東大 工学系研究科 マテリアル工学専攻 マテリアル工学基礎 2023年度 院試 解答例・解説

方針

電池問題は、反応 Gibbs エネルギーと電気仕事 $-nFE$ を結び付ける。濃淡電池では標準生成自由エネルギーではなく、気体分圧の化学ポテンシャル差が起電力を生む。

検算

水生成の $\Delta G^\circ$ は大きく負なので燃料電池の起電力は 1 V 程度になる。一方、100 倍の濃度差でも $RT/F$ スケールなので 0.06 V 程度にしかならない。

典型ミス

濃淡電池で $F$ だけで割ると 2 倍ずれる。水素 1 分子あたり電子 2 個が移動するため、分母は $2F$ である。

試験で書くべきポイント

二次反応の擬一次化は、$[B]$ がほぼ一定とみなせる条件を先に書く。半減期から求まるのは $k'$ であり、最後に $[B]_0$ で割って $k$ に戻す。

方針

最近接対の数え上げでは、AA と BB は二重数えを避けるため $1/2$ が付く。AB は A から見た B 近接数と B から見た A 近接数が同じ対を表すため、最終式では $zN_A N_B/N$ になる。

検算

$x=0$ または $1$ で $\Delta H_\mathrm{mix}=0$ になり、混合していない純物質では混合エンタルピーがない。$\Omega>0$ なら相分離しやすいので、異種対が不利という解釈と一致する。

典型ミス

スピノーダルとバイノーダルを混同しやすい。実線の内側全体が二相平衡に関係するが、微小揺らぎがそのまま成長するのは破線の内側だけである。

試験で書くべきポイント

相分離機構の説明では「核生成障壁の有無」と「組成変化が連続か、界面をもつ核から成長するか」を対にして書くと短くても十分な答案になる。

方針

bcc の逆格子が fcc になることを使うと、Brillouin ゾーンの形がすぐ決まる。自由電子部分は、周期境界条件で $k$ 空間の格子点間隔を決め、スピン 2 重縮退を入れて状態数を数える。

検算

Na は単価金属なので bcc 単位胞あたり伝導電子は 2 個である。第一 Brillouin ゾーン内の各 $k$ はスピンを含めて 2 電子を収容できるため、半分充填という結果は電子数からも確認できる。

典型ミス

$k_F$ の式でスピン縮退を落とすと $k_F$ が $2^{1/3}$ 倍になる。体積比も 1 になってしまい、単価金属の半分充填と矛盾する。

試験で書くべきポイント

有効質量の説明では「Fermi 面がゾーン境界から離れている」ことと「バンド曲率が自由電子放物線に近い」ことを結び付けて書くと、図と物理の対応が明確になる。

方針

前半は等方線形弾性の基本式を、単軸応力の重ね合わせから組み立てる。せん断は 45 度回転すると引張・圧縮の主応力に変わるので、$G$ と $E,\nu$ の関係が導ける。

検算

純せん断の主応力は $\pm\tau$ で平均応力は 0 のままである。測定応力の主応力も平均が $(50+10)/2=30$ MPa で、元の対角成分平均と一致する。

典型ミス

工学せん断ひずみ $\gamma_{12}$ とテンソル成分 $\varepsilon_{12}$ を混同しやすい。ここで与えられているのはひずみテンソルなので、$\sigma_{12}=2G\varepsilon_{12}$ である。

試験で書くべきポイント

破壊面は最大主応力方向そのものではなく、その方向を法線にもつ面である。答案では固有値だけでなく、対応する固有ベクトルを法線として示す。