東大 工学系研究科 マテリアル工学専攻 マテリアル工学基礎 2026年度 院試 解答例・解説

方針

前半は状態図・標準状態・活量の問題であり，後半は拡散流束と界面反応速度をつなぐ問題である。標準状態が液体Crで指定されているため，Crを合金中活量に変換してから酸化物平衡へ入れる。

検算

$p_{\mathrm{O_2}}$ は強い還元性のH$_2$--H$_2$O比で決まるので $10^{-12}$ atm 程度と極めて小さい。これにより酸化物活量も1未満となり，固溶体中の成分活量として自然である。拡散係数は $10^{-12}\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}$ 程度で，高温酸化物中の遅い陽イオン拡散として妥当である。

典型ミス

混合の計算で理想混合の $-T\Delta S$ を熱量に入れてはいけない。等温混合で外部熱として扱うのはエンタルピー項である。また，酸化物平衡では $p_{\mathrm{O_2}}^{3/2}$ と $a_\mathrm{Cr}^2$ の指数を落とす誤りが多い。

試験で書くべきポイント

状態図問題では相名だけでなく，どの境界を越えたかを一言添える。速度論では「定常状態」「拡散流束=界面反応消費速度」「Cr$_2$O$_3$ 1単位にCrが2個」の三点を書くと，式の係数に説得力が出る。

方針

核生成の問題は，体積項が負，界面項が正であることを最初に固定する。臨界半径は微分で求め，不均一核生成は均一核生成の障壁に球冠の形状因子を掛ける。

途中式の意味

$\varepsilon$ は「固相から液相へ」の変化として定義されているため，凝固で使うと符号に注意する。過冷却液体から固体が生じるとGibbsエネルギーは下がるので，固相生成の体積項は負でなければならない。

検算

$\Delta T$ が大きいほど $r^*$ は小さくなる。これは深い過冷却ほど核生成しやすいという経験則と一致する。また $\theta\to0$ では障壁が0へ，$\theta\to\pi$ では均一核生成と同じ障壁へ近づく。

典型ミス

Youngの式の符号を逆にすると，接触角が小さいほど障壁が大きくなる不自然な結論になる。図示問題では曲線の正確な曲率より，端点 $0,1$ と単調増加を明示することが重要である。

方針

逆格子は公式暗記より，$\bm a_i\cdot\bm b_j=2\pi\delta_{ij}$ を連立方程式として解くのが確実である。格子振動は隣接する二本のばねから受ける復元力を，単位胞内と隣接単位胞に分けて書く。

検算

$k=0$ の音響分枝で $\omega=0$ になるのは，すべての原子が同じだけ並進すればばねが伸びないためである。$K_1=K_2$ に近づけるとゾーン端のギャップは閉じ，単原子鎖を折り返した分散に近づく。

典型ミス

$e^{ika}$ と $e^{-ika}$ の位置を逆にしても最終的な分散は同じだが，行列がエルミートになっていることを確認しないと符号ミスに気づきにくい。Brillouinゾーンは逆格子点を結んだ単位胞ではなく，Wigner--Seitz胞である。

方針

四点曲げでは，中央区間のせん断力が0になり，曲げモーメントが一定になる。最大応力はこの純曲げ区間の最外縁で生じる。破壊の問題は，表面エネルギー増加と弾性エネルギー解放の競争として書けばよい。

検算

$I_z$ は高さの三乗に比例するので，応力は $h^{-2}$ に比例する。き裂条件は $c$ が大きいほど臨界応力が下がる形であり，長いき裂ほど危険という物理と一致する。

典型ミス

四点曲げで荷重 $P$ を合計荷重と誤読すると反力が半分になり，応力も半分になる。ここでは図の各集中荷重を $P$ として扱う。Griffith条件では新生面が二面あるため，表面エネルギーを $4c\Gamma$ と書く。

試験で書くべきポイント

せん断力図・曲げモーメント図は，数式と一緒に区間を明示する。材料比較の記述問題では「転位」「塑性域」「エネルギー散逸」の語を入れると採点上の根拠が明確になる。