阪大 理学研究科 数学 第1次募集 院試 解答例・解説

方針

一様収束の強さは，積分誤差を区間長と一様ノルムで直接抑えられる点にある。(3) はこの結果を幾何級数へ適用するだけでよい。

最大値が $1$ 未満になる理由

$g(x)<1$ が各点で成り立つだけではなく，閉区間上の連続関数であるため最大値 $m$ が存在する。もし $m=1$ ならどこかで $g(x)=1$ となり仮定に反する。ここを明記すると一様収束の証明になる。

典型ミス

各点収束だけを使って和と積分を交換すると根拠不足である。今回は比が $3/4$ 以下に一様に抑えられるため，ワイエルシュトラスの判定法で安全に交換できる。

方針

べき零なら固有値は $0$ という向きは体によらず成立する。逆向きは，特性多項式が固有値で完全に分解する複素数体上ではケーリー・ハミルトンで示せる。

実数体で何が壊れるか

実数体上では複素固有値だけをもつ線形写像がある。回転行列は固有値が $\pm i$ なので実固有値をもたず，条件を満たすがべき零ではない。

典型ミス

(4) で「固有値がないからべき零」としてはいけない。べき零なら特性多項式は $t^n$ であり，回転行列のように特性多項式が $t^2+1$ となるものは除外される。

方針

三つとも基本性質の確認である。(1) は開被覆，(2) は分離，(3) はコンパクト空間の閉部分集合，という定義に戻れば短く証明できる。

注意点

(3) ではハウスドルフ性は不要である。「コンパクト集合が閉である」にはハウスドルフ性が必要だが，ここで使うのは「コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト」であり，これは一般の位相空間で成立する。

試験での書き方

成立・不成立だけでなく，成立する理由を一行でも定義から書くと確実である。特に (2) は像の開集合ではなく，$f(K)$ の相対位相での開集合を使う点を明確にする。

方針

$e^{iz}$ は上半平面で減衰するため，上半円閉曲線を使う。分母が二乗なので二重極の留数を微分で求めるのが中心である。

留数の検算

$z=i$ での留数は純虚数 $-i/(2e)$ になり，$2\pi i$ を掛けると正の実数 $\pi/e$ になる。偶関数的な実積分が実数になることとも一致する。

典型ミス

$z=-i$ は下半平面の極なので，上半円の積分には寄与しない。それでも (2) では全極の留数を問われているため，$z=-i$ の留数も計算しておく必要がある。

方針

この群は $R_{13}$ の加法群に $R_8$ が $\rho$ を通じて作用する半直積である。計算は第二成分を先に追うと整理しやすい。

二乗集合の数え方

$g*g$ の第二成分は必ず偶数になる。第一成分は係数 $1+\rho(b)$ が $0$ かどうかで，全体に動く場合と $0$ に潰れる場合に分かれる。

共役類の検算

共役で第二成分は変わらない。したがって $S$ に含まれる共役類を数えるときも，第二成分 $0,2,4,6$ ごとに分ければ過不足を避けられる。

方針

ノルム $N(a+b\sqrt{-5})=a^2+5b^2$ は乗法的で，値が非負整数になる。これにより単元・既約性・一意分解の失敗をすべて判定できる。

既約性の見方

$N(3)=9$ なので，非自明に分解できるならノルム $3$ の元が必要になる。しかし $a^2+5b^2=3$ は不可能である。$2\pm\sqrt{-5}$ についても同じ論法が使える。

典型ミス

一意分解でないことを示すには，単に二通りの分解を書くだけでは足りない。各因子が既約であることと，互いに同伴でないことまで確認する。

方針

商空間上の形式は，普遍被覆側ではデッキ変換で不変な形式として見える。ただし $g_{1,0}$ は向きを反転するので，$dx\wedge dy$ にマイナスが付く。この符号反転が零点の存在を強制する。

零点の作り方

$f(x+1,-y)=-f(x,y)$ から，特に $y=0$ 上では $f(1,0)=-f(0,0)$ となる。連続性により，端点の値が反対符号なら途中で必ず $0$ になる。

試験で書くべき点

最後に $\pi^*\omega=0$ から $\omega=0$ を結論するには，$\pi$ の微分が階数 $2$ であることを使う。問題文の多様体構造の条件はここで使われる。

方針

交点の個数でホモトピー型が変わる。円が球面に一点で接すればウェッジ和 $S^2\vee S^1$，二点で交われば一次サイクルがさらに一つ増える。

交点計算

$B$ は球面に一点で接し，$C$ は球面と二点で交わる。ここを計算で確認してから位相型を判断するのが安全である。

検算

$Y$ の $H_2$ は球面成分に由来して $\mathbb Z$ が残る。円を貼り付けても球面の二次サイクルが境界になるわけではない。一方，二点貼り付けの円は独立な一次サイクルを二つ作るため $H_1$ は $\mathbb Z^2$ になる。

方針

$u(t,x)$ はガウス重み付きの平行移動平均である。$t\to0$ では引数が $x$ に戻り，積分量は変数変換で保存される。

一次モーメント

$x$ の一次モーメントを取ると，変数変換後に $\xi$ の寄与 $B$ と平行移動量 $(ty-t^2)$ の寄与が分かれる。ガウス核は偶関数なので $ty$ の項は消え，$-t^2A$ だけが残る。

典型ミス

(1) で全実数上の一様連続性を仮定する必要はない。$x$ 固定で，ガウス重みの尾部を先に小さくし，残りの有界区間上で連続性を使えば十分である。

方針

符号条件 $yf(y)\le0$ は，解が原点から遠ざからないことを表す。$u^2$ を微分するとこの意味がそのまま不等式になる。

極限の存在

$u^2$ が減少するだけでは $u$ 自身の極限が直ちに出るわけではない。$u>0$ なら減少，$u<0$ なら増加という符号ごとの単調性を使うのが確実である。

検算

極限 $\alpha$ が存在するなら，遠方では $u$ はほぼ定数である。自律方程式 $u'=f(u)$ で定数極限に落ち着くためには，右辺も $0$ でなければならない。区間積分はこの直観を厳密にする方法である。