の第1式も確認できる。

方針

この問題は，棒力そのものは節点の静力学だけで決まる。変位を求める段階で初めて，軸伸び $\lambda=RL/(EA)$ と幾何学的適合条件を使う。力と変位を同時に未知量にしてしまうと式数が増え，かえって間違いやすい。

符号の確認

$R_{OD}=-P$ は，棒 $OD$ が縮むことを意味する。実際，荷重は点 $O$ を下向きへ押すので，$O$ と $D$ の距離は短くなる成分をもつ。一方，$OB$ と $BC$ は同一直線上で引張となり，$BD$ はこの荷重状態では力を受けない。

変位がゼロになる理由

$\delta_{Ox}=0$ は偶然の暗算結果ではない。$OB,BC,OD$ の伸縮が，点 $O$ の水平方向成分では相殺し，鉛直方向成分だけを残すためである。途中で $BD$ の伸びを「力がゼロだから任意」として扱うと誤りで，力がゼロなら伸びもゼロであり，これが点 $B$ の変位方向を決めている。

分解の考え方

点 $B$ の変位は直線片持ちはりの曲げだけで決まる。一方，点 $C$ では，荷重点が $B$ から $z$ 方向に離れているため，直線部 $AB$ にねじりも生じる。このねじり項 $Pb^2a/(GI_p)$ を落とすのが典型的な失点である。

曲がり部の扱い

曲がり部では荷重も部材軸も $y$--$z$ 面内にあるため，内部モーメントは面外方向の曲げモーメントとして扱える。円弧の高次理論を使わずに $M=Pb\cos\phi$ と $ds=b\,d\phi$ でエネルギー積分すればよい。丸棒なので曲げ軸の取り方で $I$ が変わらないことも重要である。

検算

各項の次元はいずれも $P L^3/(E I)$ または $P L^3/(G I_p)$ で，長さになる。また $b=0$ とおけば曲がり部とねじりの寄与が消え，通常の片持ちはり先端たわみに戻る。

剛体棒の置き換え

剛体棒上端の水平力は，はりの点 $B$ に対して「水平力」と「偶力」に分解される。鉛直たわみを求める限り，水平力による軸変形は対象外で，偶力 $Pa$ だけが曲げに効く。

単位荷重法の利点

集中モーメントの寄与は，モーメントが作用点より左側にだけ現れるので $\int_0^b M_0(2b-x)\,dx$ と短く書ける。全区間に $M_0$ を入れると係数がずれる。

反力問題の見方

固定端反力は，先端変位と先端回転をともにゼロにする二つの未知量である。変位条件だけで $R_C$ を決めると，回転拘束を満たさないため不完全な解になる。

符号と拘束条件

この問題で最も落としやすいのは，質点Bの座標 $z$ が上向き正である点である。つり下がった部分の長さは $z$ ではなく $-z$ なので，全長一定条件は $r-z=l$ となる。ここを $r+z=l$ とすると，後半の加速度の符号がすべて反転する。

角運動量保存の使いどころ

張力は常に穴を通る向きに作用するため，穴まわりのモーメントは0である。手で質点Bをゆっくり動かしている間にも，手の力はBの鉛直方向に作用し，Aにはひもを通じて半径方向の力しか伝わらない。したがってAの $r^2\dot\theta$ は保存量として扱える。

検算

円運動の結果は $T=mg=mr_1\omega_1^2$ であり，次元は $\omega_1^2=g/r_1$ で正しい。最後の式では $l+d=r$ が小さいほど遠心項 $h^2/r^3$ が大きくなるので，Bの加速度が上向きに転じやすい。この物理的傾向も式と一致している。

拘束式の作り方

滑車が下向きに $\dot z$ で動き，反時計回りに $\dot\theta$ で回ると，左右の接触点速度は $\dot z\pm a\dot\theta$ になる。床側は固定端なので速度0，質点側は $\dot x$ である。この2本から $z=x/2$，$\theta=x/(2a)$ が出る。ここを長さの暗算だけで処理すると，回転角の符号を間違えやすい。

