東大 工学系研究科 物理工学専攻 物理学 2024年度 院試 解答例・解説

方針

前半は剛体振り子であり，支点まわりの慣性モーメントと重力の復元モーメントを正しく作ればよい。後半はソレノイドのインダクタンスが鉄芯の挿入長に比例することを使い，磁気エネルギーの変化から鉄芯を引き込む力を求める。

慣性モーメントの見落とし

中心軸に垂直な軸まわりでは，棒を細い棒として扱った $Ml_0^2/12$ だけでは不足する。半径 $a$ をもつ円柱なので，薄い円板の直径まわりの寄与 $Ma^2/4$ が残る。最後に支点 $O$ が重心から $h=l_1-l_0/2$ だけ離れているため，平行軸の定理で $Mh^2$ を加える。

符号とモーメント

静止条件では，点 $P$ に働く水平力のモーメント $F_1l_1\cos\theta_0$ と，重力のモーメント $Mgh\sin\theta_0$ が反対向きになる。小角近似の周期では外力 $F_1$ はすでに取り除かれているので，復元力は重力だけである。

検算

$a\to 0$ とすれば細い棒の慣性モーメントに戻る。また $\theta_0\to0$ では $\Omega_0\to0$ となり，エネルギー式の極限も自然である。ソレノイド部分では $L$ の単位は $\mu N^2A\xi\sim(\mathrm{N\,A^{-2}})(\mathrm{m^{-2}})(\mathrm{m^2})(\mathrm{m})=\mathrm{kg\,m^2\,A^{-2}\,s^{-2}}$ で，インダクタンスの単位になっている。

典型ミス

鉄芯を引き込む力の向きを，棒に加える外力 $F_2$ の向きと混同しやすい。力の大きさはエネルギー法で $F_2=(I^2/2)\partial L/\partial\xi$ と求め，最後に支点まわりの腕の長さ $l_1$ と $l_0-l_1$ でつり合いを取る。数値問題では Oe/cm を A/m$^2$ に直すとき，cm から m への変換をもう一度掛ける点が失点源である。

方針

完全導体鏡では接線電場が節になる。したがって前半は固定端の定在波問題であり，放射圧は鏡面での磁場エネルギー密度から求める。後半は Fabry--Perot 型の多重反射を等比級数として足し合わせ，定在波腹の振幅を調べる。

放射圧の係数

定在波の腹の電場振幅 $E_0$ は，片道進行波の振幅の 2 倍である。そのため完全反射で運動量が 2 倍変化することを直接使っても，Maxwell 応力を使っても $$P=\varepsilon_0E_0^2/4$$ になる。ここで $1/2$ は時間平均，もう一つの $1/2$ は鏡面での応力 $B^2/(2\mu_0)$ から来る，と整理しておくと係数を間違えにくい。

共振曲線の読み方

振幅増大率の分母は $$(1-r)^2+4r\sin^2(k\Delta)$$ である。半値幅の条件は強度ではなく，問題で指定された $E_0/E_1$ の値に対して立てる。最大振幅の $1/\sqrt2$ なので，分母は最大時の $\sqrt2$ 倍になり，上の $\Delta$ が得られる。

典型ミス

光ばねの符号は，力そのものではなく力の変位微分で決まる。鏡 2 が右へ動いたとき放射圧が増えれば，ばねの復元力を打ち消す向きに働き，有効ばね定数は小さくなる。放射圧が減れば，復元力が追加され，有効ばね定数は大きくなる。

試験で書くべきポイント

多重反射の和，半値幅の式，光ばねの符号判定をそれぞれ一行ずつ明示することが重要である。最後の設問は定性的説明を求めているため，結論だけでなく「鏡 2 の正方向変位で共振に近づくか遠ざかるか」を必ず書く。

方針

古典模型では等分配則，量子単一振動数模型では Bose 分布，デバイ模型では振動数分布を積分する，という三段階の比較問題である。分配関数から $U=-\partial_\beta\log Z$ を使うと，ゼロ点エネルギーの扱いも含めて最も安全に進められる。

古典極限

1 次元調和振動子 1 個には運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの 2 つの二次形式があり，平均エネルギーは $k_BT$ である。したがって 3 次元固体の $3N$ モードでは $C=3Nk_B$ となる。これは Dulong--Petit の法則であり，高温極限の検算に使える。

低温で何が違うか

単一振動数の量子模型では，基底状態から最初の励起状態まで $\hbar\omega$ のギャップがある。そのため低温比熱は $e^{-\hbar\omega/(k_BT)}$ で抑制される。一方デバイ模型には $\omega\simeq0$ の音響モードがあり，低温でも長波長モードが励起できる。この低振動数状態数 $g(\omega)\propto\omega^2$ が $T^3$ 則の原因である。

典型ミス

デバイ模型の内部エネルギーにゼロ点エネルギーを含めても，熱容量では温度微分により消える。低温近似では上限を $\infty$ にしてよいが，高温近似で同じ操作をしてはいけない。高温では $x\ll1$ の展開を使い，モード数が $3N$ であることに戻る。

試験で書くべきポイント

グラフを描く場合は，横軸を $T$，縦軸を $C$ として，$C_{\mathrm{I}}$ は水平線，$C_{\mathrm{II}}$ は低温で指数関数的に 0 から立ち上がり高温で $3Nk_B$ に漸近，$C_{\mathrm{III}}$ は低温で $T^3$ から立ち上がり同じ高温値に漸近，と明示すればよい。

方針

ハミルトニアンが $\hat{a}^{\dagger2}+\hat{a}^2$ を含むため，通常の数演算子の固有状態では対角化されない。スクイーズ変換で二次形式を対角化し，基底状態の揺らぎを読むのが本問の中心である。

スクイーズ変換の意味

$\hat{x}$ と $\hat{p}$ は $$\hat{x}\to e^{-r}\hat{x},\qquad \hat{p}\to e^r\hat{p}$$ と変換される。面積 $\sigma_x\sigma_p$ は変えず，一方の揺らぎを小さくする代わりに他方を大きくする。したがって非線形光学効果は，真空揺らぎを片方の quadrature に押し込む操作として理解できる。

安定条件

$\omega>\Delta$ でのみ $\tanh2r=\Delta/\omega$ を満たす実数 $r$ が存在する。これは Heisenberg 方程式の固有値が実数である条件と同じである。対角化の存在と時間発展の安定性が同じ不等式で表されることは，答えの重要な検算になる。

典型ミス

$\hat{S}^\dagger\hat{H}\hat{S}$ を計算するとき，$\hat{a}\hat{a}^\dagger=\hat{a}^\dagger\hat{a}+1$ の定数項を落としやすい。この定数項が $E(r)$ であり，基底エネルギーを求める場合には必要である。また，分散は $\sigma_x$ ではなく $\sigma_x^2$ を問われることが多いため，平方根の位置を確認する。

試験で書くべきポイント

偶数光子成分だけが現れる理由は，式を展開しなくても，$\hat{S}(r)$ が光子数を 2 個単位で変える演算子から作られていることを述べれば十分である。臨界点の時間発展では $M^2=0$ を示してから指数関数を一次で打ち切ると，計算量を大きく減らせる。