九大 工学府 機械工学専攻・水素エネルギーシステム専攻 機械工学 2025年度 院試 解答例・解説

対称形の漸化式

$x_n,y_n$ が対称に混ざる行列 $$\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\ \beta&\alpha\end{pmatrix}$$ では、固有方向は必ず $(1,1)^{\mathsf T}$ と $(1,-1)^{\mathsf T}$ になる。固有値はそれぞれ $\alpha+\beta,\alpha-\beta$ であり、この問題では $\alpha=2,\beta=5/3$ である。

ノルム条件の読み方

初期ベクトルが $(1,-1)^{\mathsf T}$ 方向だけなので、増大する固有値 $11/3$ はまったく寄与しない。ここを見落として一般式に代入し続けると計算が重くなる。

検算

$n=4$ では $\|a_4\|=27/81=1/3$ であり，狭義不等号を満たさない。したがって境界の整数条件は $n\ge5$ と確認できる。

発散定理の役割

$\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{n}$ の面積分は，閉曲面に対して体積の3倍になる。これは境界面の情報から体積を出す公式であり，係数は常に $1/3$ である。

法線の正規化

$\nabla f=(2x,8y,18z)$ をそのまま使っても向きは正しいが，単位法線にするには長さで割る必要がある。共通因子 $2$ を消すと $(x,4y,9z)$ の形になり，計算が軽くなる。

$C(x,y)$ の意味

この設問では，直前で求めた表面積分表示 $V=\int_S\phi dS$ を，表面積要素公式で $xy$ 平面上の積分へ直している。単に上下の曲面の高さの差を積分しても体積は出るが，ここで問われている流れでは $\phi dS$ の上下面の寄与を合わせた $$C(x,y)=\frac{8}{\sqrt{36-x^2-4y^2}}$$ を答えるのが自然である。

(1) の置換

$x+y$ が三角関数の中にまとまっているので、$u=x+y$ と置くのが自然である。最後は $$x=(x+y)-\tan\frac{x+y}{2}+C$$ から $x$ を両辺で消し、$y-\tan((x+y)/2)=C$ と整理する。 ただし $1+\cos u=0$ の場合はこの積分操作から外れるため，直線解として別に確認しておく。

連立一次方程式

定係数連立方程式は、係数行列の固有値・固有ベクトルを使って指数関数解を作る。固有ベクトルの定数倍は任意なので、成分が整数になるものを選ぶと書きやすい。

(3) の積の微分

$yy''+(y')^2$ を見たら $(yy')'$ を疑う。このまとまりを見つけると、二階方程式が一階の分離形まで下がる。

関数の形

短い弧長は、角度を $[-\pi,\pi]$ に折り返した絶対値である。面積はその2乗なので、基本区間では $\theta^2$ になる。したがってグラフは、各区間で上に開く放物線を周期的につないだ形である。

偶関数の利点

$S$ は偶関数なので正弦係数はすべて0である。計算量を半分にするだけでなく、答えに $\sin n\theta$ が出てきたら符号や偶奇性を疑うべきである。

$G$ の定数項

不定積分には積分定数が残るため、$G$ のフーリエ係数のうち平均値だけは定数の取り方に依存する。一方、$n\ge1$ の係数は一意に決まり、$S-\pi^2/3$ を項別積分して得られる。

力と変位を分ける

棒力は節点つり合いだけで決まる。変位は，その後に各棒の伸びを節点変位へ投影して求める。この順序にすると，支点 $B$ が「水平方向には動くが鉛直方向には動かない」ことを自然に式へ入れられる。

斜め荷重の成分

$Q$ の向きを逆に分解すると，$R_{AC}$ と $R_{BC}$ の符号がすべて崩れる。ここでは図の向きに従い，$Q_x=-Q/2$，$Q_y=\sqrt3 Q/2$ とした。

検算

求めた $Q$ は約 $0.388P$ であり，指定範囲 $0<Q<P/2$ に入る。範囲確認は，答えの符号だけでなく幾何条件の読み違いも発見しやすい。

変形の概形

点 $A$ は下向きに沈む。$OA$ は固定端側で最大曲げモーメントを持ち，ヒンジ $A$ では曲げモーメントが0になる。右側の $ABC$ は左張出し端 $A$ が沈み，支点 $B$ が上向きに，支点 $C$ が下向きに働く形で釣り合う。

内部ヒンジの扱い

内部ヒンジでゼロになるのは曲げモーメントであって，鉛直変位ではない。左右の部材は同じ $v_A$ を持つため，左右を鉛直ばねとして並列に見れば荷重分担を簡潔に求められる。

