阪大 理学研究科 数学 第2次募集 院試 解答例・解説

方針は、トレース $0$ の条件を成分で書いて次元を確定し、その基底上で交換子作用を行列化することである。

基底確認で典型的に抜けやすい点は、生成だけでなく一意性も見ることである。今回は $$\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}$$ の形に落ちるため、係数 $a,b,c$ がそのまま一意に決まる。

交換子が $V$ に入ることは、行列成分を全部展開するよりも $$\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$$ を使うのが最短である。試験答案では、この等式の使用箇所を一行書くだけで十分である。

$\Phi$ の行列は、列に $\Phi(E_j)$ の座標を並べる約束で作る。ここを行で並べると転置行列になり、固有値は同じでも表現行列としては誤りになる。最後の検算として、得られた行列の第2列と第3列が同じであることから固有値 $0$ が出るはずであり、固有多項式の因子 $\lambda$ と整合している。

前半は二次形式 $$x^2+xy+y^2$$ を円の形に直す問題である。平方完成をして $$x^2+xy+y^2=\left(x+\frac y2\right)^2+\frac34 y^2$$ と見ると、自然に上の変数変換が出る。ヤコビアン $\frac{2}{\sqrt3}$ を忘れると、答えが定数倍だけずれるので注意する。

領域の角度も重要である。$y=0$ は $v=0$、$x=0$ は $$u=\frac y2,\qquad v=\frac{\sqrt3}{2}y$$ なので、原点から偏角 $\pi/3$ の半直線になる。したがって扇形の角度は $\pi/3$ である。

後半は複素関数論を知っていれば「正則写像による合成は調和性を保つ」と読めるが、試験答案では連鎖律で直接示すのが安全である。中間項 $f_{xy}$ が $g_{ss}$ と $g_{tt}$ で打ち消し合い、最後にラプラシアンだけが残る構造を明示すればよい。

連結性の問題では、「分離できた」と仮定して矛盾を出すのが基本である。連結集合 $A$ が分離の両側にまたがることはできないため、$A$ は片側に丸ごと入る。同じことが $B$ にも成り立ち、共通点があるため別々の側には入れない。

後半は、開被覆から始めるコンパクト性の標準証明である。ポイントは、先に $A$ だけを有限個で覆い、その余り $$X\setminus(U_1\cup\cdots\cup U_n)$$ を作ることである。この余りは閉集合で、しかも $A$ と交わらないので、仮定をそのまま適用できる。

典型ミスは「$X\setminus A$ がコンパクト」と読み替えてしまうことである。仮定はより強く、$X\setminus A$ に含まれる閉集合すべてがコンパクト、という形で使う。試験答案では、余り $F$ が閉集合であることと $F\subset X\setminus A$ を明記すると減点されにくい。

方針は、$e^{iz}$ が上半平面で減衰することを利用し、上半円で閉じることである。実軸上の積分は $$\frac{x e^{ix}}{x^2+1} = \frac{x\cos x}{x^2+1} +i\frac{x\sin x}{x^2+1}$$ の形になり、求めたい積分は虚部から取り出せる。

半円弧上の積分を単純に弧長評価だけで処理すると、$|e^{iz}|\le 1$ しか使えず十分に小さくならない。ここでは上半平面で $$|e^{iRe^{i\theta}}|=e^{-R\sin\theta}$$ となることを使う。これが Jordan の補題を使う理由である。

検算として、留数は実数 $\frac{1}{2e}$ であり、実軸全体の積分は純虚数 $\frac{\pi i}{e}$ になる。これは実部の被積分関数 $$\frac{x\cos x}{x^2+1}$$ が奇関数で、全実軸積分が $0$ になることと一致している。