阪大 理学研究科 数学 2023年度 第2次募集 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

前半の本質は、導関数の右極限が存在するなら、導関数が $0$ の近くで有界になるという点である。有界性があれば、平均値の定理により $$|f(y)-f(x)|\le M|y-x|$$ が得られ、$f(x)$ が $0$ の近くで Cauchy になる。

後半では、関数そのものは $0$ に収束するが、導関数が激しく振動する例を作る。$x^2\sin(1/x^2)$ は値としては $x^2$ に押さえられて $0$ に行くが、微分すると $-2x^{-1}\cos(1/x^2)$ が現れ、導関数の極限が壊れる。

試験答案では、反例の導関数が $(0,1)$ で連続であることも暗に必要である。上の関数は $(0,1)$ では通常の合成・積で作られた滑らかな関数なので、この条件を満たしている。

条件 $f\circ f=f$ は、$f$ が射影であることを表している。射影では、像の成分を $f(v)$、核の成分を $v-f(v)$ として分けるのが基本である。

像と核の交わりが $0$ であることは、 $$w=f(v),\qquad f(w)=0$$ を同時に使うと一行で出る。ここで $$f(w)=f(f(v))=f(v)=w$$ となるため、$w=0$ しかあり得ない。

直和を示す際には、「和で書ける」ことと「交わりが $0$」であることの両方が必要である。どちらか一方だけでは直和分解の証明として不十分になる。

この距離は、写像 $$h:\mathbb R\to(0,\infty),\qquad h(x)=e^x$$ で通常の距離を引き戻したものである。$h$ が単射であるため、$d(x,y)=0$ から $x=y$ が従う。

完備でない理由は、$(0,\infty)$ が通常の距離で完備でないことに対応している。列 $e^{-n}$ は $(0,\infty)$ 内では Cauchy だが、極限 $0$ が $(0,\infty)$ に入らない。その現象を $x_n=-n$ として $\mathbb R$ 側に戻している。

縮小写像は、通常の距離での平行移動ではなく、指数を通したときに倍率がかかるものを選ぶ。$x\mapsto x-1$ は指数を $e^{-1}$ 倍するので、縮小率 $e^{-1}$ がそのまま出る。

前半は単純零点と単純極の基本対応である。$f(a)=0$ かつ $f'(a)\ne0$ なので、$f$ は一次因子 $(z-a)$ をちょうど一つだけ持ち、その残り $h(a)$ が $f'(a)$ になる。

後半では、実軸全体の偶関数積分を直接三角置換で計算する方法もあるが、問題の前半が留数の公式なので、留数定理に接続するのが自然である。弧上の積分は分母の次数が十分高いため、Jordan の補題ではなく単純な弧長評価で消える。

根の和の計算では符号に注意する。$1+z^6=0$ だから根は $z^6=-1$ の根であり、上半平面には偏角 $$\frac{\pi}{6},\quad \frac{\pi}{2},\quad \frac{5\pi}{6}$$ の三つが入る。検算として、被積分関数は正で偶関数なので答えは正になるはずであり、$\frac{2\pi}{3}$ はこの符号条件と合っている。