有効質量による検算

拘束式を使うと運動エネルギーは $$\frac{1}{2}m\dot x^2+\frac{1}{2}(2m)\left(\frac{\dot x}{2}\right)^2 +\frac{1}{2}ma^2\left(\frac{\dot x}{2a}\right)^2 =\frac{1}{2}\frac{7m}{4}\dot x^2 .$$ ばねエネルギーは $\frac{1}{2}k(x/2)^2$ である。したがって固有角振動数が $\sqrt{(k/4)/(7m/4)}=\sqrt{k/(7m)}$ になることを独立に確認できる。

弛み条件

弛みは変位ではなく張力で判定する。特に床側張力 $T_R$ は加速度に対する係数が大きく，質点側より先に0へ到達する。答案では $T_L$ と $T_R$ の両方を一度書いてから最小値を調べると，採点者に条件の根拠が伝わる。

微小回転の変位

棒上の点の横変位を $x+s\theta$ と書くのが出発点である。右端は $x+2l\theta$，左端は $x-2l\theta$ になる。符号を逆にすると剛性行列の非対角項 $F$ の符号が反転し，モードの対応も入れ替わる。

対称性による検算

質量は左右対称なので質量行列の連成項は0である。一方，ばね剛性は左右非対称なので剛性行列には連成項が残る。この「質量は非連成，剛性は連成」という形になっていれば，設定を正しく読めている可能性が高い。

モードを消す条件

モード成分が消える条件は，外力ベクトルそのものが0になることではなく，そのモードへの射影 $Q_i=\boldsymbol X_i^T\boldsymbol f$ が0になることである。モード直交性を使っているため，必ず質量行列から得た固有モードと同じ正規化で射影する。

工業仕事の符号

閉じた系の境界仕事では $\int p\,dv$ を使うが、コンプレッサの流れ仕事を含む工業仕事では、可逆過程に対して $\int v\,dp$ が対応する。断熱定常流であれば第一法則から $l_{12}=h_2-h_1$ と書けるので、符号を迷ったら「圧縮では正」と決めて確認するとよい。

単位確認

$RT_1$ の単位は $\mathrm{J/kg}$ であり、圧力比と対数は無次元である。したがって $h_2-h_1$、$l_{12}$、$l_\infty$ はいずれも $\mathrm{J/kg}$ になる。

極限チェック

$p_2\to p_1$ では、すべての仕事は $0$ に近づく。また $k>1$ かつ $p_2>p_1$ なら、断熱圧縮の出口温度は入口温度より高く、圧縮仕事も正である。無限段中間冷却の式が $k$ を含まないのは、極限で過程が理想気体の等温圧縮になり、必要な式が $pv=RT_1$ だけになるためである。

答案で落としやすい点

二段圧縮の仕事低減は、単に「冷やすから小さい」と書くだけでは不十分である。同じ圧力で温度が下がると比体積が下がり、$\int v\,dp$ の面積が減る、という順に説明すると図と式がつながる。

発熱平板の見方

片面断熱のため、発熱量 $HL_1$ がそのまま外表面熱流束になる。平板 $L_2$ や熱伝導率 $k_2$ は表面温度や界面温度には効くが、外へ出る総熱流束そのものはエネルギー保存だけで決まる。

最高温度の位置

$dT/dx=-(H/k_1)x$ であるから、断熱面で傾きがゼロ、そこから外側へ向かって温度が下がる。発熱体中央ではなく断熱面が最高温度になる点に注意する。

フィン効率

フィンを付けると実表面積は増えるが、フィンの温度は根元から先端に向かって低下する。したがって有効面積は実面積より小さく、放熱増加率は面積増加率 $m$ を下回る。この議論は熱伝達率 $h$ と流体温度 $T_f$ が同じであることを前提としている。

単位確認

$HL_1$ は $\mathrm{W/m^3}\cdot\mathrm{m}=\mathrm{W/m^2}$、$q_w/h$ は $(\mathrm{W/m^2})/(\mathrm{W/(m^2K)})=\mathrm{K}$、$HL_1^2/k_1$ も $\mathrm{K}$ である。

乾き度の決め方

湿り蒸気域では、比エントロピーは乾き度に対して線形に補間できる。可逆断熱過程では $s=\mathrm{const.}$ なので、状態1と4の乾き度は高圧側で指定された $s_H'$, $s_H''$ を低圧側の湿り蒸気式へ代入するだけで決まる。

