阪大 理学研究科 数学 第2次募集 院試 解答例・解説

方針は標準的で、臨界点をすべて求めてからヘッセ行列で判定する。二変数関数では、臨界点を一つ見落とすと極値判定全体が崩れるため、まず $$f_y=2y(3-x)$$ から場合分けするのが安全である。

ヘッセ行列の判定では、行列が正定値なら極小、不定なら鞍点である。今回の $(3,\pm3)$ では右下成分が $0$ なので一見判定しにくく見えるが、行列式が負であることから直ちに不定と分かる。

試験答案では、「極値」を局所極値として答える場合でも、三次関数であるため大域的には上下に有界でないことを一言添えると答案の解釈が明確になる。

この問題の中心は、三次の特性多項式をそのまま解くことではなく、必ず出る固有値 $1$ を見つけて二次式に落とすことである。特性多項式の係数は $$\lambda^3-p\lambda^2+p\lambda-1$$ の対称的な形になっており、$\lambda=1$ を代入すると $0$ になる。

二次式 $$\lambda^2+b\lambda+1$$ では根の積が $1$ である。二根が単位円上にあるとき、実係数であることから共役な組 $$e^{i\theta},\ e^{-i\theta}$$ になり、和は実数 $2\cos\theta$ で $[-2,2]$ に入る。ここを判別式だけで処理しようとすると、重根の場合や実根 $\pm1$ の境界を見落としやすい。

最後の不等式整理では $$a^2(3-a)-4=-(a-2)^2(a+1)$$ と因数分解するのが決め手である。区間端 $a=-1,3$ でも固有値の絶対値は $1$ なので、等号を含める。

連結性は「円周を一筆書きの連続パラメータで表す」ことで示すのが最も簡潔である。$[0,2\pi]$ の端点が同じ点に写ることは問題なく、像全体がちょうど $S^1$ になっていることを確認すればよい。

コンパクト性では、$\mathbb R^2$ 内の部分集合であることを使えるので、閉かつ有界を示せばよい。閉性は方程式 $$x^2+y^2=1$$ の逆像として処理する。有界性は例えば $\|(x,y)\|=1$ から直ちに分かる。

典型ミスは、「円周は端がないから閉じている」と直感だけで書くことである。答案では、連続関数の逆像または補集合が開であることを使って閉性を明示する。

この積分は留数定理で解けるが、極の位数が $n$ なので、Cauchy の積分公式の微分形を使うのが最短である。円周の半径が $2$ であることは、特異点 $z=1$ が内部に入ることを確認するために使う。

$n=1$ の場合、式は $$-2\pi i\sin0=0$$ となる。これは $\sin(\pi z)$ が $z=1$ で $0$ になることとも一致している。

微分の符号は間違えやすい。検算として $$n=2$$ を代入すると、積分値は $$-2\pi^2 i$$ となる。これは単純極の留数が $(\sin\pi z)'|_{z=1}=\pi\cos\pi=-\pi$ であることからも確認できる。