SFD・BMDの描き方

集中荷重と反力の位置でSFDは段差を持ち，荷重のない各区間ではBMDは直線になる。特に $M_A=0$ は内部ヒンジ条件，$M_C=0$ は単純支持端条件であり，図示答案で必ず示すべき点である。

典型ミス

$C$ の反力を上向きと決め打ちすると符号を誤る。この構造では張出し端の下向き荷重を支えるため，支点 $C$ は下向きに押さえ込む反力を持つ。

曲げとねじりの切り分け

面外荷重を受ける平面フレームでは，各部材に曲げとねじりが混在する。荷重点から横にずれた部材では，腕の長さに比例するねじりモーメントが生じるため，$EI$ だけでなく $GI_p$ の項も必ず現れる。

ピン結合と連続フレームの違い

(1) は点 $F$ がピンで，左右の L 字部材が並列ばねのように働く。一方 (2) は中央部材が連続しており，中央断面の回転が対称条件で抑えられる。この拘束のため，$T_{AB}$ は単純な $(P/2)a$ にはならない。

検算

$\beta b=EI\,b/(GI_p)$ が非常に大きい，すなわちねじりが柔らかい極限では $|T_{AB}|\to0$ となる。逆にねじりが非常に硬い極限では $|T_{AB}|\to Pa/4$ であり，中央断面の曲げモーメントが荷重モーメントの一部を負担することが分かる。

遠心項とコリオリ項

$\eta$ 方向の式には $-\Omega^2\eta$ が入り，これがばねの復元力を弱める。したがって固有角振動数は $\sqrt{k/m+\Omega^2}$ ではなく $\sqrt{k/m-\Omega^2}$ である。筒に垂直な $\xi$ 方向には，半径 $R$ による向心加速度と，筒内速度 $\dot\eta$ によるコリオリ加速度が現れる。

静的平衡点の意味

$\eta_c$ はばね自然長 $l$ ではない。回転しているため，$\eta$ 方向の見かけの遠心効果がばねの伸びを変える。特に $\Omega$ が $\sqrt{k/m}$ に近づくと分母が小さくなり，静的平衡点は遠方へ移る。

答案上の注意

垂直抗力 $N$ は向きを定義してから書く。接触力の大きさだけを問うと解釈する場合は，ここで得た成分の絶対値を取るが，運動方程式としては符号付き成分を提示するのが安全である。

幾何の取り方

円柱中心は水平に動けないため，円筒面をもつ物体の水平変位が $l\sin\alpha$ になる。円柱中心の鉛直変位は円弧の高さであり $l(1-\cos\alpha)$ である。ここを逆にしてしまうと，運動エネルギーの $\cos^2\alpha$ と $\sin^2\alpha$ が入れ替わる。

転がり条件

転がり条件は円柱半径 $r$ ではなく，中心軌道の半径 $l=R-r$ を使って $r\theta=l\alpha$ と書く。接触点が円筒面上を進む弧長は，円柱中心の円弧半径 $l$ で決まるためである。

線形化の検算

$\kappa=1$ では $$\kappa\cos^2\alpha+\sin^2\alpha+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$$ となり，非線形な慣性係数の変化が消える。微小振動の式は単振子型で，長さに相当する量が $3l/2$ になっていると見れば，$\omega_n^2=2g/(3l)$ の次元と傾向を確認できる。

重心運動で解く理由

棒はモータで強制的に回されるため，棒の回転方程式を立ててもモータトルクという未知量が入る。そこで系全体の $x$ 方向重心運動に注目すると，外力はばね力だけになり，モータトルクを消去できる。

符号の確認

棒が下向きのとき，棒の重心は $x$ 座標で $x-l$ にある。したがって $x_m=x-l\cos\Omega t$ である。これを $x+l\cos\Omega t$ とすると，強制力の符号が逆になる。

半回転後の条件

「瞬間に静止」は速度0の条件であり，「静止し続ける」はさらに変位0も必要である。棒を止めた後は回転による強制項が消えるので，ばねの静的平衡位置 $x=0$ にいない限り自由振動が始まる。

線図の形

元のサイクルは、$T$-$s$ 線図では断熱過程が鉛直線、等積受熱・放熱が右上がりまたは左下がりの曲線になる。新サイクルでは3から5まで断熱膨張を延長し、5から6は等積冷却、6から1は等圧冷却として戻る。

仕事比較の物理的意味

新サイクルは膨張を状態4で止めず、さらに状態5まで続けるため、追加の膨張仕事を得る。一方で6から1の等圧過程では負の仕事が必要になる。過程が成立する範囲では追加膨張仕事のほうが大きいため、正味仕事が増える。