第一法則と第二法則の使い分け

正味仕事は第一法則から $q_{\mathrm{in}}-q_{\mathrm{out}}$ で求められる。一方、各熱量を $T\Delta s$ と書けるのは、相変化が飽和温度で進む可逆過程だからである。

単位確認

温度 $\mathrm{K}$ と比エントロピー $\mathrm{J/(kg\,K)}$ の積は $\mathrm{J/kg}$ であり、熱量と仕事の単位に一致する。

答案上の注意

このサイクルは $T$-$s$ 線図上で長方形になるため、効率がカルノー形 $1-T_L/T_H$ になる。乾き度を求める前に $s_1=s_2$, $s_4=s_3$ を明示しておくと、計算の根拠が伝わりやすい。

検査体積と符号

力は「曲板を保持するために外部が曲板へ加える力」として書いた。これは曲板が水へ及ぼす力と同じ向きであり，水が曲板へ及ぼす力とは逆向きである。したがって $F_x<0$ なら左向き，$F_y<0$ なら下向きに支持力が必要である。

ベルヌーイ式の使い分け

主流側には損失が指定されていないので速度は変わらない。スリット側だけは $\zeta V_s^2/2$ の損失を入れる点が要点である。ここで損失を $V_1$ の動圧で定義してしまうと $V_s$ の式が変わる。

単位と極限の確認

$\rho V_1^2B$ は単位奥行きあたりの力で，単位は $\mathrm{N/m}$ である。$\zeta\to\infty$ では $V_s\to0$ となりスリットからの流出は消える。また $s\to0$ では $B_2\to B_1$，$F_y\to0$ となり，対称な $90^\circ$ 転向流の結果に戻る。

答案上の注意

運動量式では流出運動量から流入運動量を引く。入口が $45^\circ$ 上向き，主出口が $135^\circ$ 向き，スリット出口が $x$ 正向きであることを最初にベクトルで明示すると，符号ミスを避けやすい。

流量が先に決まる理由

鉛直管出口の到達高さから出口速度が決まり，水槽Bの水位一定条件から水平管の流量も決まる。水平管の損失計算は，この流量に必要な水槽B気体圧を求めるために使う。

分岐の扱い

分岐後の二本は幾何条件が同じで，分岐部と曲がり部の局所損失も無視される。したがって同じ圧力差に対して同じ流量が流れる。枝管径が $\sqrt{2}d$ なので，各枝管速度は急拡大前速度 $u$ の $1/4$ である。

損失係数の整理

損失係数はすべて $u^2/(2g)$ に換算して足し合わせた。急拡大後の本管速度は $u/2$，枝管速度は $u/4$ であるため，摩擦損失の係数にそれぞれ $(1/2)^2$，$(1/4)^2$ が付く。

単位と極限の確認

$P_g$ は $\rho g$ に長さを掛けた形なので圧力の単位になる。$h$ が大きくなるほど必要な流量と損失が増え，$P_g$ および $\tilde h$ は小さくなる。これは，強い噴流を作るほど水槽B側の圧力余裕を消費することを表している。

圧力分布の作り方

密度が高さで変わるときも，基本は $dp/dz=-\rho g$ である。上端の圧力を境界値にして下向きに積分すればよい。混合領域の圧力が二次式になるのは，密度が $z$ の一次式だからである。

扉が開く条件

扉の蝶番まわりのモーメントで判定する。右側の圧力は扉を左へ開く向き，左側の液体Aはそれを閉じる向きである。$l=a$ がちょうどしきい値なので，この状態で両モーメントを等置する。

単位確認

圧力分布はすべて $\rho_{\mathrm{w}}g$ に長さを掛けた形である。モーメントは単位奥行きあたりなので，$\rho_{\mathrm{w}}g a^3$ の次元になり，これは $\mathrm{N}$ としてのモーメントに対応する。

答案上の注意

液体Bのみの領域の圧力が $l$ に依存しない形へ簡単化される点は，検算に使える。混合領域の積分範囲を取り違えると，この連続性が崩れる。