熱効率の比較

受熱はどちらも同じ $2\to3$ の等積受熱である。したがって効率比較は正味仕事比較に帰着する。$q_{\mathrm{in}}$ を再計算して別物として扱うと、答案が崩れやすい。

単位確認

$RT_1$ は $\mathrm{J/kg}$ であり、$\varepsilon,\tau,\alpha,\kappa$ は無次元である。したがって $q$ と $l$ の式はいずれも単位質量あたりのエネルギーになっている。

片面あたりの発熱量

全厚さは $2\delta_h$ だが、対称性により片面へ出る熱は半分である。したがって $q_s=2\delta_h\dot{q}_v/2=\dot{q}_v\delta_h$ となる。

平板を付けると中心温度が上がる理由

発熱量と対流条件が変わらないため、外へ出る熱流束は変わらない。追加した平板は熱抵抗を直列に加えるだけなので、その分だけ中心温度が上昇する。

単位確認

$\dot{q}_v\delta_h^2/k_h$ は $(\mathrm{W/m^3})\mathrm{m^2}/(\mathrm{W/(mK)})=\mathrm{K}$、$\dot{q}_v\delta_h/h$ も $\mathrm{K}$ である。

答案上の注意

温度分布図では、ヒーター内を直線にしないことが重要である。一様発熱がある領域は放物線、発熱のない平板は直線、対流熱抵抗は表面から空気温度への温度差として表す。

向流の端温度

横軸を高温流体入口から出口へ取ると、低温流体は逆向きに流れる。したがって高温流体入口側に対応する低温流体温度は、低温流体の出口温度である。この対応を取り違えると、対数平均温度差も誤る。

熱容量流量の使い方

温度変化は $Q/C$ で決まる。熱容量流量が大きい流体ほど、同じ交換熱量に対する温度変化は小さい。条件(1-1)で低温流体の温度上昇が高温流体の3分の1になるのはこのためである。

変更後に低温出口が高温出口を上回る理由

向流熱交換器では、低温流体出口が高温流体出口より高くなることがある。比較すべき端は $85$ と $49$、および $37$ と $25$ であり、どちらの端でも温度差は正である。

単位確認

熱交換量の倍率、長さの倍率、対数平均温度差の比はいずれも無次元である。温度差は摂氏で計算しても、差だけを使うためケルビン差と同じ値になる。

速度の大きさ

大気圧の自由噴流を非粘性・重力無視で扱うため，台車に対して静止している壁面に沿う流れではベルヌーイの式から速度の大きさが保存される。問(4)では保存されるのは地面基準の速度ではなく，台車基準の相対速度 $W_2$ である。

流量の分配

衝突点と流路形状が対称なので，噴流は二つの出口へ半分ずつ分かれる。力を求めるときは速度だけでなく，この質量流量の半分係数を忘れない。

運動量収支の向き

まず「台車が流体に及ぼす力」を運動量変化として求め，最後に符号を反転して「流体が台車に及ぼす力」に直す。作用反作用の反転を途中で混ぜると，水平合力の条件の符号を誤りやすい。

損失係数の数え方

水槽から円管へ入るところでは入口損失 $\zeta_{\mathrm{in}}$ を入れる。円管1が水槽Bへ出るときは，管内の速度水頭が大きな水槽内で失われるため，係数 $1$ の出口損失として扱う。円管2の大気開放端では，式の右辺の $1$ は出口速度水頭である。

弁損失の検算

円管2は円管1より長さが $2L/3$ と短い。同じ流量で同じ水頭差 $L$ を消費するには，不足する摩擦損失 $$\lambda\frac{L}{d}-\lambda\frac{2L}{3d} = \lambda\frac{L}{3d}$$ を弁で補えばよい。

非定常計算

水位差が小さくなると流量は $\sqrt{\Delta H}$ に比例して小さくなる。水槽面積が管断面積の100倍であることを最後に入れると，係数の見落としを防ぎやすい。

モーメントで解く

ヒンジ反力はヒンジまわりのモーメントを持たない。したがって水圧とストッパー力，または水圧どうしのモーメントだけを比較すればよい。

水平扉の圧力

右扉は水平なので，扉全体が同じ深さにある。圧力分布は三角形ではなく一様であり，合力は中央に作用する。この点を鉛直板の公式と混同しない。

傾いた上扉

傾いた板では，圧力の大きさは水深 $W-s\sin\theta$ で決まり，モーメント腕は板に沿った距離 $s$ になる。上扉の濡れ長さが $W/\sin\theta$ になることを先に書くと，積分範囲のミスを避けられる。